1、二次函数的应用题刹车距离，最大利润问题，拱形桥，图形面积最大值1某玩具厂计划生产一种玩具熊，每日最高产量为 40 只，且每日生产的玩具熊全部售出，已知生产 x 只玩具熊的成本为 R（元） ，售价为每只 P（元） ，且 R、P 与 x 之间的函数关系式分别为 ， （1）当日产量为多少时，每日获得的利润为 1750 元？（2）当日产量为多少时，每日获得的利润最大？最大利润是多少？2某旅行社有客房 120 间，每间客房的日租金为 50 元，每天都客满装修后欲提高租金，经调查，一间客房的日租金每增加 5 元，则客房每天少租 6 间，不考虑其他因素，每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金的总收入最
2、高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？ 3、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽是 10 米（1）建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救灾物质的货车从甲地经此桥到乙地，已知甲地到此桥 280km（桥身忽略不计） 货车正以 40km/h 的速度开往乙地，当行驶一小时时，忽然接到紧急通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行） 问：货车以原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，说明理由；若不能，要使货车
3、安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？4. 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮框，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米若该运动员身高 1.8 米，球在头顶上方 0.25 米出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 5、用 18 米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子：（1）若横档为 2 米，面积为多少平方米？（2）若横档为 4 米，面积为多少平方米？（3）为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？ 6如图，从一张矩形纸较短的一边上找一点 E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是
4、 AE，DE 要使剪下的两个正方形的面积和最小，点 E 应选在何处？为什么？7一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件根据销售统计，一件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）A5 元 B10 元 C0 元 D3600 元8一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度 与水平距离 之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）A10m B20m C30m D60m9小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分（如图） ，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 是（ ） 4 题图A3.5m B4m C
5、4.5m D4.6m10一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离 （米）与时间（秒）间的关系式为 ，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（ ）A24米 B12 米 C 米 D6 米11生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润 和月份 之间函数关系式为 ，则该企业一年中应停产的月份是（ ）A1 月、2 月、3 月 B2 月、3 月、4 月C1 月、2 月、12 月 D1 月、11 月、12 月12如图，点 为线段 上的一个动点， ，分别以 和 为一边作正方形用 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A当 是 的
6、中点时， 最小 B当 是 的中点时， 最大C当 为 的三等分点时， 最小 D当 为 的三等分点时， 最大13为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上修建一个矩形绿化带 ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 的栅栏围住（如图）.若设绿化带的 边长为 ，绿化带的面积为 .（1） 求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （2） 当 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 14某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱（
7、1）求平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式 （2）求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 15如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽 24m，最高点离水面 8m，以水平线 为 x 轴， 的中点为原点建立坐标系求此桥拱线所在抛物线的解析式桥边有一浮在水面部分高 4m，最宽处 12m 的鱼船，试探索此船能否开到桥下 ?说明理由16如图，足球场上守门员在 处开出一高球，球从离地
8、面 1 米的 处飞出（ 在 轴上），运动员乙在距 点 6 米的 处发现球在自己头的正上方达到最高点 ，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式（2）足球第一次落地点 距守门员多少米？（取 ）（3）运动员乙要抢到第二个落点 ，他应再向前跑多少米？（取 ）参考答案：1. B 2. A 3. A 4. B 5.B 6. C 7.A8 （1） 自变量 的取值范围是（2） ，所以当 时，有最大值 .即当 时，满足条件的绿化带的面积最大. 9. （1） 化简得：（2）
9、（3） ， 抛物线开口向下当 时， 有最大值 又 ， 随 的增大而增大当 元时， 的最大值为 元当每箱苹果的销售价为 元时，可以获得 元的最大利润10解：（1） 设抛物线为 点坐标代入得： 点坐标代入得：解得 ，所求抛物线为（2）当 时得 ，高出水面 处，拱宽 （船宽） 所以此船在正常水位时不可以开到桥下.11解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为 由已知：当 时 即 表达式为 （或 ）（2）令（舍去） 足球第一次落地距守门员约 13 米（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为根据题意： （即相当于将抛物线 向下平移了 2 个单位）解得 （米） 解法二：令解得 （舍） ， 点 坐
10、标为（13，0） 设抛物线 为 将 点坐标代入得：解得： （舍去） ， 令（舍去） ， （米） 解法三：由解法二知， 所以 所以 例 1 解：设每日产量为 只，获得利润 y 元，则 ，即 ，其中 ，且 x 是整数（1）当 时， ，解得 ， （舍）（2）因为 ，所以当 时，利润 最大 （元） 例 2 解：设日租金增加 元，则收入 ， x 是非负整数即 （x 是非负整数） 当 时， （元） 即日租金提高到 75 元时，总收入最高，比装修前增加 750 元例 3 分析：（1）在平面直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，需要知道抛物线上点的坐标，因此将题目中的条件转化为抛物线上点的坐标是解决问题的关键。
11、（2）货车能否安全通过此桥，可从三个方面考虑。一、可以对货车从接到通知到到达桥的时间与水位到达最高点的时间进行比较。前者小于后者，就可以安全通过，否则，不可以。二、先求出水位到达最高点需要的时间，然后计算出按原速度行驶的总路程与甲地到此桥的路程进行比较，前者大于后者，就可以安全通过，否则，不可以。三、先求出水位到达最高点需要的时间，然后计算出按此时间到达此桥需要的速度与原速度进行比较，前者小于后者，就可以安全通过，否则，不可以。这里，给出一种方法，其余的方法请同学们自己尝试。解：如图，设 AB、CD 分别交 y 轴于 E、F，抛物线顶点为 O 点（1）设解析式为 ，根据题意， （5，25a）
12、，B（10 ，100a） 则 ，所以 ，即解析式为；（2）由（1）可知， ，即水位距离桥顶还有 1m，所以水位达到桥拱最高点还要 （h） ；货车以原速行驶，可以行驶 ，说明不能通过此桥要想通过此桥，速度应超过 （km/h） 例 4 分析：由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数椐写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式最后算出跳离地面的高度解：在直角坐标系中，点 A（1.5，3.05）表示篮框，点 B（0，3.5）表示球运行的最大高度，点 C 表示球员篮球出手处，其横坐标为 设 C 点的纵坐标为 n，设点 C、B 、A 所在的抛物线的解析式为 ，由于
13、抛物线的开口向下，则点 B（0，3.5）为顶点坐标，所以 抛物线经过点 A（1.5，3.05） ，解得 抛物线的解析式为 所以，球员跳离地面的高度为 注意在解题过程中把实际语言转化为数学语言【总结】例 3、例 4 都是在平面直角坐标系中，通过建立抛物线的解析式来解决实际问题，解决这类问题的关键是要把相关的线段长转化为抛物线上点的坐标，确定出抛物线的解析式，然后再把问题转化为已知抛物线上点的横坐标（或纵坐标） ，求其纵坐标或（横坐标） ，再转化为线段长回答实际问题。例 5 解：（1）横档为 2 米时，长为 6 米，面积为 12 平方米（2）横档为 4 米，长为 3 米，面积为 12 平方米（3）设每条水平窗框的长为 x 米，矩形窗户的面积为 y 平方米则有 ，其中 且 即 （ ） 当 （m）时，y 最大值为 （ ） 例 6 讨论：不妨设矩形短边长为 a，AE 为 x，则 DE 为 设两个正方形面积的和为 y则有 ，即即当 时，y 有最小值 ；即当 E 为短边的中点时，两个正方形面积的和最小【总结】例 5、例 6 都是求图形面积的最值问题，通常要将图形面积（或周长）表示成某变量（通常是某线段）的二次函数，利用二次函数的最值知识解决。1烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到
