1、 抛物线的定值问题李远敬 （辽宁省本溪市机电工程学校 117022）【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到圆锥曲线的一些定值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了抛物线十个定值问题，供师生们参考。【关键词】抛物线；定值；焦点。1. 过抛物线 焦点 的直线与此抛物线交于 两点，则pxy2F),(),(21yxBA（1） （定值） ， （2） （定值） ， （3） （定值） 。42x21py43pO（请读者自证）2.已知 AB 是过抛物线 焦点 F 的动弦。求证： （定值） 。xy2)0(pFBA21证明：设 A( )、B( )，直线 AB 的方程为 。当 不存在时，1,x2, )
2、2(pxkyk。当 存在时，由 得pF2pFBA21)2(1pxy则 04)(222 kxpkx4221pxk= = =FBA121px4)(212px42pk= =22)1(kp3 过抛物线 焦点 F 的两条相互垂直的弦 AB 和 CD,则pxy2)0(= （定值） 。CDAB1p2证明：设 A( )、B( )、C( )、D )，由上题得1,yx2,3,yx4,(（1）221kpxAB CD 由（1）可得 = （2）CD243)1(kpxk= = = =FBA21px21 p22)1(k同理 =2 . = = 。xCD43)(kCDAB)()1(22kp4.设 MN 是过抛物线 焦点 F 的
3、动弦。由 M、N 分别向抛物线的准线作垂py20线 MA、NB,其中 A、B 是垂足。求证： AFB= (定值 )。2证明：设 ,N( ),则 A ),B ,F .)(1yxM21,(yP0p,pF),p= =0. FA FB AFB= 。21)(yBA225.过点 P 作直线 交抛物线 于 、 两点，交 轴于 点，若0,xlpx)0(AByM, ,求证： 1（定值）1M2BP12证明见第 6 题，令 。a6.过点 P 作直线 交抛物线 于 、 两点，交直线 于 点，)0,(xlpxy2)0(ax若 , ,求证： -1- （定值）.1AB2P120xa证明：设 A( )， B( )， M( )
4、，则由 ，1,yx2,ma,AP1即（ ）= ，得 = -1，ma1, ,10yx11ym同理得 。所以 = -2 （*）2y212121)(抛物线方程与直线 的方程联立,列方程组 得l )(0xtyp02pxty则 （3） 因 M( )在（2）上，所以 ，得021pxyt ma, 0xtma（4）将（3） （4）代人（*）中，得 =-1- .tam 20021 pttx07设 F 是抛物线 的焦点，A 、 B、 C 是抛物线上的三点， pxy2)0(FAB0。 则 3 （定值）.CAFBp证明：设 、 、 是 A、 B、 C 三点的横坐标。因为 0 所以抛物线焦1x23 FA点 F 是 AB
5、C 的重心。故 （1）321xp = ， = ， （2）A12xpF23xp由（1） （2）得 3 。BFC8.过抛物线 上一定点 P( )( 0)分别作斜率为- 和 的直线 、pxy)0(0,yxk1l，设 、 与抛物线 交与 A、 B 两点，则直线 AB 的斜率为- （定值） 。2l12l2 0yp证明：设 A( )、B( )，由 得1,yx2,)(200xkyp202 pxkpy则 （1） 。同理 ，得 （2）1001ykkpy2002ykpy由（1） （2）得 则 = = =- 。2y12xABp21209.设 P( )( 0)是抛物线 的一定点，斜率为- 的直线 与抛物0,yxpy2
6、)0(0yl线 交与 A、 B 两点，则直线 PA、 PB 斜率之和为 0（定值） 。p2)证明：设 A( )、B( ) 由 得1,yx2,bxyp02 202by则 。 = =021yy0201xyxykBPA pyp202010201ypy= =0.)(020110.已知抛物线 上的两个定点 P ( ),Q , ),过 P、 Q 作倾角互补的(bypx0,yx(0两条直线 PA,QB,分别与抛物线 交与异于 P、 Q 的点 A 和 B,则直线 AB 的斜)2bpx率为 （定值） 。px20证明：设 A( ),B( )因 P、 Q、 A、 B 都在抛物线 上，所以1,y2,x )(2bypx= = ，同理 ， ，12xkAB12xppx21kPQ0pxkPA201。因为 ，所以pQB0QBPAk)(021x故 。xxkAB201【参考文献】1刘铭。平面解析几何的定值问题，辽宁招生考试， 2009（2）2彭世金。对圆锥曲线的一类定值问题的再思考，数学教学通讯，2006（9）
