1、 二次函数应用题1、 （2013衢州）某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结 5 个橘子设果园增种 x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多考点： 二次函数的应用分析： 根据题意设多种 x 棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量 y 与 x 之间的关系式，进而求出 x= 时，y 最大解答： 解：假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，这时平均每棵树就会少结 5x 个橙子，则平均每棵树结（6005x）个橙子果园橙子的
2、总产量为 y，则 y=（x+100） （6005x）=5x 2+100x+60000，当 x= = =10（棵）时，橘子总个数最多故答案为：10点评： 此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出 y 与 x 之间的二次函数关系式是解题关键2、（2013 山西，18，3 分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB 的距离为 9m，AB=36m，D，E 为桥拱底部的两点，且 DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 7m，则 DE 的长为_m. 【答案】48【解析】以 C 为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得 B（
3、18，9），设抛物线方程为： 2yax，将 B 点坐标代入，得 a 136，所以，抛物线方程为：2136yx，E 点纵坐标为 y16，代入抛物线方程，16 2x，解得：x24，所以，DE 的长为 48m。3、 （2013 鞍山）某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用分析：（1）利用待定系数法求得 y
4、与 x 之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价成本）售出件数” ，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值解答：解：（1）由题意，可设 y=kx+b，把（5，30000） ， （6，20000）代入得： ，解得： ，所以 y 与 x 之间的关系式为：y=10000x+80000；（2）设利润为 W，则 W=（x4） （10000x+80000）=10000（x4） （x8）=10000（x 212x+32）=10000（x6） 24=10000（x6） 2+40000所以当 x=6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元答：当销售价格定为 6 元时，每
5、月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题关键是要分析题意根据实际意义求解注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识 4、 （2013咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x
6、（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10x+500（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？考点： 二次函数的应用分析： （1）把 x=20 代入 y=10x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价成本价，得 w=（x10） （10x+500） ，把函数转化成顶点坐标式
7、，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令10x 2+600x5000=3000，求出 x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值解答： 解：（1）当 x=20 时，y=10x+500=1020+500=300，300（1210）=3002=600，即政府这个月为他承担的总差价为 600 元（2）依题意得，w=（x10） （10x+500）=10x2+600x5000=10（x30）2+4000a=100，当 x=30 时，w 有最大值 4000即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000（3）由题意得：1
8、0x2+600x5000=3000，解得：x 1=20，x 2=40a=100，抛物线开口向下，结合图象可知：当 20x40 时，w3000又x25，当 20x25 时，w3000设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，p=（1210）（10x+500）=20x+1000k=200p 随 x 的增大而减小，当 x=25 时，p 有最小值 500即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元点评： 本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大5、（2013 四川南充，18，8 分）某商场购进一种每件价格
9、为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售单价 x(元/件)与每天销售量 y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解析：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b（ k0 ）.由所给函数图象得13051kb2解得 80b 3 函数关系式为 y x180. 4 (2)W( x100) y( x100)( x180) 5 x2280 x18000 6( x140) 21600 7当售价定为 140 元, W 最大
10、1600.售价定为 140 元/件时,每天最大利润 W1600 元 8 6、 （2013滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 考点： 二次函数的应用分析： 根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值解答： 解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802x=（90x）cm由题意得：y=x（90x）20=20（x 290x）=20（x45） 2+40500当 x=45 时，y 有最大值，最大值为 40
11、500答：当抽屉底面宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3点评： 本题考查利用二次函数解决实际问题求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数 a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y(件) x(元/件) 30 50 130 150 O y=x 22x+5，y=3x 26x+1 等用配方法求解比较简单7、（2013 年潍坊市）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在 Rt ABC内修建矩形水池 DEFG，使顶点 E、在斜边 AB上，GF、分别在直角边
12、 、上；又分别以 ACB、为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中 、324AB， 60.设 x米， y米.（1）求 y与 x之间的函数解析式；（2）当 为何值时，矩形 DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 x为何值时，矩形 的面积等于两弯新月面积的 ？答案：（1）在 RtABC 中，由题意得 AC= 312米，BC=36 米，ABC=30,所以 ,0tan,360tanxEFBxDGA又 AD+DE+BE=AB,所以 ,342324xxy（0x8）.(2)矩形 DEFG 的面积 .3108)9(
13、)( 22 xS所以当 x=9 时，矩形 DEFG 的面积最大，最大面积为 3108平方米.（3）记 AC 为直径的半圆、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为 S1、S 2、S3，两弯新月面积为 S，则 ,812322ABSCSA由 AC2+BC2=AB2可知 S1+S2=S3，S 1+S2-S=S3-SABC ,故 S=SABC 所以两弯新月的面积 S= 6(平方米)由 08)9(34x， 即 279x,解得 39x，符合题意，所以当 39x米时，矩形 DEFG 的面积等于两弯新月面积的 31.考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。点评：本题是二次函数
14、的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答8、（13 年山东青岛、22）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元，试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件
15、文具的利润至少为 25 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由解析：（1）w（x20）（25010x250）10x 2700x10000（2）w10x 2700x1000010（x35） 22250所以，当 x35 时，w 有最大值 2250，即销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大（3）方案 A：由题可得x30，因为 a100，对称轴为 x35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大，所以，当 x30 时，w 取最大值为 2000 元，方案 B：由题意得 45201()0，解得： 459x，在对称轴右侧，w 随 x 的增大而减小，所以，当 x45 时，w 取最大
16、值为 1250 元，因为 2000 元1250 元，所以选择方案 A。9、（13 年安徽省 12 分、22）（12 分）22、某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为 20 元/件的新型商品在第 x 天销售的相关信息如下表所示。销售量 p（件） P=50x销售单价 q（元/件） 当 1x20 时，q=30+ 21x；当 21x40 时，q=20+ 5（1）请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件？（2）求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式。（3）这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？10、 （2013黄冈）某公司生产的一
17、种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量 x（千件）的关系为：y1=若在国外销售，平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系为y2=（1）用 x 的代数式表示 t 为：t= 6x ；当 0x4 时，y 2与 x 的函数关系为：y 2= 5x+80 ；当 4 x 6 时，y 2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内销售数量 x（千件）的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利
18、润最大？最大值为多少？考点： 二次函数的应用3481324分析： （1）由该公司的年产量为 6 千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6 千件，即 x+t=6，变形即为 t=6x；根据平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系及 t=6x 即可求出 y2与 x 的函数关系：当 0x4时，y 2=5x+80；当 4x6 时，y 2=100；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：0x2；2x4；4x6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可解答：
19、 解：（1）由题意，得 x+t=6，t=6x； ，当 0x4 时，26x6，即 2t6，此时 y2与 x 的函数关系为：y 2=5（6x）+110=5x+80；当 4x6 时，06x2，即 0t2，此时 y2=100故答案为 6x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：当 0x2 时，w=（15x+90）x+（5x+80） （6x）=10x 2+40x+480；当 2x4 时，w=（5x+130）x+（5x+80） （6x）=10x 2+80x+480；当 4x6 时，w=（5x+130）x+100（6x）=5x 2+30x+600；综上可知，w= ；（3）当 0x2 时，w=10x 2+40
20、x+480=10（x+2） 2+440，此时 x=2 时，w 最大 =600；当 2x4 时，w=10x 2+80x+480=10（x4） 2+640，此时 x=4 时，w 最大 =640；当 4x6 时，w=5x 2+30x+600=5（x3） 2+645，4x6 时，w640；x=4 时，w 最大 =640故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为 64 万元点评： 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键11、 （2013鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时
21、的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x40） ，请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元） x销售量 y（件） 100010x 销售玩具获得利润 w（元） 10x 2+1300x30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不少于
22、540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用分析： （1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600（x40）x=1000x，利润=（1000x） （x30）=10x 2+1300x30000；（2）令10x 2+1300x30000=10000，求出 x 的值即可；（3）首先求出 x 的取值范围，然后把 w=10x 2+1300x30000 转化成y=10（x65） 2+12250，结合 x 的取值范围，求出最大利润解答： 解：（1）销售单价（元） x销售量 y（件） 100010x销售玩具获得利润 w（元）
23、10x 2+1300x30000（2）10x 2+1300x30000=10000解之得：x 1=50，x 2=80答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润，（3）根据题意得解之得：44x46 w=10x 2+1300x30000=10（x65） 2+12250 a=100，对称轴 x=65当 44x46 时，y 随 x 增大而增大当 x=46 时，W 最大值 =8640（元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元点评： 本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大12、（20
24、13 哈尔滨）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为 AB(单位：米)。现以 AB 所在直线为 x 轴以抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O已知 AB=8 米。设抛物线解析式为 y=ax2-4(1)求 a 的值；(2)点 C(一 1，m)是抛物线上一点，点 C 关于原点 0 的对称点为点 D，连接CD、BC、BD，求 ABCD 的面积考点：二次函数综合题。分析：（1）首先得出 B 点的坐标，进而利用待定系数法求出 a 继而得二次函数解析式（2）首先得出 C 点的坐标，再由对称性得 D 点的坐标，由 SBCD = SBOD + SBOC 求出解答：(1)解AB=8
25、由抛物线的对称性可知 0B=4B(4，0) 0=16a-4a= 14(2)解：过点 C 作 CEAB 于 E，过点 D 作 DFAB 于 Fa= 14 2yx令 x=一 1m= (一 1)24= 154 C(-1， 154)点 C 关于原点对称点为 D D(1， )CE=DF=SBCD = SBOD + SBOC = = 2OBDF+ OBCE= 24 + 4154 =15BCD 的面积为 l5 平方米13、（2013 年河北）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩 Q = W + 100，而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x（km/h）有关（不考虑其他因素）
26、， W 由两部分的和组成：一部分与 x 的平方成正比，另一部分与 x 的 n 倍成正比试行中得到了表中的数据（1）用含 x 和 n 的式子表示 Q；（2）当 x = 70， Q = 450 时，求 n 的值；（3）若 n = 3，要使 Q 最大，确定 x 的值；（4）设 n = 2， x = 40，能否在 n 增加 m%（ m0）同时 x 减少 m%的情况下，而 Q 的值仍为 420，若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由参考公式：抛物线 y ax2+bx+c(a0)的顶点坐标是（， ） b2a 4ac b24a解析：（1）设 21Wkxn， 210Qkxn由表中数据，得2124046k，解
27、得 1206k 210Qxn 4 分（2）由题意，得 24570610nn=2 6 分（3）当 n=3 时， 218x由 0a可知，要使 Q 最大， 182()0x=90 9 分（4）由题意，得 2124(%)6(1)4(%)10mm 10 分即 2()，解得 ，或 =0（舍去）m=50 12 分14、 （2013孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售
28、件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以x 为自变量的一次函数（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；次数 n 2 1速度 x 40 60指数 Q 420 100（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P 最大？考点： 二次函数的应用；一次函数的应用分析： （1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b ，由题意可列出 k 和 b 的二元一次方程组，解出 k 和 b 的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（3x+108） （x20） ，转换为P=3（x28） 2+192，于是求出每天获得的利润
29、 P 最大时的销售价格解答： 解：（1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b 由题意可得：解得故 y 与 x 的函数关系式为：y=3x+108 （2）每天获得的利润为：P=（3x+108） （x20）=3x 2+168x2160=3（x28） 2+192 故当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大点评： 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大15、 （2013铁岭压轴题）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为 40 元经过市场调查，一周的销售量 y 件与销售单价 x（x50）元/件的关系如下表：销售单价
30、x（元/件） 55 60 70 75 一周的销售量 y（件） 450 400 300 250 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式： y=10x+1000 （2）设一周的销售利润为 S 元，请求出 S 与 x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？考点： 二次函数的应用分析： （1）设 y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出 k、b 的值，即可得出函数解析式；（2）根据利润=（
31、售价进价）销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过 10000 元，求出进货量，然后求最大销售额即可解答： 解：（1）设 y=kx+b，由题意得， ，解得： ，则函数关系式为：y=10x+1000；（2）由题意得，S=（x40）y=（x40） （10x+1000）=10x 2+1400x40000=10（x70） 2+9000，100，函数图象开口向下，对称轴为 x=70，当 40x70 时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）当购进该商品的贷款为 10000 元时，y= =250（件） ，此时 x=75，由（2）得
32、当 x70 时，S 随 x 的增大而减小，当 x=70 时，销售利润最大，此时 S=9000，即该商家最大捐款数额是 9000 元点评： 本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题16、(2013 年武汉)科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度 x/ 4 2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量 y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y是温度 x的函数，且这种函数是反比例
33、函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度 x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果解析：（1）选择二次函数，设 cbxay2，得 41249cba，解得 4921cba y关于 x的函数关系式是 9不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以 y不是 x的反比例函数；点（4，41），（2，49），（2，41）不在同一直线上，所以 不是
34、 的一次函数（2）由（1），得 492xy， 5012xy， 0a，当 1时， 有最大值为 50即当温度为1时，这种植物每天高度增长量最大（3） 46x17、（2013 达州）今年，6 月 12 日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。（1）小华的问题解答：解析：（1）解：设实现每天 800 元利润的定价为 x 元/个，根据题意，得（x-2)（500- .03x10）=800 . (2 分）整理得：x 2-10x+24=0.解之得：x 1=4,x2=6.(3 分）物价局规定，售价不能超过进价的 240%，即 2240%=4.8（元）.x 2=6 不合题意,舍去,得 x=4.答：应定价 4 元/个，才可获得 800 元的利润. (4 分）（2）解：设每天利润为 W 元，定价为 x 元/个，得W=（x-2)(500- 1.03x10)=-100x2+1000x-1600=-100(x-5)2+900.(6 分）x5 时 W 随 x 的增大而增大,且 x4.8，当 x=4.8 时，W 最大，W 最大 =-100（4.8-5)2+900=896800 . (7 分）故 800 元不是最大利润.当定价为 4.8 元/个时，每天利润最大. (8 分）结束
