1、 page 1 of 18例题精讲燕尾定理：在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，ABCDBECFO那么， :OASDOFED CBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 和 的形状很象燕子的尾巴，所A以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理 ： 如右图， 是 上任意一点，请你说明：DBC1423:SBDC S3S1 S4S2 ED CBA【解析】 三角形 与三角形 同高，分别以 、 为底，所以有 ；BDC14:SBDC三角形
2、 与三角形 同高， ；AEB12:SEA三角形 与三角形 同高， ，所以 ；C431423:综上可得， . 1423:S燕尾定理page 2 of 18【例 1】 （2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点ABC1EAC在 上，且 ， 与 交于点 则四边形 的面积等于 DBC:1:2DABEFDFFED CBA33321F ED CBAAB CDEFF ED CBA【解析】 方法一：连接 ，根据燕尾定理， ， , 12ABFCS 1ABFCSE设 份，则 份， 份， 份，如图所标1BDFS D 3 3AFECS 所以 521CEAB方法二：连接 ，由题
3、目条件可得到 ，13ABDABC ，所以 ，13ADEACABCSS ESF，1112232FDEBEABC 而 所以则四边形 的面积等于 3CACSS D5【巩固】如图，已知 ， ，三角形 的面积是 ，求阴影部分面积. 30 DEFCBADEFCBADEFCBA【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接 ，因为 ， ，三角形 的面积是 30，CFBC2EABC所以 ， 103ABEAS 15ADBCS 根
4、据燕尾定理， ， , 2BFC 1F所以 ， ，17.54ABFAS 157.BDS所以阴影部分面积是 30.(法二)连接 ，由题目条件可得到 ，DE103ABEABCS ，所以 ，12123BBCABCSS EDFpage 3 of 18，1112.52323DEFDEAADCABCSSS 而 所以阴影部分的面积为 03CB 1【巩固】如图，三角形 的面积是 ， 在 上 ，点 在 上，且 ,2cmEDBC:3:5AE， 与 交于点 则四边形 的面积等于 :2:BDAFDFC FED CBAAB CDEFF ED CBA【解析】 连接 ，C根据燕尾定理， ， , 2639ABFCS 36510
5、ABFCSE设 份，则 份, 份， 份， 份，6ABFS 10 4598EC 31062CDFS所以 245420(910)(6)8(6)3(cm)DCE【巩固】如图，已知 ， ， 与 相交于点 ,则 被分成的 部分面积各占32ECABDOAB 4面积的几分之几？AB OED CBA13.5 4.59 211213OED CBA【解析】 连接 ,设 份，则其他部分的面积如图所示，所以 份，所以四部1AEOS 129830ABCS分按从小到大各占 面积的 24.593.5,0600【巩固】( 年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在 中， ， ， 与 相交207 AB 2P3QABP于点 ，若 的面积
6、为 ，则 的面积等于 XABC 6XXQ PA BCXQ PA BC44 11XQ PCBA【解析】 方法一：连接 由于 ， ，所以 ， 12CP13QC23ABQABCS126PQBCABCSSA由蝴蝶定理知， ，:4:6ABPXpage 4 of 18所以 41262.455ABXABPABCABSS方法二：连接 设 份，根据燕尾定理标出其他部分面积，X所以 6(4).ABX【巩固】如图，三角形 的面积是 ， ， ， 与 相交于点 ，请写出这 部分12BD2EADBEF4的面积各是多少?AB CDEF486 21AB CDEF【解析】 连接 ，设 份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图
7、所示，所以 ,C1AEFS 12AEFS, ,627ABFS 8BD 2417FDCES【巩固】如图， 在 上， 在 上，且 , ， 与 交于点 四边形:3A:1:2BDCAB的面积等于 ，则三角形 的面积 DEC2cmAB CDEFAB CDEF2.41.62AB CDEF1 2【解析】 连接 ,根据燕尾定理， ， , 12AFS 3AFBSE设 份，则 份， 份， 份， 份,1BDFS 2DC B 4C 241.63AEFS份,如图所标,所以 份, 份34.2EC .EFDS9BC所以 2945(cm)AB【巩固】三角形 中， 是直角，已知 ， ， ， ，那么三角形 (阴影AC23AMAM
8、N部分)的面积为多少？ABC DMNABC DMN【解析】 连接 B的面积为A 32根据燕尾定理， ；:2:1AN page 5 of 18同理 :1:CBNAM 设 面积为 1 份，则 的面积也是 1 份，所以 的面积是 份，而 的 NB ANB 12ACN面积就是 份， 也是 4 份，这样 的面积为 份，所以 的24C C 40M面积为 30.【巩固】如图，长方形 的面积是 平方厘米， ， 是 的中点阴影部分的面积是多少ABD22EDFG平方厘米?x yyxAB CDEFGGF EDCBA3 3GF EDCBA213【解析】 设 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 平方厘米.1DEFS 5
9、12BDS阴 影【例 2】 如图所示，在四边形 中， ， ，四边形 的面积是 ，那么平行四AD3E3ADFAEOF12边形 的面积为_BOCOFE DCBA684621OFE DCBA【解析】 连接 ,根据燕尾定理 , ,设 ,AD:2AODSF :2:1AODBSE BEOS则其他图形面积，如图所标，所以 .14BCAEOS【例 3】 是边长为 厘米的正方形， 、 分别是 、 边的中点， 与 交于 ，则四边BC12BCFCG形 的面积是_平方厘米G G FED CBA G FED CBA【解析】 连接 、 ，设 份，根据燕尾定理得 份， 份，则C1GCS 1AGS 1BGCS份， 份，所以1
10、26S形 34AD22649(cm)DC【例 4】 如图，正方形 的面积是 平方厘米， 是 的中点， 是 的中点，四边形 的AB20EFBGHF面积是_平方厘米page 6 of 18HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】 连接 ,根据沙漏模型得 ,设 份，根据燕尾定理 份， 份，:1:2GD1HCS 2CHDS 2BHDS因此 份， ，所以 (平方厘米).12)0S形 736BFG710146BFHG【例 5】 如图所示，在 中， ， 是 的中点，那么 ABC :1EAE:AFEDCBAFEDCBA【解析】 连接 C由于 ， ，所以 ，:1:ABDES :3:4BEDCS :3:4ABDS
11、 根据燕尾定理， AF 【巩固】在 中， ， ，求 ？:3:2:1:OEAB CDEOAB CDEO【解析】 连接 因为 ，根据燕尾定理， ，即 ；:3:2:3:2AOBCS32AOBACS又 ，所以 则 ，1AE43AOCES42AOES所以 :1BEO【巩固】在 中， ， ，求 ？C2D:3:BAB CDEOpage 7 of 18【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC连接
12、 OCAB CDEO因为 ，根据燕尾定理， ，即 ；:2:1:2:1AOBCSD2AOBCS又 ，所以 则 ，3AE4AOES48AOES所以 :8:1BEO【例 6】 （2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形 是矩形， 、 分别是 、 上的点，且F， ， 与 相交于 ，若矩形 的面积为 ，则 与 的13AE4CFACGABCD120AEGCF面积之和为 AB CDEFGHAB CDEFGAB CDEFG【解析】 (法 1)如图，过 做 的平行线交 于 ，则 ，EA:1:3EH所以 ， ，即 ，2AEH:2G2AG所以 3103942GABFABCDSSS且 ，故 ，则 CEE152CG
13、FAEGSS所以两三角形面积之和为 105(法 2)如上右图，连接 、 G根据燕尾定理， ， ，:3:1ABGCSF :1BCGAS而 ，160ABCDS所以 ， ， ， ，32G602ABC231BCG6023ABCS则 ， ，1AEAB154FGBS所以两个三角形的面积之和为 15【例 7】 如右图，三角形 中， ， ，求 C:9D:4:3CEA:FBpage 8 of 18OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 :4:9127AOBSD 36CE （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :27:16:AOCBF 【点评】本题关键是把 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用
14、比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .:3:4DC:5:6AE:AFB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 :3:415:20AOBSD 68CE （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :20:18:9:AOCBAFB 【巩固】如图， , ,则 :3D:5:3E: GF ED CBA【解析】 根据燕尾定理有 , ,所以:2:3105ABGCS :5:3106ABGS :156ACGBS 【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .:4EC:AFB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得
15、:2:3105AOBCS 48E （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :15:8:AOCBF page 9 of 18【点评】本题关键是把 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如AOB果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】 (2008 年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形 中，ABC，且三角形 的面积是 ，则三角形 的面积为_，三:3:2AFDCE1ABE角形 的面积为_，三角形 的面积为_GGHIIHGFED CBAIHGFED CBA【分析】 连接 、 、 AI由于 ，所以 ，故 ；:3:2CE25AE25A
16、BEABCS根据燕尾定理， ， ，所以:3CGBS :3:2GE，则 ， ；:4:69ACGBS 419ACG91BC那么 ；28515EAGC同样分析可得 ，则 ， ，所以9HS:4:9ACGHES:4:19ACGBES，同样分析可得 ，:4:0B105ID所以 ， 52115IEAE59HIBIE【巩固】 如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，求三角C:3:2FCAGHI1形 的面积BC IHGF ED CBAIHGF ED CBA【解析】 连接 BG， 份AGCS 6根据燕尾定理， ，:3:264BGCSAF :3:296ABGCS 得 (份)， (份)，则 (份)，因此 ,4B
17、 9A 19ABCS 619同理连接 AI、CH 得 , ,61BHCS I所以 199GHIABCS三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19page 10 of 18【巩固】(2009 年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图， 中 ， ，ABC2DA2CEB，那么 的面积是阴影三角形面积的 倍2AFCABAB CDEFGH IIHG FEDCBA【分析】 如图，连接 AI根据燕尾定理， ， ，:2:1BCIAISD:1:2BCIAISF所以， ，:14I那么， 27BIABABCS同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 面积GH27A
18、BC的 ，所以 的面积是阴影三角形面积的 7 倍137【巩固】如图在 中， ,求 的值ABC 12DEAFBGHIAC 的 面 积 的 面 积 IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】 连接 BG,设 1 份，根据燕尾定理 , ,BGCS :2:1AGCBSF :2:1ABGCSD 得 (份)， (份),则 (份)，因此 ,同理连接 AI、CH 得2A 4AB 7B 7AGCB, ,7BHCS IC所以 217GIAB【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思
19、路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在 中， ,求 的值ABC 13DEAFBGHIAC 的 面 积 的 面 积page 11 of 18IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】 连接 BG,设 1 份，根据燕尾定理 , ,BGCS :3:1AGCBSF :3:1ABGCSD 得 (份)， (份),则 (份)，因此 ,同理连接 AI、CH 得3A 9AB 13B AGCB, ,BHCS 1IC所以 34GIAB【巩固】如右图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，求角形:4:3AFBDCEAABC74的面积HIIHGF ED CBAIHGF ED CBA【解析】 连接 BG， 1
20、2 份AGCS 根据燕尾定理， ，:4:3129BGCSAF :4:3162ABGCSD 得 (份)， (份)，则 (份)，因此 ,9B 16A 637ABCS 7AGCBS同理连接 AI、CH 得 , ,237BHCS I所以 37GHIABCS三角形 ABC 的面积是 ,所以三角形 GHI 的面积是417423【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是 ， ，37，则阴影四边形的面积是多少？7773773FEDCBAx+3x 773 FEDCBA【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算
21、.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形设三角形为 ， 和 交于 ，则 ，再连结 ABCEDFEDpage 12 of 18所以三角形 的面积为 3.设三角形 的面积为 ，DEFADEx则 ，所以 ，四边形的面积为 :3:10:xABx15x18方法二：设 ，根据燕尾定理 ,得到 ，再根据向右下S :BFCAFECSS 3AEFSx飞的燕子，有 ，解得 四边形的面积为(7):7.7.5【巩固】右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 4321【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的
22、字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：，解得 .2:13:4S阴 影 2S阴 影方法二：回顾下燕尾定理，有 ，解得 .:41:3阴 影（ ） 2S阴 影【例 10】 如图，三角形 被分成 个三角形，已知其中 个三角形的面积，问三角形 的面积是ABC64ABC多少?35304084OF ED CBA【解析】 设 ，由题意知 根据燕尾定理,得OFSx :4:3B,所以 ，:ABCDOCS 3(84)6ACOSx再根据 ，列方程 解得:BAEO :0(5):34x56x,所以:35(684):(03)AOES 7AE所以三角形 ABC 的面
23、积是 40356315【例 11】 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面积FEDCBANMFEDCBA【解析】 令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN在 中，根据燕尾定理， , ,AC :1:ABMCSE :1:ACMBSD page 13 of 18所以 13ABMCBNABCSS 由于 S，所以12EAM :2:1E在 中，根据燕尾定理， :BENCF :1:2CENBSM 设 (份)，则 (份)， (份)， (份)，CENS 1BEN 4B所以 , ，因为 ,F 为
24、BC 中点,124BCACS 148BEBEAS :2:所以 , ,3812MNBEAC 1248FNBCABCSS 所以 (平方厘米)1553.124ACBSS 阴 影【例 12】 如右图， 中， 是 的中点， 、 、 是 边上的四等分点， 与 交于 GDEDG， 与 交于 ，已知 的面积比四边形 的面积大 平方厘米，则 的AFBNM FCGN7.2ABC面积是多少平方厘米？NM GAB CDE FNM GAB CDE F【解析】 连接 、 根据燕尾定理， ， ，所以:1:ABMSG :1:3ABMCSD ；15ABMCS 再根据燕尾定理， ，所以 ，所以:ABNC :4:ABNFCBNFS
25、S ，那么 ，所以 :4:3NF14237GFS 25151728FCGAACABCS 根据题意，有 ，可得 (平方厘米)15.28ABCABC 36ABS【巩固】(2007 年四中分班考试题)如图， 中，点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，DEF若 的面积为 1，那么四边形 的面积是_MFAB CDEMNFAB CDEMN【解析】 由于点 是边 的中点，点 、 是边 的三等分点，如果能求出 、 、 三段的比，AEFCBNMD那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形 的面积DF连接 、 CMN根据燕尾定理， ，而 ，所以 ，那:2:1ABMCS2ACMAS24ABMA
26、CADMSS么 ，即 4BD45Dpage 14 of 18那么 ， 42153BMFBCDSS1472530CDMFS四 边 形另解：得出 后，可得 ，2AAMAAAB则 710CFDDM四 边 形【例 13】 如图，三角形 的面积是 ， ， ，三角形 被分成 部分，BBDECFGABC9请写出这 部分的面积各是多少?9GFED CBANMQPGFED CBA【解析】 设 BG 与 AD 交于点 P，BG 与 AE 交于点 Q，BF 与 AD 交于点 M，BF 与 AE 交于点 N连接CP，CQ，CM，CN根据燕尾定理， ， ，设 (份)，则:1:2ABCSG :1:2ABPCSD 1ABP
27、S(份)，所以125ABCS 5ABPS同理可得， , ,而 ，所以 ， 7ABQ 2N 3G 2375APQ 3721AQG同理， ,所以 ， ,35PMS 1D 1920PQMNS四 边 形 19504MNEDS四 边 形,1246NFCE四 边 形 564GF四 边 形【巩固】如图， 的面积为 1，点 、 是 边的三等分点，点 、 是 边的三等分点，那么四ABEBCFGAC边形 的面积是多少？JKIHKJI HA BCDEFGKJI HA BCDEFG【解析】 连接 、 、 CJ根据燕尾定理， ， ，:1:2ACKBSD:1:2ABKCSG所以 ，那么 ， :124ACKB 147C3A
28、KACS类似分析可得 5AGI又 ， ，可得 :ABJCSF:2:1ABJCSD 14ACJ那么， 17428GKpage 15 of 18根据对称性，可知四边形 的面积也为 ，那么四边形 周围的图形的面积之和为CEHJ1784JKIH，所以四边形 的面积为 1726284530CGKJAGIBSS61970【例 14】 如右图，面积为 的 中， ， ， :1:2BDEC:2FGA，求阴影部分面积:1:HIIH GFED CBAPNMAB CD EFGHI【解析】 设 交 于 ， 交 于 ， 交 于 连接 ，IGHMI IAM F ， ，:3:4AI:3:4AF916AIFABCS ， ，2F
29、IMSI :2IMIG ，196AIAIFABCS 3H364AHMABCS :4HB:3:41AFBC 同理 ，1CFDBHABCS 7DHAS 3:146F ，:3:,:AI ，又 ，:4,:2E ，23EIFP同理 ， ， ，:HND:1:4HMF:2:5HND 17060MFABCSS 同理 个小阴影三角形的面积均为 6716阴影部分面积 218【例 15】 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积. IGHFEDCBAINMQPGHFEDCBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定
30、理吧！page 16 of 18令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P,BI 与 CE 的交点为 Q,连接AM、BN、CP求 ：在 中，根据燕尾定理，ADIS四 边 形 BC :1:2ABMCSI :1:2CMB 设 (份)，则 (份), (份), (份),1 MS 1AC 4所以 ，所以 , ,4ABCABCS 32DMABABCSS 12IMABCS 所以 ,1()126ABCDMI 四 边 形同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 面积的 6求 ：在 中，根据燕尾定理DNPQES五 边 形 :1:2ABNCSF ,:1:2ACB 所
31、以 ,同理371ABABCABCS 12BEQABS 在 中，根据燕尾定理 , :PF :1:2PCI 所以 15ABPABCS 所以 115205PADNBEPABCABCDNQESSS 五 边 形同理另外两个五边形面积是 面积的 0所以 11336057S阴 影【例 16】 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHFEDCBASR INMQPGHFEDCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、P、S 、M 、Q，连接 CR在 中根据燕尾定理， ,AC :.2:1ABCG :1:2BRSI 所
32、以 ,同理 ,27AABCS 7ACSAB 7QABCS 所以 RQ同理 1MNP根据容斥原理，和上题结果 13170S六 边 形【例 17】 （ 年数学解题能力大赛六年级初试试题）正 六 边 形 ， ， ， ， ， 的 面 积 是209 1A2345A6page 17 of 18平 方 厘 米 ， ， ， ， ， ， 分 别 是 正 六 边 形 各 边 的 中 点 ； 那 么 图 中 阴 影 六 边 形 的 面2091B2345B6积 是 平 方 厘 米 A6B4B5 B3B2B6B1A5 A4A3A2A1GB3B2A6B4B5B6B1A5 A4A3A2A1ED【解析】 （方法一）因为空白的
33、面积等于 面积的 倍，所以关键求 的面积，根据燕尾定理23G 623AG可得 ，但在 用燕尾定理时，需要知道 的长度2312317AGASS 正 六 边 形 123 13,DA比，连接 , ,过 作 的平行线，交 于 ，根据沙漏模型得 ,再根据金166B12AAEE字塔模型得 ,因此 ,在 中，设 份，则 份,3E3:D123 12AGS 23AGS份，所以 ，31AGS 2312374AGASS 正 六 边 形 正 六 边 形因此 （平方厘米）460984阴 影 正 六 边 形（ ）（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成 个大小形
34、状相同的梯形，其中阴影有 个梯形，所以阴影面积为1（平方厘米）8209814 B CDAEFGEA1 A2A3A4A5B1B6B5B4A6B2B3GD【例 18】 已知四边形 ， 为正方形， ， 与 是两个正方形的边长，求ABDHFG:1:8S乙甲 ab:?ab乙乙baGHOFED CBA乙乙baNMGHOFED CBA【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解page 18 of 18连接 EO、AF，根据燕尾定理： ， :AOEFSab :AOFESab 所以 ，作 OMAE 、ONEF，2:AEF AE EF 2:OMNab 318S乙甲 :
