1、学案 7 指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型自主梳理1指数幂的概念(1)根式如果一个数的 n 次方等于 a(n1 且 nN *)，那么这个数叫做 a 的 n 次方根也就是，若xna，则 x 叫做_，其中 n1 且 nN *.式子 叫做 _，这里 n 叫做na_，a 叫做_(2)根式的性质当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a的 n 次方根用符号_表示当 n 为偶
2、数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n 次方根用符号_表示，负的 n 次方根用符号_表示正负两个 n 次方根可以合写成_(a0)( )n _.na当 n 为偶数时， |a| Error!nan当 n 为奇数时， _.nan负数没有偶次方根零的任何次方根都是零2有理指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂是_(a0，m，nN *，n1)mn正数的负分数指数幂是_( a0，m ，nN *， n1)mna0 的正分数指数幂是_，0 的负分数指数幂无意义(2)有理指数幂的运算性质a ras _(a0，r ，sQ) (a r)s_(a0，r，sQ )(ab) r _(
3、a0，b0，rQ )3指数函数的图象与性质a1 00 时，_；当x0 时， _；当 x0 且 a13如图所示的曲线 C1，C 2，C 3，C 4 分别是函数 ya x，yb x，yc x，yd x的图象，则a，b，c，d 的大小关系是 ( )Aa1，b0，且 aba b 2 ，则 aba b 的值等于 ( )2A. B2 或26C2 D25(2011六安模拟)函数 f(x)a xb 的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是( )Aa1，b1，b0C00D00)的结果是 ( )3421)(aA. Bab C. Da 2bba ab探究点二 指数函数的图象及其应用例 2 已知函数 y(
4、 )|x1| .13(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当 x 取什么值时有最值，并求出最值变式迁移 2 (2009山东)函数 y 的图象大致为 ( )ex e xex e x探究点三 指数函数的性质及应用例 3 如果函数 ya 2x2a x1( a0 且 a1)在区间 1,1上的最大值是 14，求 a 的值变式迁移 3 (2011龙岩月考) 已知函数 f(x)( )x3.12x 1 12(1)求 f(x)的定义域；(2)证明：f(x)f( x)；(3)证明：f(x)0.分类讨论思想的应用例 (12 分) 已知 f(x) (axa x )(a0 且 a1)
5、 aa2 1(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)讨论 f(x)的单调性；(3)当 x1,1时 f(x)b 恒成立，求 b 的取值范围【答题模板】解 (1)函数定义域为 R，关于原点对称又因为 f(x) (ax a x)f (x)，aa2 1所以 f(x)为奇函数3 分(2)当 a1 时，a 210 ，ya x为增函数，ya x 为减函数，从而 ya xa x 为增函数，所以 f(x)为增函数5 分当 00，且 a1 时，f(x) 在定义域内单调递增7 分(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数，在区间1,1上为增函数，f(1)f(x) f(1)，f(x) minf(1) (a1 a) aa
6、2 1 aa2 11 a2a1.10 分要使 f(x)b 在1,1 上恒成立，则只需 b1，故 b 的取值范围是(， 112 分【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论 f(x)的单调性对参数 a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与 axa x 有关，还与 的符号有关，若没考虑 的符aa2 1 aa2 1号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现 a 的题设条件中的范围也是错误的1一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数
7、进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的2比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小3指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则00，a1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是( )A(0,1)(1 ，) B(0,1)C(1，) D(0 ， )12题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(2011嘉兴月考)函数 f(x)Error!(a0 且 a1) 是 R 上的减函数，则 a 的取值范
8、围是_7(2010江苏)设函数 f(x)x(e xae x )，xR 是偶函数，则实数 a_.8若函数 f(x)a x1(a0 且 a1)的定义域和值域都是0,2，则实数 a 的值为_三、解答题(共 38 分)9(12 分)(2011衡阳模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数 2x b2x 1 a(1)求 a，b 的值；(2)若对任意的 tR ，不等式 f(t22t )f (2t2k)0 恒成立，求 a 的取值范围答案 自主梳理1(1)a 的 n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2) a na na na naa 2.(1) 0 (2) a rs a rs a rbr 3.(1)
9、R (2)(0，) (3)nam n11nam(0,1) (4)y1 01 (6)增函数 (7)减函数自我检测1B 只有正确中 a0，a 3d1,1ab0.4D (a ba b )2(a ba b )244，a1，b0，a b1,00 时，e 2x10，且随着 x 的增大而增ex e xex e x 2e2x 1大，故 y1 1 且随着 x 的增大而减小，即函数 y 在(0，)上恒大于 1 且单调递2e2x 1减又函数 y 是奇函数，故只有 A 正确例 3 解题导引 1.指数函数 ya x(a0 且 a1)的图象与性质与 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 与 01 时，ta 1 ，a ，y
10、 max a22a 114，解得 a3，满足 a1；(2)当 00 时，2 x1，x 30，所以( )x30.12x 1 12因为 f(x) f(x )，所以当 x0.综上所述，f(x)0.课后练习区1B 由 y 中 0，所以 y 2 01，即函数的值域为1，)x2x x2D 函数的定义域为x| x R，x0，且 y Error!.当 x0 时，函数是一个指数xax|x|函数，其底数 a 满足 01 时，f(2)2，a 212，a ，经验证符合题意；3当 02t 2k.即对一切 tR 有 3t22tk0.从而判别式 412k0 恒成立， (8 分)2121 x即 0 在 x(，1上恒成立，即 a 在 x(，1上恒成立(6 分)1 2x4x又因为 ( )2x( )x，1 2x4x 12 12设 t( )x，12x1，t12且函数 f(t)t 2t( t )2 (t )12 14 12在 t 时，取到最大值12( )x 即 x1 时， 的最大值为 ， (12 分)12 12 1 2x4x 34a .(14 分)34
