1、1导数题型分类解析(2016 版)一导数的概念1.导数的概念：函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量 =f（x + ）f（x ） ，0xy00比值 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + 之间的平均变化率，即 = 。如果xy0 f)(当 时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x00处的导数，记作 f（x ）或 y| ，即 f（x ）= = 。000x00limxy0lixf)(0由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤： 求函数的增量 =f（x + ）f（x ） ； 求平均变
2、化率 = ；y00xyxff)(00 取极限，得导数 f(x )= 。0yxlim例 1：若函数 在区间 内可导，且 则 的值为（ ()yf(,)ab0(,)xab00()()limhffh）A B C D0()fx02()fx02()f例 2：若 ，则 （ ）33limhxhA. B C D6912导数的意义：物理意义：瞬时速率，变化率几何意义：切线斜率 000()li()nxffxkf代数意义：函数增减速率例 3：【2015 高考北京】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）年 月 日201512350年 月 日 4
3、86注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ 10）2A 升 B 升 C 升 D 升681012例 4：已知函数 ，则 的值为 .xfxsinco44f例 5：已知 ，则 232fff3.导数的物理意义：如果物体运动的规律是 s=s（t） ，那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v= （t） 。s如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t） ，则该物体在时刻 t 的加速度 a=v（t） 。例 6：一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末的瞬21tsst 3时速度是 例 7：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶
4、之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间 的函数，其图像可能是（ ）ststOAstOstOstOB C D二：导数的运算1基本函数的导数公式: （C 为常数） ; ;0;1;nx(sin)cosx(cos)inx ; ; .()xe()lxal1lglaae例 8：下列求导运算正确的是 ( )A B = 21xx x2logln1C D ex3log xsics例 9：若 ，则 Nnffxffxff n,sin 112010 ， xf205真题：1.已知 ，则 为 xf63 0f._cosin20141 12 xfNff xffnn nn， 则， ，的 导 函 数 ， 即是，练 ： 已
5、 知 2：导数的运算法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，3即： ( .)vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)(uvv若 C 为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导 0)( CuC数： .u法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： （v 0） 。v23.复合函数的导数形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：x()分解求导回代。法则：y| = y| u| 或者 .XUX()*(fxfx例 1
6、0：（1）函数 的导数是 32logx（2）函数 的导数是 12ne例 11： ；（2）3(cs)y21sinyx三：利用已知条件求原函数解析式中的参数例 12：已知多项式函数 的导数 ，且 ，则 = .()fx/2()34fxx(1)4f()fx例 13：已知函数 ，它的图象过点 ，且在 处的切线方程为cba23 0,A1，则 = .210xy()fx四：切线相关问题1.已知曲线上的点求切线方程例 14：曲线 y x32 x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A30 B45 C60 D120例 15：设函数 (a,bZ)，曲线 在点 处的切线方程为 y=3.bxaf1)( )(xfy)
7、2(,f（1）求 的解析式xf（2）证明：曲线 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此)(xfy定值.4._1 ,y21,nn nSa axy项 和 为的 前数 列 则轴 的 交 点 的 纵 坐 标 为处 的 切 线 与在设 曲 线例 ： 对 正 整 数2.已知曲线外的点求切线方程例 16：已知曲线 ，则过点 ，且与曲线相切的直线方程为 .2yx(1,3)P例 17：求过点（-1，-2）且与曲线 相切的直线方程.2yx3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程例 18：曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）3()2fx=+-0p41yx=-0
8、pA B C 和 D 和1,0(,8)(1,),)(2,8),4)例 19：若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）4yxl480xylA B C D4350y330xy五：求函数的单调区间1.无参数的函数求单调性问题例 20：证明：函数 在区间（0，2）上是单调递增函数.ln()xf例 21：确定函数 的单调区间.32()67fx2.含有参数的函数的单调性例 22：已知函数 ，求函数 的单调区间。axxf 23)1()( fx例 23：已知函数 ，讨论 f（x）的单调性.2()ln()fxa5例 25：【2015 高考广东，理 19】设 ，函数 1aaexf)1()2(1) 求
9、的单调区间 ；)(xf(2) 证明： 在 上仅有一个零点；,例 26：【2015 高考江苏，19】已知函数 .试讨论 的单调性；),()(23Rbaxf )(xf例 27：已知 ，讨论 的单调性axflnxfy六：结合单调性和极值求参数的取值范围例 28：已知函数 在区间 上是减函数，则 的取值范围是 .32()1fx0,mm例 29：已知函数 ，函数 在区间 内存在单调递增区间，则mxRfx2,的取值范围 .m例 30：已知函数 ，若函数 在区间 内单调递减，则321faf1,3的取值范围 .a例 31：已知函数 若 在0，1上单调递增，则 a 的321()()()0.fxxa()fx取值范
10、围 .例 32：已知函数 在 R 上有两个极值点，则实数 的取值范围是 .3()fa例 33：已知函数 ，若 在 上是单调函数，求实数 的取值范xxln2xfg2,1a围例 34：如果函数 2180fmmn， 在区间 12， 单调递减，则 mn的最大值为（ ）6（A）16 （B）18 （C）25 （D） 812真题：【2015 高考重庆】设函数 23xafRe（1）若 fx在 0处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 yfx在点 1,f处的切线方程；（2）若 f在 3,上为减函数，求 a的取值范围。七：恒成立问题及存在性成立问题1.转化为分离参数问题求最值问题例 35：已知函数 ， （1）若 ，
11、求函数 的单调区间和极值（2）当0,ln21axxf axf时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围2,1x例 36：已知函数 （1）求函数 的单调区间和极值；（2）若 ，xxf23 xf ,0x恒成立，求实数 的取值范围2axfa例 37：已知函数 在 与 时都取得极值，(1)求 的值与函数32()fxabxc231x,ab7的单调区间 (2)若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。()fx1,2x2()fxcc例 38：已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，32()fxa(1,)Pb3当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的326()1(0tgxtt4x()fxg取值范围。例 39：已知 ，
12、当 时，若对 有 恒成立，求实数 的32()69fxax0a0,3x()4fxa取值范围例 40：已知函数 ),(3)(23Rbaxaxf ，在点 )1(,f处的切线方程为 .02y若对于区间 2,上任意两个自变量的值 21，都有 cxf|(|21，求实数 的最小值例 41：设函数 .若存在 的极值点 满足 ，则 m 的取值3sinxfxmfx0220xf范围是（ ）A. B. C. D.,6,4,14,【2015 高考新课标 2，理 21】 （本题满分 12 分）设函数 ()mxfe()证明： 在 单调递减，在 单调递增；,0)(0,)（）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围12x121fx
13、fem82.分离不开的转化为根的分布问题例 42：已知 是函数 的一个极值点，其中 ，当1x32()(1)fxmxn,0mnR时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求 m 的取值范围.,y例 43：已知函数 在 上为减函数，则 m 的取值范围为 .xmxf 22311,八：函数的极值最值问题1.不含参数的极值最值问题例 44：下列函数的极值：（1） ； （2） .276yx2lnyx45：函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x= 时，y=f(x）有极32值.（1）求 a,b,c 的值； （2）求 y=f(x）
14、在-3，1上的最大值和最小值.2.含有参数的最值问题例 47：已知函数 f(x)= (a0),求函数在1，2上的最大值 .axe2例 48：已知 ，求函数在1，2上的最大值.axfln9例 49：设 ，函数 .求 的极值点1,0a且 xaxf ln12f设函数 f(x)=-x(x-a)2(xR),其中 aR. （1）当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点（2，f(2)处的切线方程；（2）当 a0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值.例 50：已知 ,ln)(xfaxg21)(（1）当 时，求 上的值域； 2a3,0在函 数 y（2）求函数 在 上的最小值；()fx,2()tt3.导函数的图
15、像与函数极值的关系例 52：f（x）的导函数 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ ）)(/xf（A） （B） （C） （D）例 53：函数 的图像为( )143xyxyo4-4 2 4-42-2-2xyo4-4 2 4-42-2-2 xyy4o-4 2 4-42-2-26 66 6 yx-4-2o 4224abxy)(fO 10例 54：函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数)(xf ),(ba)(xf,ba在开区间 内有极小值点 个数为 .)(f,ba例 55：已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数） ，下面四个图象中)(xfy)(xf)(xf的
16、图象大致是 ( )xfy例 56：已知函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图象如右，则( )A函数 f(x)有 1 个极大值点，1 个极小值点B函数 f(x)有 2 个极大值点，2 个极小值点C函数 f(x)有 3 个极大值点，1 个极小值点D函数 f(x)有 1 个极大值点，3 个极小值点例 57：函数 f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )A.0 f(3)-f(2)B.0 f(3)-f(2) )2(f)f )3(f )2(fC.0 f(3) f(3)-f(2)D.0 f(3)-f(2) )(f3九：零点问题（转化为最值问题）例 58：已知函数 的图象与直线 相切于点
17、bxaxf323012yx1,（1）求 的值；ba,（2）若函数 有三个不同的零点，求 c 的取值范围cxfg例:59：已知函数 ，在 处取得极值，且在 x=0 处切线斜率为-3cxbaxf231(1)求函数 的解析式(2)若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 m 的取值范围mA,2xfy11例 61：已知函数 ，曲线 与 有 3 个交点，求 a 的范围。32()()63fxax()yfx例 62：已知函数 ， ，且 在区间 上为增函。 （1）23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(求实数 的取值范围。 （2）若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围kf k九:优化问题
18、：1.设计产品规格问题例 63：如图在二次函数 的图像与 x 轴所围成的图形中有一个内接矩形 ABCD，求这个2()4fx内接矩形的最大面积.例 64：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？xy122.利润最大问题例 66：某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a 元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元（9x11）时，一年的销售量为(12-x) 2万件.（1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的
19、最大值 Q（a）.例 67：某商品每件成本 9 元，售价为 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值 x（单位：元, ）的平方成正比，已知商品021x单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件.（1）将一星期的商品销售利润表示成 x 的函数（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大十一：构造计算类题型：例 68：对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ）R()fx(1)0xfA B (0)21f02fC D f(f例 69：函数 在定义域 R 内可导，若 ，且当 时，xf xf1,，设 ，的 的大小关系为 .01fx3,
20、21,fcfbfacba,例 70：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R（ ）上的奇函数和偶函数 ,当 x0 时,0x0.且 .则不等式 的解集是 )()(xgff 3xgf例 71：函数 的定义域为 R， ，对任意 ，则 的解集为 .21f 2,fR42f13例 72： 是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足 ,对任意正数 a、b,若)(xf 0)(xff，则必有（ ）baA. B. C. D. )(affbaff)(bfaffbf例 73：已知 对 恒成立，则下列式子一定正确的是（ ）0)(xfRA. )0()214,)2014(214feef B. (0ffC. )(),)( 20
21、14214feef D.不确定【2015 高考新课标 2，理 12】设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，()fx()fxR(1)0fx，则使得 成立的 的取值范围是（ ）()0xff()0fA B C D,1(,)1,(,)(,)(,(0)【2015 高考新课标 1，理 12】设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，()fx21)ex0x使得 0，则 的取值范围是（ ）()fxa(A)- ，1） (B)- ， ） (C) ， ） (D) ，1）32e32e432e432e【2015 高考福建，理 10】若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足Rfx0ffx，则下列结论中一定错误的
22、是（ ）1fxkA B C D f1fk1fk1kfxfDxfxfxf RfffRf )(.)(.0)(.0)(. ,02,恒 成 立 的 是 上则 下 面 的 不 等 式 在且上 的 导 函 数 为在例 ： 设 函 数 ._11 ,2的 解 集 是等 式 则 不的 导 函 数 ， 且 满 足为，定 义 域 为练 ： 已 知 ff xff14 36.462. 1sin21.33. tan20ffDffCBA xfxxf。则 成 立 ，是 它 的 导 函 数 ， 且 恒 有，上 的 函 数，例 ： 定 义 在十二：导数综合问题（不等式及函数综合）例 74：已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实
23、数 都有2()fxabc()fx0fx，则 的最小值为 .()0fx1()f例 76：证明下列不等式：（1）已知： ，求证 ；)0(xxx1ln1（2）已知： ，求证： 。2nN且 12ln3n例 77：求证下列不等式（1） （相减）)1(2)1ln(2xxx),0(（2） （相除）si,0（3） xxtan)2,(例 78：已知函数 ，fl)(（1）求函数 的最大值；xxg1（2）当 时，求证:ba0 2)()(bafb十三：定积分问题：1.求简单函数的定积分15例 79：求下列函数的定积分：（1） ； （2） ； （3） ；22()xd2sinxd94(1)xd2.求分段函数的定积分例 80：求函数 在区间0，3上的定积分.32, 0,1(), ,xf例 81：求定积分：（1） ； （2）201xd201sinxd3.用定积分求平面图形的面积例 82：求曲线 与 所围成的图形的面积.2yx例 83：求由抛物线 所围成的图形的面积22,15xy例 84：求正弦曲线 和直线 及 x 轴所围成的平面图形的面积.3sin,02yx32例 85：求由曲线 所围成的图形的面积22,4yxyx例 86：曲线 所围成的图型的面积为 2与16例 87： 的值为 xd20sin例 88： 的值为 14。则练 ： 若 _,2)(1010dxfxfxf
