1、1专题四：抛物线与面积的问题1、 （2011 年青海，28） 已知一元二次方程 x24x 3=0 的两根是 m，n 且 mn. 如图 12，若抛物线 y=-x2+bx+c 的图像经过点 A（m ，0） 、B （0，n）.（1）求抛物线的解析式. （2）若（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 C.根据图像回答，当 x 取何值时，抛物线的图像在直线 BC 的上方？（3）点 P 在线段 OC 上，作 PEx 轴与抛物线交与点 E，若直线 BC 将CPE 的面积分成相等的两部分，求点 P 的坐标 .22、 （ 2011大连）26 如图 15，抛物线 yax 2bxc 经过 A (1 ，0) 、B
2、(3，0)、C (0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB（1 ）求该抛物线的解析式；（2 ）抛物线 上是否存在一点 Q，使QMB 与 PMB 的面积相等，若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3 ）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 R，使RPM 与RMB 的面积相等，若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由3、 （2012.河南）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+1 与抛物线 y=ax2+bx-3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，yxMPOCBA153点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛
3、物线上一动点（不与 A、B 点重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB于点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a、b 及 sinACP 的值；（2）设点 P 的横坐标为 m；含有 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积之比为 9：10？若存在直接写出 m 的值；若不存在，说明理由44、（2012 广东）如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、AC 。（1）求 AB 和 OC 的长；（2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点
4、B 运动（点 E 与点 A、B 不重合）。过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D。设 AE 的长为 m，ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，连接 CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留 ）。55、（2012 攀枝花）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是菱形，顶点 A，C，D 均在坐标轴上，且AB=5， sinB= （1）求过 A，C，D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线 AB 的解析式为 y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为 y
5、2=ax2+bx+c，求当y1y 2时，自变量 x 的取值范围；（3）设直线 AB 与（1）中抛物线的另一个交点为 E，P 点为抛物线上 AE 两点之间的一个动点，当 P 点在何处时， PAE 的面积最大？并求出面积的最大值66、（2012 兰州） 如图，RtABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线 y x2bxc 经过点 B，且顶点在直线 x 上(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABC
6、D 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点( 点 M 与点O、B 不重合)，过点 M 作BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t， PMN 的面积为 S，求 S 和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由77、（2013 呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点 A（6，0）、B（2，0
7、）和点 C（0，8）（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的顶点为 M，若点 K 为 x 轴上的动点，当KCM 的周长最小时，点 K 的坐标为 （ ，0） ；（3）连接 AC，有两动点 P、Q 同时从点 O 出发，其中点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿折线 OAC 按 OAC 的路线运动，点Q 以每秒 8 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 OCA 的路线运动，当 P、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设 P、Q 同时从点O 出发 t 秒时，OPQ 的面积为 S请问 P、Q 两点在运动过程中，是否存在 PQOC？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；请求出 S 关于
8、 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；设 S0是中函数 S 的最大值，直接写出 S0的值88、（2013 重庆 A）如图，对称轴为直线 x=-1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（-3 ，0）（1）求点 B 的坐标；（2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点若点 P 在抛物线上，且 SPOC=4SBOC求点 P 的坐标；设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值。解：(1)对称轴为直线 x=1 的抛物线y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴相交于 A、B 两点， A、B
9、两点关于直线 x=1 对称， 点 A 的坐标为(3，0)， 点 B 的坐标为(1 ，0)； 99、 （2013 重庆 B）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5 ，0） ，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5 ） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于 点N，求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，AB
10、N 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标1010、 （ 2013 新疆）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若 存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的坐标1111、（2013 河南）如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(-
11、1,0),B(5,0)两点,直线 y=-3x/4+3 与 y 轴交于点 ,与 y 轴交于点 C.与 x 轴交于点 D。点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点,过点 P 作 PFx 轴于点 F,交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式;(2)若 PE=5EF,求 m 的值;(3)若点 E是点 E 关于直线 PC 的对称点,是否存在点 P,使点 E落在 y 轴上?若存在,请直接写出相应的点 P的坐标;若不存在,请说明理由.1212、 （2014 泰安数学） 29二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 1，4 ） ，且与直线 y= x+1 相交于 A、B 两点
12、（如图） ，A 点在 y 轴上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0 ） （1 ）求二次函数的表达式；（2 ）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB 上方） ，过 N 作 NPx 轴，垂足为点 P，交 AB 于点M，求 MN 的最大值；（3 ）在（2 ）的条件下，点 N 在何位置时，BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标1313、（2014 烟台）26如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上，ACB=90 ，OA= ，抛物线 y=ax2axa 经过点 B（2， ），与 y 轴交于点 D（1）求抛物线的表达式；（2
13、）点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由1414、（2014 枣庄）（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x22x3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 D 为抛物线的顶点，点 P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点 D 重合） （1）求OBC 的度数； （2）连接 CD、BD、DP ，延长 DP 交 x 轴正半轴于点 E，且SOCE=S 四边形 OCDB，求此时 P 点的坐标； （3）过点 P 作 PFx 轴交 BC 于点 F，求线段 PF 长度的最大值
