1、4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 1 of 17模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S4S3S2S1ODCBA 或者1243:1324S 124:AOC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、 BD 分成四个部分，AOB 面积为 1 平方千米， BOC 面积为 2 平方千米， COD 的面积为 3 平方千米
2、，公园由陆地面积是 692 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得 平方千米，公园四边形 的面积是 平312.5AOS ABCD123.57方千米，所以人工湖的面积是 平方千米76908【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 的面积； ？BGC:GC AB CDG321【解析】 根据蝴蝶定理， ，那么 ；123BGSA 6BGCSA根据蝴蝶定理， (？ ):1:3任意四边形、梯形与相似模型4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 2 of 17【例 2】 四边形 的对角线 与 交于
3、点 (如图所示)。如果三角形 的面积等于三角形ABCDABDOABD的面积的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_倍。1323COAB CDOH GAB CDO【解析】 在本题中，四边形 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用AD已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的:1:3ABDCS已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形” ，于是可以作 垂直 于 ， 垂直 于 ，面积比转化为高之比
4、。AHBDCGBD再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一： ，:1:3ABDCOS ，236C :1解法二：作 于 ， 于 HG ，3ABDCS ，1G ，AODC ，3 ，26 :1【例 3】 如图，平行四边形 的对角线交于 点， 、 、 、 的面积依次是ABCDOCEF O DF BOE2、4、4 和 6。求：求 的面积；求 的面积。F GOG FEDCBA【解析】 根据题意可知， 的面积为 ，那么 和 的面积都是 ，BD 2461BCO D1628所以 的面积为 ；O
5、CF 84由于 的面积为 8， 的面积为 6，所以 的面积为 ， O E 862根据蝴蝶定理， ，所以 ，:2CEFGS :GCFSG那么 1223GCECEFS4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 3 of 17【例 4】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？7676EDCBA【解析】 在 ， 中有 ，所以 ， 的面积比为 。ABECDEBCDACD()AEB:()CDE同理有 ， 的面积比为 。所以有 = ，也():()EBSCDS就是说
6、在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即 = ，所以有 与6AE7AEA的面积比为 ， = 公顷， = 公顷。 AE7:6ABES7391DE39187显然，最大的三角形的面积为 21 公顷。【例 5】 (2008 年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为 。CABDOCABD【解析】 连接 、 、 。ADB则可根据格点面积公式，可以得到 的面积为： ， 的面积为：AB412ACD， 的面积为： 31.52423所以 ，所以 :3.5:7ABCDOS 41234
7、7ABOABDSS【巩固】如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 的面积。CAB CDE【解析】 因为 ，且 ，所以 ， ， :2:5DEDE:2:5AC52ABCS51027DBCS4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 4 of 17【例 6】 (2007 年人大附中考题)如图，边长为 1 的正方形 中， ， ，求三角形ABCD2ECFD的面积AEGAB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 因为 ， ，所以 2FD11()232DEFABCDABCDSS因为 ，根据蝴蝶定理， ，1AEDABCS :6:G所以 6741GFADFABCDABCD所以 ，132 27A
8、EGSS即三角形 的面积是 【例 7】 如图，长方形 中， ， ，三角形 的面积为 平方厘米，求长BCD:3E:1:2DFCDFG2方形 的面积AAB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 ， A因为 ， ，所以 :2:3:1:2DF311()520DEFABCDABCDSSSA长 方 形 长 方 形因为 ， ，所以 平方厘米，所以1AEDABCS长 方 形 :0GGFA平方厘米因为 ，所以长方形 的面积是 平方厘米F 6AFDABCDS长 方 形 72【例 8】 如图，已知正方形 的边长为 10 厘米， 为 中点， 为 中点， 为 中点，求三角ECEGBF形 的面积BGAB CDEFGO
9、AB CDEFG【解析】 设 与 的交点为 ，连接 、 DCEOEDF4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 5 of 17由蝴蝶定理可知 ，而 ， ，:BEDCOSA 14BEDABCSA 12DABCSA所以 ，故 :12BEDCA 3O由于 为 中点，所以 ，故 ， FF:2:F:1:OE由蝴蝶定理可知 ，所以 ，:BDESA 8BDBABCDSSAA那么 （平方厘米） 1106.526BGDFCAA【例 9】 如图，在 中，已知 、 分别在边 、 上， 与 相交于 ,若 、MNCMNOM和 的面积分别是 3、2、1，则 的面积是 ONNMOCBA【解析】 这道题给出的条
10、件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 312AOMBNNS设 ，根据共边定理我们可以得MONSx， ，解得 ABMNC321xx2.5【例 10】 (2009 年迎春杯初赛六年级)正六边形 的面积是 2009 平方厘米， 分123456A123456B别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米B6B5B4B3B2B1A6A5 A4A3A2A1OB6B5B4B3B2B1A6A5 A4A3A2A1【解析】 如图，设 与 的交点为 ，则图中空白部分由 个与 一样大小的三角形组成，只要6213O623O求出了 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积O连
11、接 、 、 636163设 的面积为” “，则 面积为” “， 面积为” “，那么 面积为1AB126BA1126AB63AB的 倍，为” “，梯形 的面积为 ， 的面积为” “，264342634-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 6 of 17的面积为 123BA2根据蝴蝶定理， ，故 ， ，12632613:1:BABOS2361AOS1237BAS所以 ，即 的面积为梯形 面积的 ，故为六边形231236:7AAS梯 形 236面积的 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 ，所以阴影部分面积为14564 4(平方厘米)09874-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题
12、库 page 7 of 17板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AB CDObaS3S2 S1S4 213:a ；24:Sab 的对应份数为 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 11】 如图， ， ，求梯形的面积2S34S4S3S2 S1【解析】 设 为 份， 为 份，根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ；又因为 ，所12a2b234Sb2Sab以 ；那么 ， ，所以梯形面积 ，或者142Sab123419S根据梯形蝴蝶定理
13、， 219【巩固】(2006 年南京智力数学冬令营)如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，ABCDCABDO已知 与 的面积分别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是AOB C 535C_平方厘米3525OA BCD【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ，可得 ，再根据梯形蝴蝶定理，2:5:3AOBSab:57ab，所以 (平方厘米)那么梯形 的面积为22:5749AOBCSab49DOCSA ABCD(平方厘米)253491【例 12】 梯形 的对角线 与 交于点 ，已知梯形上底为 2，且三角形 的面积等于三角DC O形 面积的 ，求三角形 与三角形 的面积之比B23AB4-2-3
14、任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 8 of 17OAB CD【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ，可以求出 ，2:3AOBCSab:23ab再根据梯形蝴蝶定理， 249DA通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论【 例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形 中，对角线 和 交于 点，已知 ，并且BCACBDO1A，那么 的长是多少？35ABCD三 角 形 的 面 积三 角 形 的 面 积 O ABCDO【解析】 根据蝴蝶定理， ，所以 ，又 ，所以 ABOC三 角 形 的 面 积三 角
15、 形 的 面 积 35AC1O53C【例 14】 梯形的下底是上底的 倍，三角形 的面积是 ，问三角形 的面积是多少？1.5B29cmADAB CDO【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ， ，:1.52:3ab22:34:9AODBCSab所以 24cmAODS【巩固】如图，梯形 中， 、 的面积分别为 和 ，求梯形 的面积BCAC1.27ABCDOD CBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ，2:4:9AOBDSab:23ab， ，2:3AOBSab18AOCBS1.8.7.5CD梯 形4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 9 of 17【例 15】 如下图，一个长方形被一些
16、直线分成了若干个小块，已知三角形 的面积是 ，三角形ADG1的面积是 ，求四边形 的面积BCH23EGFHHGFED CBAHGFED CBA【解析】 如图，连结 EF，显然四边形 ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积，所以四边形 EGFH 的面积是 1234【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形2 的面积为 36，则三角形 1 的面积为_321321【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2
17、 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是 ，3 的面积就是 43615536204【 例 16】 如图，正方形 面积为 平方厘米， 是 边上的中点求图中阴影部分的面积ABCDMADGM DCBA【解析】 因为 是 边上的中点，所以 ，根据梯形蝴蝶定理可以知道:1:2AMBC，设 份，则 2:1:4AGBCGBSS （ ） （ ） 1AGMS 123MCDS份，所以正方形的面积为 份， 份，所以 ，所以432S阴 影 :阴 影 正 方 形平方厘米1阴 影【巩固】在下图的正方形 中， 是 边的中点， 与 相交于 点，三角形 的面积为 1 平DEAEBDFBEF方
18、厘米，那么正方形 面积是 平方厘米ABCAB CDEF【解析】 连接 ，根据题意可知 ，根据蝴蝶定理得 (平方厘米)，D:1:2BEAD21S梯 形 （ ）(平方厘米)，那么 (平方厘米)3ECS CS4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 10 of 17【例 17】 如图面积为 平方厘米的正方形 中， 是 边上的三等分点，求阴影部分的面12ABCD,EFC积OFED CBA【解析】 因为 是 边上的三等分点，所以 ，设 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道, :1:3EFAB1OEFS份， 份， 份，因此正方形的面积为3AOEFBS 9AOBS ()DCS 份， ，所以 ，所以 平
19、方厘米24(1)46阴 影 :6:24阴 影 正 方 形 3阴 影【例 18】 如图，在长方形 中， 厘米， 厘米， ，求阴影部分的面积CABBCADE FOBCADE FO【解析】 方法一：如图，连接 ， 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形 的面积为DE AED平方厘米2632由于 ，根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ，而:1:EFC:3:1DEOFSA 34DEOEFSAA平方厘米，所以 平方厘米，阴影部分的面积为 平方厘DASA 32.54EA 21.53米方法二：如图，连接 ， ，由于 ，设 份，根据梯形蝴蝶定理，DFC:1:1OEFS份， 份， 份，因此3OEDS 2(13)6ES梯
20、 形 34ADEBCS 份， 份，而 平方厘米，所以46ABC长 方 形 47阴 影 62AD长 方 形平方厘米.5阴 影【例 19】 (2008 年”奥数网杯”六年级试题)已知 是平行四边形， ，三角形 的B:3:2BCEODE面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是 平方厘米OEAB CDOEAB CD【解析】 连接 A由于 是平行四边形， ，所以 ，D:3:2:2:3AD根据梯形蝴蝶定理， ，所以 (平方24:69COEADOEASSA 6AOCS厘米)， (平方厘米)，又 (平方厘米)，阴影部分面积为9AOS6915BC(平方厘米)61524-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 p
21、age 11 of 17【巩固】右图中 是梯形， 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部ABCDABE分的面积是 平方厘米21AB CDE9421AB CDEO94【分析】 连接 A由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那么 DADODAES根据蝴蝶定理， ，故 ，4936OCDEOCASS236C所以 (平方厘米)6OC【巩固】(2008 年三帆中学考题)右图中 是梯形， 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单BBE位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米1682AB CDEO1682AB CDE【解析】 连接 A由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那么 DADOD
22、AES根据蝴蝶定理， ，故 ，所以 (平方厘米)2816OCDEOCASS216C4OCDS另解：在平行四边形 中， (平方厘米)，BADEABED所以 (平方厘米)，1284AOEDAOSS根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为 (平方厘米)【例 20】 如图所示， 、 将长方形 分成 4 块， 的面积是 5 平方厘米， 的面积BCFFCED是 10 平方厘米问：四边形 的面积是多少平方厘米？EFAB CDE105FAB CDE105【分析】 连接 ，根据梯形模型，可知三角形 的面积和三角形 的面积相等，即其面积也是 10 平FFD方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 的面积为 (平方厘米)，所以长方形的
23、面积为E1052(平方厘米)四边形 的面积为 (平方厘米)20160A605【巩固】如图所示， 、 将长方形 分成 4 块， 的面积是 4 平方厘米， 的面积是 6BDCBDCED平方厘米问：四边形 的面积是多少平方厘米？F4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 12 of 1764AB CDEF64AB CDEF【解析】 (法 1)连接 ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形 的面积和三角形 的面F BEFDEC积相等，即其面积也是 6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 的面积为 (平方厘米)，649所以长方形的面积为 (平方厘米)四边形 的面积为 (平方厘9230A3
24、01米)(法 2)由题意可知， ，根据相似三角形性质， ，所以三角形 的面积46EFC2EDFBCBCE为： (平方厘米)则三角形 面积为 15 平方厘米，长方形面积为 (平方厘米)693BD15230四边形 的面积为 (平方厘米)AB30491【巩固】(98 迎春杯初赛)如图， 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为 ， 的长是 ，C54OD16的长是 .那么四边形 的面积是多少？O9OEEODCBA【解析】 因为连接 知道 和 的面积相等即为 ，又因为 ,所以 的面AB EO 54169ODB = AOD积为 ，根据四边形的对角线性质知道： 的面积为： ，所54916 E 5430.75以
25、四边形 的面积为： (平方厘米).OD549630.719.62【例 21】 (2007 年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形 被 、 分成四块，已知其中 3 块的ABCF面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形 的面积为_平方厘米OF?85 2OA BCDE F?85 2OA BCDE F【解析】 连接 、 四边形 为梯形，所以 ，又根据蝴蝶定理，EFEFEODFSA，所以 ，所以 (平方厘米)，OCODSS 2816EOFCS4EODS(平方厘米)那么长方形 的面积为 平方厘米，四边形 的面4812DB4FBC积为 (平方厘米)59【例 22】 (98 迎春杯初赛)如图，长方形
26、中， 是直角三角形且面积为 54， 的长是 16， 的A长是 9那么四边形 的面积是 EC4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 13 of 17AB CDEOAB CDEO【解析】 解法一：连接 ，依题意 ，所以 ，D1195422AOSA12AO则 1692AOS又因为 ，所以 ，541BDOEEA 364得 ，3028OEA所以 55930198CDBOEABDOESSSAA解法二：由于 ，所以 ，而 ，根据:16: 64AODS54DOEABSA蝴蝶定理， ，所以 ，BOEADOBDEAA 3508BE所以 35490198CDSSS【例 23】 如图， 是等腰直角三角
27、形， 是正方形，线段 与 相交于 点已知正方形FGABCDK的面积 48， ，则 的面积是多少？EFG:1:3AKBKKGFEDCBAMKGFEDCBA【解析】 由于 是正方形，所以 与 平行，那么四边形 是梯形在梯形 中，DGDAADBADBC和 的面积是相等的而 ，所以 的面积是 面积的 ，KA:1:3KK134那么 的面积也是 面积的 BB4由于 是等腰直角三角形，如果过 作 的垂线， 为垂足，那么 是 的中点，而且CABCMB，可见 和 的面积都等于正方形 面积的一半，所以 的面积与正AMDEAMDEFGAC方形 的面积相等，为 48FG那么 的面积为 BK1482【例 24】 如图所
28、示， 是梯形， 面积是 ， 的面积是 9， 的面积是 27那么ACADE1.8ABFBCF阴影 面积是多少？E4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 14 of 17FEDCBA【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到 ，而 (等积变换)，所以可得AFBDCAFBCSSAFBDCS，9327AFBCDDS并且 ，而 ，1.82EAE:9:2713AFBC所以阴影 的面积是： 418CES【例 25】 如图，正六边形面积为 ，那么阴影部分面积为多少？622412241【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影
29、部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 8613【例 26】 如图，已知 是 中点， 是 的中点， 是 的中点三角形 由这 6 部分DBCEDFACABC组成，其中比多 6 平方厘米那么三角形 的面积是多少平方厘米？B BFED CA【解析】 因为 是 中点， 为 中点，有 且平行于 ，则四边形 为梯形在梯形ECFA2DFEADAEF中有= ，= ，：= ： =4又已知-= 6，所以=AF 2F，= ，所以= 16，而=，所以= 4，梯形 的面6(41)248 D积为、四块图形的面积和，为 有 与 的面积比为 平8418CCE方与 平方的比，即为 1:4所以 面积为梯形 面积的 = ，即为 因C
30、DACAE-1318243为 是 中点，所以 与 的面积相等，而 的面积为 、 的面积和，BBDABAB即为 平方厘米三角形 的面积为 48 平方厘米248【 例 27】 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 15 of 17【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，
31、图中四个空白三角形的高均为，因此空白处的总面积为 ，阴影部分的面积为 1.561.52426214解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都为6，上底、下底之比为 ，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面2:3积之比为 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 ，阴影部分21:31:9 916的面积占该梯形面积的 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 ，那么阴影部分的面76 7积为 27(6)141【例 28】 如图，在正方形 中， 、 分别在 与 上，且 ， ，连接 、ABCDEFBCD2EB2CFDBF，相交于点 ，过 作
32、 、 得到两个正方形 和 ，设正方形 的面积DEGMNPQMGQAPNMGQA为 ，正方形 的面积为 ，则 _1SP2S12:QPNMAB CDEFGQPNMAB CDEFG【解析】 连接 、 设正方形 边长为 3，则 ， ，所以，DFAD2F1BEDF， 因为 ，所以 由梯22822318B2 281412EBD形蝴蝶定理，得 ，:8:4:96GEGFnBESS 所以， 因为 ， ，66495BBDDF 梯 形 梯 形 93BCDS CEFS所以 ，所以， 2CDEFFE 梯 形 652BGE由于 底边 上的高即为正方形 的边长，所以 ， ， PCN6215N6935ND所以 ，则 :3:A
33、MN212:9:4SAM【例 29】 如下图，在梯形 中， 与 平行，且 ，点 、 分别是 和 的中点，ABCDABEFABC已知阴影四边形 的面积是 54 平方厘米，则梯形 的面积是 平方厘米EFCD4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 16 of 17FEA BCDMNFEA BCDMN【解析】 连接 ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小F三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形 面积ABD设梯形 的上底为 ，总面积为 则下底为 ， ABaS2a132EFa所以 ， 3:2:EF3:4EFDC由于梯形 和梯形 的高相等，所以，3
34、: : :25:7ABFECDSABaa梯 形 梯 形故 ， 512S梯 形 712EFCDS梯 形根据梯形蝴蝶定理，梯形 内各三角形的面积之比为 ，所以22:3:4:69；9953460EMFABFESA梯 形同理可得 ，71264128ENFSSA 梯 形 FCD所以 ，由于 平方厘米，3902835MENFSA 54EMFN所以 (平方厘米)9543【例 30】 (2006 年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形 都是边长为 1 的正方形， 、 、ABCDEF、 分别是 ， ， ， 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比GHABCDA是最简分数 ，那么， 的值等于 mn(
35、)nAB CDEFGHHGFEDCBA【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接 设 与 的交点为 EGADEM左图中 为长方形，可知 的面积为长方形 面积的 ，所以三角形 的面积为AEGDMAG14AMD又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为21484-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 17 of 171482MAB CDEFGHNHGFEDCBA如上图所示，在右图中连接 、 设 、 的交点为 AEAEN可知 且 那么三角形 的面积为三角形 面积的 ，所以三角形 EA2 AB14BEF的面积为 ，梯形 的面积为 2148F1328在梯形 中，由于 ，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：FC:1:EAC，所以三角形 的面积为 ，那么四边形 的221:EN124BENF面积为 而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为184663那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 ，即 ，1:323mn那么 。25mn
