1、小学奥数 几何五大模型 一、五大模型简介 （ 1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等 ， 面积之比等于底之比 ， 如图 1 所示， :ABD ACDS S BD CD ； 3、两个三角形底相等 ， 面积 之比等于高之比 ， 如图 2 所示 ， :ACD BCDS S AE BF ； 4、在一组平行线之间的等积变形， 如图 3 所示 ， ACD BCDSS ；反之，如果 ACD BCDSS ，则 直线 AB CD 。 例、如图， ABC 的面积是 24， D E F、 、 分别是 BC AC AD、 、 的中点，求DEF 的面积。 解析： 根据等积变换知， 1
2、1 2 4 1 222A D C A B CSS , 11 1 2 622A D E A D CSS ， 11 6322D E F A D ESS 。 图3图2图1FEBDCABC DAD CBAF ED CBA（ 2）鸟头模型 （共角 定理） 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补 ）两夹边的乘积之比。 如 下图 ABC 中， DE、 分别是 AB AC、 上或 AB AC、 延长线上的点 。 则有： ADEABCS AD AES AB AC 。 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 证明： 如图 ， 连接 BE
3、，根据等积变换 模型知， :AD E AB ES S AD AB 、 :AB E C BES S AE C E ， 所以 : : :A B E A B C A B E A B E C B ES S S S S A E A C 。 因此 A D E A D E A B EA B C A B E A B CS S S A D A E A D A ES S S A B A C A B A C 。 例、如图 ， 在 ABC 中， 点 D 在 BA 的延长线上， 点 E 在 AC 上，且 :ABAD 5:2 ， : 3: 2AE EC ， ADE 的面积为 12 平方厘米，求 ABC 的面积。 EDCB
4、AEDCBAEDCBAEDCBA解析： 根据鸟头模型可知： ABCADES AB ACS AD AE ， 所以 55 1 2 5 023A B C A D EA B A CSSA D A E （平方厘米）。 （ 3）蝴蝶模型 1、梯形中 的 比例关系 (“ 梯形蝴蝶定理 ”) : 24SS （ 因为 ABC DBCSS ， 所以 AB C O BC D BC O BCS S S S ） ，2213:S S a b ； 221 2 3 4: : : : : :S S S S a b ab ab； 梯形 S 的对应份数为 2ab 。 例、如图， 在 梯形 ABCD 中 ， AB CD ，对角线 A
5、C BD、 交于点 O ，已知AOB BOC 、 的面积分别为 25 平方厘米、 35 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积。 解析：由梯形蝴蝶模型的性质知， 2: : 2 5 : 3 5A O B B O CS S A B A B C D ， 所以 : 5:7AB CD ；所以 2 2 2 2: : 5 : 7 2 5 : 4 9A O B D O CS S A B C D ， 即 49DOCS 平方厘米， 而 35AOD BOCSS 平方厘米， 所以梯形 ABCD 的 面积为： 25+35+35+49=144 平方厘米 。 baS 4S 3S 2S 1ODCBA3525ODCBA2、 任意四
6、边形中的比例关系 (“ 蝴蝶定理 ”) ： 1 2 4 3:S S S S 或者 1 3 2 4S S S S ； 1234SSAOCO S S ， 2314SSBODO S S 。 例、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC BD、 交于点 O ，如果 ABD 的面积等于BCD 面积的 13 ，且 2AO ， 3DO ，求 CO 的长度是 DO 长度的几倍。 解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知， : : 1 : 3AB D BCDAO C O S S ，所以3 3 2 6CO AO ，所以 : 6 : 3 2 :1CO DO ，即 CO 是 DO 的 2 倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则
7、四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 （ 4）相似模型 1、相似三角形：形状相同 、 大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段 (对应高、对应边）的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 S 4S 3S 2S 1OCBDAOCBDA相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两
8、大类中都含有DE BC 。 (一 )金字塔模型 (二 ) 沙漏模型 结论： 因为 DE BC ，所以 ADE ABC ， 则 AD AE DEAB AC BC； 22:AD E ABCS S AD AB 。 例、如图，已知在平行四边形 ABCD 中， 16AB 、 10AD 、 4BE ，那么FC 的长度是多少？ 解析： 根据平行四边形的 性质知， AB CD ，所以 由 沙漏模型 知：: : 1 6 : 4 4 : 1F C F B C D B E ，所以 44 1 0 84 1 5F C B C 。 （ 5）燕尾模型 由于 两种颜色 阴影部分的形状 合在一起 像一只燕子的尾巴，所以在数学上
9、把这样的几何图形叫做燕尾模型 ,看一下它都有哪些性质： :AB O ACOS S BD DC ； :AB O BCOS S AE EC ； EDCBA E DCBAFED CBAOFED CBA :ACO BCOS S AF FB 。 例、如图， DE、 分别在 BC AC、 上，且 : 2:3AE EC ， : 1: 2BD DC ， AD 与BE 交于点 F ，四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米，求三角形 ABC 的面积。 解析 ： 如图所示，连接 CF 构造燕尾模型 。 根据燕尾模型 性质可知 ： 12ABFACFS BDS DC， 23ABFCBFS AES EC。 现设 1
10、BDFS 份 ， 则 2CDFS 份 、 4ACFS 份 、 24 1 .623AEFS 份 、34 2 .423CEFS 份 。 所以 2 2 .4 4 .4D FECS 四 边 形 份 、 2 3 4 9ABCS 份 。 2 2 4 .4 9 4 5ABCS （平方厘米）。 二、五大模型经典例题详解 （ 1）等积变换模型 例 1、图中的 E F G、 、 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部分的面积是多少？ FED CBA21.62.421FED CBAGFEDCBA654321GFEDCBA解析： 把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3条边 A
11、B BC CD、 、 就被分成了相等的三段。把点 H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了 9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的 6个三角形按顺时针标记 1 6。这 9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的 3个三角形。 根据等积变换模型 可知， CD 边上的阴影三角形的面积与第 1、 2个三角形相等； BC 边上的阴影三角形与第 3、 4个三角形相等； AB 边上的阴影三角形与第 5、 6个三角形 相等。因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即： 12 12 3=48。 例 2、如图所示， Q E P M、 、 、
12、 分别为直角梯形 ABCD 两边 AB CD、 上的点，且 DQ CP ME、 、 彼此平行，已知 5 7 5 3A D B C A E E B 、 、 、， 求阴影部分三角形 PQM 的面积。 解析： 如图所示， 连接 CE DE、 ， 由于 DQ ME、 平行 ， 根据同底等高知 ， QME DMESS ； 同理根据 BC ME、 平行 ， 有 PME CMESS ； 所以 PQM CDESS 。 由于四边形 ABCD 为直角梯形 ， 所以 1 1 15 7 5 3 5 5 3 7 2 52 2 2C D E A D E B C EA B C DS S S S 梯 形， 即阴影三角形 PQ
13、M 的面积为 25。 （ 2）鸟头（共角）定理模型 例 1、如图所示，平行四边形 ABCD ， BE AB 、 2CF CB 、 3GD DC 、4HA AD ，平行四边形 ABCD 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比。 PQMEDCBA AB CDEMQP解析： 如图所示，连接 AC BD、 ，由于在 ABC EBF 、 中， ABC 与 EBF互补，根据 鸟头定理 有 1 1 11 3 3ABCEBFS A B B CS B E B F ； 因为 1 12ABC A B C DSS 平 行 四 边 形，所以 3EBFS ； 同理可得： 4 2 8AEHS 、
14、4 2 8GCFS 、 5 3 15DHGS 。 所以 2 2 18 8 1 5 3 2 3 6 1 8A B C DEBFS S 平 行 四 边 形四 边 形。 例 2、如图所示 ， ABC 的面积为 1， 54B C B D A C E C D G G S S E 、 、 、AF FG ，求 FGS 的面积。 解析： 首先根据 等积变换模型 知， FG S FE S EA F EG FS S S S 、 ， 所以 4AGE FGSSS 。 根据 鸟头模型 有 32 213A G EC D ES A E G ES C E D E ，所以 2CDE FGSSS ； 21 211A G DF G
15、 SS A G D GS F G SG ，所以 2AGD FGSSS ；所以 8ACD FGSSS ； CHFEDGBACHFEDGBASGFED CBA1 1 11 4 4A D BA C DS A D B DS A D D C ，所以 2ADB FGSSS ；所以 10ABC FGSSS ， 即 110FGSS 。 （ 3）蝴蝶模型 例 1、如图，正六边形面积为 1，那么阴影部分面积为多少？ 解析： 如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六边形被平分 成两半。设AOBS 的面积为 1份，根据正六边形的特殊性质知， 2BC AD ，再根据 梯形蝴蝶定理 ，标出各个三角形所占份数，所以整个正
16、六边形被分成了 18 份，阴影部分占其中的 8份，即阴影部分面积为 84118 9 。 例 2、如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为2、 5、 8 平方厘米，求余下的四边形 OFBC 的面积。 解析： 如图所示，连接 DE CF、 。在梯形 EDCF 中，根据 梯形蝴蝶定理 知，EOD FOCSS ， 2 8 1 6E O D F O C E O F D O CS S S S ， 即 4EOD FOCSS ，所以 8 4 12EC DS ， 1 2 2 2 4ABCDS 长 方 形 ，2 4 5 2 8 9O F B CS 四 边 形 。 1224
17、422OD CBA2？85 OFED CBA2？85 OFED CBA例 3、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， E 为 AD 的中点， F 为 CE的中点， G 为 BF 的中点，求三角形 BDG 的面积。 解析： 设 BD 与 CE 的交点为 O ，连接 BE DF、 。在梯形 BCDE 中，由 梯形蝴蝶定理 知， :BED BCDEO CO S S ，而 1142B E D B C DA B C D A B C DS S S S 正 方 形 正 方 形、，所以 : 1: 2EO CO 。又因为 F 为 CE 的中点，所以 : 2:1EO FO 。 在四边形 BFDE 中，
18、由 蝴蝶定理 知， : : 2 : 1BE D BF DEO FO S S ， 所以 1148B F D B E D A B C DS S S 正 方 形。 所以 1 1 1 1 0 1 0 6 . 2 52 1 6 1 6B D G B F D A B C DS S S 正 方 形（平方厘米）。 （ 4）相似模型 例 1、如图，正方形的面积为 1， EF、 分别为 AB BD、 的中点， 13GC FC ,求阴影部分的面积。 解析： 如图所示，作 FH 垂直 BC 于点 H ， GI 垂直 BC 于点 I ，根据 金字塔模型 知， : : 1 : 3CI CH CG CF；因为 F 是 BD
19、 的中点，所以 CH BH ，: 1:6CI CB ，即 : 6 1 : 6 5 : 6BI BC ，所以 1 1 5 52 2 6 2 4BEGS 。 GFE DCBAGOFE DCBAGFEDCBAIGHFEDCBA例 2、如图，长方形 ABCD ， E 为 AD 的中点， AF 与 BD BE、 分别交于 G 和H ， OE 垂直于 AD ，交 AD 于 E 点，交 AF 于 O 点，已知 5AH , 3HF ,求AG 的长。 解析： 根据长方形的性质知， AB DF ， 再根据 沙漏模型 知 : : 5 : 3AB D F AH H F， 又因为 E 为 AD 的中点，所以 : 1:
20、2OE FD ，所以 3: 5 : 1 0 : 32AB OE 。 利用 相似三角形性质 可得： : : 1 0 : 3AG D O AB O E， 11= 5 3 422A O A F ， 10 404 13 13AG 。 （ 5）燕尾模型 例 1、如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， E 是 AB 的中点， F 是 BC的中点，求四边形 BGHF 的面积。 解析： 如图，连接 BH 。由于 BE 与 CD 平行， 根据 沙漏模型 知， : : 1 : 2BG G D BE CD。 现设 1BHCS 份，根据 燕尾模型 知， 2DHCS 份， 2BHDS 份。 因此整个正方形
21、 ABCD 就是：（ 1+2+2） 2=10（份）。 四边形 BGHF 占： 1 1 7122 3 6 （份）。 所以 71 2 0 1 0 1 46B G H FS 四 边 形（平方厘米）。 OGHFE DCBAB CDEFGHAB CDEFGHA例 2、如图，在 ABC 中， 2BD DA 、 2CE EB 、 2AF FC ，那么 ABC的面积是阴影 GHI 面积的几倍？ 解析： 连接 AI ，根据 燕尾模型 知， : : 1 : 2B CI A B IS S F C A F ，: : 2 : 1B CI A CIS S B D D A ，所以 : : 1 : 2 : 4ACI BCI
22、AB ISSS ，那么221 2 4 7B C I A B C A B CS S S 。 同理可知 2ACG ABCSS 、 27ABH ABCSS 。 所以 211377A B C A B CGHIS S S 阴 影 ，即 ABC 的面积是阴影 GHI 面积的 7倍。 例 3、如图，在 ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 EF、 是 BC 的三等分点，若ABC 的面积是 1，求四边形 CDMF 的面积。 解析： 如图，连接 CM CN、 。根据 燕尾模型 知， : : 2 : 1A B M A CMS S BF CF , 而 2ACM ADMSS ，所以 24A B M A CM A
23、D MS S S ，即 4BM DM 。 所以根据 鸟头模型 知， 4 2 85 3 1 5B M FB C DS B M B FS B D B C ， 即 8 8 1 41 5 1 5 2 1 5B M F B C DSS 。所以 1 4 72 1 5 3 0B C D B M FC D M FS S S 四 边 形。 IHGFEDCBAIHGFEDCBAMNFEDCBAMNFEDCBA三、巩固练习 1、如图，在 MON 的两边上分别有 A C E、 、 ， B D F、 、 六个点 ， 并OAB 、 ABC 、 BCD 、 CDE 、 DEF 的面积都等于 1，求 DCF 的面积。 2、如
24、下图， ABCD 为平行四边形， EF 平行 AC ，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米，求三角形 CDF 的面积。 3、如下图，在三角形 ABC 中 ， 2BD AD ， 2AG CG ， BE EF FC， 求四边形 DGFE 的面积占三角形 ABC 的几分之几 ？ O MNFEDCBAFED CBAGFEDCBA4、如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB 、 CB BF 、DC CG 、 HD DA ，求四边形 ABCD 的面积。 5、边长为 1 的正方形 ABCD 中， 2BE EC 、 FC DF ，求三角形 AGE 的面积。 6、如图，一个长方形被一些直线分
25、成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积为 11，三角形 BCH 的面积为 23，求四边形 EGFH 的面积。 HADBEFC GA DB EFCGHDAEBCGF7、如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料， 120BC 毫米，高 80AD 毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB AC、 上，这个正方形零件的边长是多少？ 8、如图，已知正方形 ABCD 的面积为 120 平方厘米， E 是 AB 边的中点， F 是BC 边的中点，求四边形 BGHF 的面积。 9、如图，正方形 ABCD 的边长是 12 厘米， EF、 分别是 AB BC
26、、 的中点， AF与 CE 交于点 G ，求四边形 AGCD 的面积。 NADB HPCGHA DBEF CGADBEFCG10、如图，在四边形 ABCD 中， 3AB BE 、 3AD AF ，四边形 AEOF 的面积是 12，求平行四边形 BODC 的面积。 四 、巩固练习 详解 1、如图，在 MON 的两边上分别有 A C E、 、 ， B D F、 、 六个点 ， 并且OAB 、 ABC 、 BCD 、 CDE 、 DEF 的面积都等于 1，求 DCF 的面积。 解析： 这道题我们可以用等积变换来解，由于三角形 OCD 的面积是可以求出的，所以只要求出 :ODOF 就能求出 DCF 的
27、面积。 因为 : : 4 : 1O ED D EFOD OF S S ，所以 1 1 334 4 4D C F O C DSS 。 2、如下图， ABCD 为平行四边形， EF 平行 AC ，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米，求三角形 CDF 的面积。 OADCBEFO MNFEDCBAFED CBAFED CBA解析： 如图所示，连接 AF CE、 ， 因为平行四边形对边平行 ， 所以根据同底等高知 ， ADE ACESS 、 CDF ACFSS 。 同理 ， 根据 EF AC ， 所以ACE ACFSS 。 所以 4CD F ADESS 平方厘米 。 3、如下图，在三角形 ABC 中
28、， 2BD AD ， 2AG CG ， BE EF FC， 求四边形 DGFE 的面积占三角形 ABC 的几分之几 ？ 解析： 根据 鸟头模型的性质有： 1 2 23 3 9A D G A B C A B C A B CA D A GS S S SA B A C ， 同理 ： 29BDE ABCSS ， 19CGF ABCSS ， 所以 2 2 1 419 9 9 9A B C A B CD G F ES S S 四 边 形。 4、如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB 、 CB BF 、DC CG 、 HD DA ，求四边形 ABCD 的面积。 解析： 如图连接 BD
29、， 由鸟头模型知 1 1 11 2 2B C DF C GS C D B CS C G C F ， 即2FCG BCDSS ； 同理可得 2AHE ABDSS ； 所以 2F C G A H E A B C DS S S 四 边 形。 连接 AC 同理可得 ， 2B E F D H G A B C DS S S 四 边 形； 所以 5EFGH ABCDSS四 边 形 四 边 形， GFEDCBAHADBEFC GHADBEFC G即 6 6 5 1 3 .2ABCDS 四 边 形 （平方米）。 5、边长为 1 的正方形 ABCD 中， 2BE EC 、 FC DF ，求三角形 AGE 的面积。
30、 解析 ： 连接 EF ， 2BE EC 、 FC DF ， 1 1 1 12 3 2 1 2D E F A B C D A B C DS S S 正 方 形 正 方 形， 12ADE ABCDSS 正 方 形， 由蝴蝶定理 可得： 11: : 6 : 12 1 2AG GF ， 6 6 1 36 7 7 4 1 4A G D G D F A D F A B C D A B C DS S S S S 正 方 形 正 方 形， 1 3 2 22 1 4 7 7A G E A D E A G D A B C D A B C D A B C DS S S S S S 正 方 形 正 方 形 正 方
31、形。 6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积为 11，三角形 BCH 的面积为 23，求四边形 EGFH 的面积。 解析： 连接 EF ， 显然四边形 ADEF 和 BCEF 都是梯形 ， 于是根据蝴蝶定理得 ： EFG ADGSS ， EFH BCHSS ， 所以 1 1 2 3 3 4EG FHS 四 边 形 。 A DB EFCGA DB EFCGHDAEBCGFHDAEBCGF7、如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料， 120BC 毫米，高 80AD 毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB A
32、C、 上，这个正方形零件的边长是多少？ 解析： 仔细观察我们会发现，图中有五个金字塔模型，我们利用与已知边有关系的两个金字塔模型，知： PN APBC AB 、 PH BPAD AB 。 现设正方形的边长为 x 毫米 ， 根据题意列方程 ： 1PN PH AP BPBC AD AB AB ， 即 1120 80xx， 解得 48x ，即正方形的边长为 48毫米。 8、如图，已知正方形 ABCD 的面积为 120 平方厘米， E 是 AB 边的中点， F 是BC 边的中点，求四边形 BGHF 的面积。 解析： 由于四边形 BGHF 不能直接求面积，所以我们只能直接求，可以通过B C E B E
33、G C H FB G H FS S S S 四 边 形 求得。 根据沙漏模型知， : : 1 : 2EG G C BE CD，所以 13BEG BCESS 。现将AB DF、 延长交于点 M ，其中 BM AB 。由沙漏模型可得，: : : 1 : 1B M D C M F F D B F F C ，而根据金字塔模型知，1: : : 3 : 22E H H C E M C D A B A B C D ，即 25H CE 。 NADB HPCGHA DBEF CGMHA DBEF CG而 12CF BC ，所以 1 2 12 5 5C H F B C E B C ES S S ， 11 3022
34、B C ES A B B C 。 所以 1 1 7 3 0 1 43 5 1 5B C E B C E B C EB G H FS S S S 四 边 形（平方厘米）。 注 ： 本题也可以根据蝴蝶定理来做 ， 连接 EF ， 确定 :FH HD ， 同样也能求解 ！ 9、如图，正方形 ABCD 的边长是 12 厘米， EF、 分别是 AB BC、 的中点， AF与 CE 交于点 G ，求四边形 AGCD 的面积。 解析： 如图，连接 AC BG、 ， 设 1AGCS 份 。 根据燕尾模型知 ，: : 1 : 1AG B AG CS S BF C F ， : : 1 : 1AG C BG CS
35、S AE BE ， 即 1AGBS 份 ，1BGCS 份。因此整个正方形 ABCD 就是 1 1 1 2 6 份 ， 四边形 AGCD 占3 1 4 份 。所以 21 2 6 4 9 6A G C DS 四 边 形 （平方厘米）。 10、如图，在四边形 ABCD 中， 3AB BE 、 3AD AF ，四边形 AEOF 的面积是 12，求平行四边形 BODC 的面积。 解析： 如图，连接 AO BD、 。 根据燕尾模型知 ， : : 1 : 2AB O BD OS S AF DF ， : : 2 : 1AD O BD OS S AE BE ，设 1BEOS 份 ， 我们可以将各个三角形所占份数标记出来 ， 如图所示 ， 所以 2 2 1 2 2 4B O D C A E O FSS 平 行 四 边 形 四 边 形。 ADBEFCGADBEFCGOADCBEF866421 OADCBEF
