1、模 型 一 ： 等 高 模 型定 义 ： 三 角 形 面 积 的 大 小 ， 取 决 于 三 角 形 底 和 高 的 乘 积 。 如 果 固 定 三 角 形 的底 （ 或 高 ） 不 变 ， 另 一 者 变 大 （ 小 ） n倍 ， 三 角 形 的 面 积 也 就 变 大 （ 小 ） n倍 。六 种 基 本 类 型 ：两 个 三 角 形 高 相 等 ， 面 积 比 等 于 底 之 比 ； 两 个 三 角 形 底 相 等 ， 面 积 比 等 于 高 之 比公 式 ： DCBDSS ADCABD ； FCEDSS ABCABD 其 中 ， BC=EF且 两 三 角 形 的 高 相 等公 式 ： 1
2、DEFABCSS夹 在 一 组 平 行 线 之 间 的 等 积 变 形公 式 ： 1 ABDABCBCDACD SSSS等 底 等 高 的 两 个 平 行 四 边 形 面 积 相 等 （ 长 方 形 和 正 方 形 可 看 作 特 殊 的 平 行 四 边 形 ）公 式 ： 1CDEFABCDSS三 角 形 面 积 等 于 与 它 等 底 等 高 的 平 行 四 边 形 面 积 的 一 半公 式 ： ABCDEDC SS 21两 个 平 行 四 边 形 高 相 等 ， 面 积 比 等 于 他 们 底 的 比公 式 ： EFABSSDEFGABCD 例 题 ： 长 方 形 ABCD 的 面 积 为
3、 3 6 cm2， E、 F、 G 为 各 边 中 点 ， H 为 AD 边 上 任意 一 点 ， 问 阴 影 部 分 面 积 是 多 少 ？ 5.135.41818 5.4368121 18362121 36 212121 BEF BEFBEFDGHBFHBEH CDHBCHABHDGHBFHBEH CDHBCHABHABCD CDHDGHBCHBFHABHBEH CGHDGHCFHBFHBEHAEH SS BFBESSSSSS SSSSSS SSSS SSSSSS SSSS SS EBAE HCBH阴 影 阴 影 ， ，同 理 ， 、如 图 ， 连 接模 型 二 ： 相 似 模 型定 义
4、： 形 状 相 同 ， 大 小 不 相 同 的 两 个 三 角 形 ， 一 切 对 应 线 段 的 长 度 成 比 例 的 模 型 。两 种 基 本 类 型 ：（ 一 ） 金 字 塔 模 型 （ 二 ） 沙 漏 模 型相 似 三 角 形 的 一 切 对 应 线 段 的 长 度 成 比 例 ， 并 且 这 个 比 例 等 于 他 们 的 相 似 比 ；公 式 ： AGAFBCDEACAEABAD 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 他 们 相 似 比 的 平 方 ；公 式 ： 22 : AGAFSS ABCADE 连 接 三 角 形 两 边 中 点 的 线 段 叫 做 三 角 形 的 中
5、 位 线 。（ 三 角 形 中 位 线 定 理 ： 三 角 形 的 中 位 线 长 等 于 它 所 对 应 的 底 边 长 的 一 半 。 ）公 式 ： 当 DE为 中 点 时 ， BCDE 21例 题 ： 如 图 ， DE平 行 BC， 且 AD=2， AB=5， AE=4， 求 AC的 长 .由 金 字 塔 模 型 得 5:2: BCDEACAEABAD ， 所 以 10524 AC模 型 三 ： 鸟 头 模 型 （ 共 角 模 型 ）定 义 ： 两 个 三 角 形 中 有 一 个 角 相 等 或 互 补 ， 这 两 个 三 角 形 叫 做 共 角 三 角 形 。共 角 三 角 形 的 面
6、 积 比 对 应 角 （ 相 等 角 或 互 补 角 ） 两 夹 边 的 乘 积 之 比 。四 种 基 本 类 型 ：公 式 ： ACAB AEADABCS ADES 例 题 ： 如 图 ， 三 角 形 ABC的 面 积 是 1， 延 长 BA到 D,使 DB=AB;延 长 CA到 E,使 EA=2AC;延 长 CB 至 F， 使 FB=3BC， 求 三 角 形 DEF的 面 积 ？解 ： 716122632 18014212 1243 221 3CACE 3BCCF 2ACAE ABCSDBFSCEFSADESDEFS BFBD BCBAABCS DBFS DBFABCDBFSABCS AD
7、ESCEFSS CBCA CFCEABCS CEFSACAB AEADABCS ADES ADAB FCEBCACEFSABCS EADBACADESABCS 与与与总模 型 四 ： 风 筝 模 型定 义 ： 两 个 共 底 的 三 角 形 ， 其 面 积 之 比 等 于 其 顶 点 到 顶 点 连 线 与 底 边 所 在 直线 交 点 的 线 段 长 度 之 比 。两 种 基 本 类 型 ： （ 同 侧 风 筝 模 型 、 异 侧 风 筝 模 型 ）公 式 ： 同 侧 风 筝 模 型 ： ADCS ODCSABOB 异 侧 风 筝 模 型 ： BCDS ABCSODAO 例 题 ： 如 图
8、， 正 方 形 ABCD 的 面 积 为 1， E、 F 分 别 是 BC 和 DC 的 中 点 ， DE 与 BF相 交 于 M点 ， DE与 AF相 交 于 N点 ， 那 么 阴 影 三 角 形 MFN的 面 积 是 多 少 ？图 1 图 230121 151FAD151 MFN 151 35 11FDFA FNFMFADMFN 12 8141BEF BED MFDM 148121BEFBEA NFAN 41121 21ED BC21BED 2121BEA 81 2121 2121BEF 81 2121 2121BEF 2 1 11 SS SS SSSS SABCDSS BFECSBFEC
9、S EFBDEFAE ADCDBCABABCDS通 过 鸟 头 模 型 得 到 ： ）（ 如 图、连 接）（ 如 图、连 接模 型 五 ： 蝴 蝶 模 型定 义 ： 1 、 任 意 四 边 形 蝴 蝶 模 型 为 我 们 提 供 了 解 决 不 规 则 四 边 形 的 面 积 问 题的 一 个 途 径 。 通 过 构 造 模 型 ， 可 以 了 解 四 边 形 的 内 部 的 四 个 三 角 形 的 面 积 关系 。 2 、 梯 形 的 蝴 蝶 模 型 研 究 的 是 被 梯 形 对 角 线 分 成 的 四 块 三 角 形 面 积 之间 的 关 系 以 及 三 角 形 面 积 比 和 线 段
10、比 之 间 的 相 互 转 化 。公 式 ： 任 意 四 边 形 ： 24313241 : SSSSSSSS 梯 形 ： 。长 度 之 比 的 位 置 的 转 移 线 段两 个 模 型 的 主 要 作 用 是模 型 ， 金 字 塔 模 型 。 这其 他 平 行 线 模 型 ： 沙 漏 思 想 。例 模 型 面 积 问 题 的 重 要面 积 问 题 ， 以 及 其 他 比这 是 解 决 梯 形 蝴 蝶 模 型 分 的 面 积 份 数 ，数 ， 进 而 表 示 出 所 有 部出 合 适 三 角 形 的 面 积 份设 份 数 ： 按 比 例 条 件 设小 ： 中 ： 大 ： 总小 ： 大 中 ： 大
11、小 ： 中 的 结 论 ：梯 形 蝴 蝶 模 型 关 于 面 积 找 到 上 底 与 下 底 之 比 为找 平 行 线点 是 ：梯 形 蝴 蝶 模 型 题 目 中 重 右 ” 。左下， 或 “ 上翅 磅 ， 面 积 乘 积 相 等 ”型 结 论 可 记 为 ： “ 两 对任 意 四 边 形 中 的 蝴 蝶 模总 结 ： ）之 比 为如 下 结 论 （ 上 底 与 下 底反 复 运 用 等 高 模 型 ， 有.5.4 : b:a3. b:a 2 1.2.1 :.3 :.2.1 :22222 2231 34324121 42 babababa baSS baBCADODOBOCOASSSSSSSS
12、 SS ba 例 题 ： 如 图 ABCD和 CEGF是 两 个 正 方 形 ， AG和 CF相 交 于 H， 已 知 CH 等 于 CF 的三 分 之 一 ， 三 角 形 CHG的 面 积 等 于 6平 方 厘 米 ， 求 五 边 形 ABGEF的 面 积 。49.54.536AGEF 5.4)36(321213cmBC 21HF:CHFG:AC 6cm36CGEF 18CGEF21 18612 1261212 362121 6 21:31 ,22 2 2 222 S DFADADFS cmS cmSCFGSEFGSCFGS cmGFHSGHFScmCHGSAHCS cmCHGSAHFS H
13、FCHCFCH ACEGFGACFGAC ：由 到 如 下 结 论由 梯 形 蝴 蝶 模 型 可 以 得 ：由 已 知 得 ： 是 梯 形， 四 边 形平 行 于则、如 图 ， 连 接如 图 ， 梯 形 ABCD中 ， AD与 BC平 行 ， AD=BE=EC,O是 AC与 BD的 交 点 ， P点 是 AE与 BD的 交 点 。 若 已 知 三 角 形 AOD的 面 积 为 10， 那 么 阴 影 部 分 （ 即 四 边 形 OPEC）的 面 积 是 多 少 ？25530 541: 21:21: / 21:,21: 60230 2021: 21 / APOAECPOEC AOPOCDAOP
14、ADCADECADC OCDOCDAOD SSS SSS AEPCDAPODAO CDAE ODAOADECCPODAO SSS SSS BCADBCAD ECBEADADEC： 中 点为：由 蝴 蝶 模 型 可 得 ：为 平 行 四 边 形四 边 形连 接 ： ：由 蝴 蝶 模 型 可 得 为 平 行 四 边 形 ，四 边 形模 型 六 ： 燕 尾 模 型定 义 ： 燕 尾 定 理 ： 在 三 角 形 ABC中 ， AD， BE， CF相 交 于 同 一 点 O， 有S AOB S AOC=BD CD S AOB S COB=AE CE S BOC S AOC=BF AF因此 图 类 似 燕
15、 尾 而 得 名 。公 式 ： DBDADGBSDGASCGBSCGAS FCFAFGCSFGASBGCSBGAS ECEBEGCSEGBSAGCSAGBS : : : 例 题 ： 如 图 ， 在 三 角 形 ABC 中 ， D 是 BC 的 中 点 ， E 是 AC 的 三 等 分 点 ， AE=2 EC.三 角 形 ABC 的 面 积 是 6 0 平 方 厘 米 ， 那 么 三 角 形 ABF 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米 ？22424 604141 4121 21 1:2: 1:1:cmaABFSa aaaaABCS aBFCSBFDS aBFCSaABFS aAFCSaABFS ECAEFECS EFASBFCS ABFS DCBDFDCS BFDSAFCS ABFSACEBCD 设 ：由 燕 尾 模 型 可 得 ： 的 三 等 分 点是中 点 ，是
