1、1圆锥曲线与方程椭圆1椭圆定义：一个动点 P，平面内与两定点 F1，F 2 的距离的和等于常数（ =2 （ 为常数 ）2 ）的点的轨迹叫做椭圆1Faa若 2 ，则动点 P 的轨迹是椭圆1若 2 = ，则动点 P 的轨迹是线段 F1F2 若 2 ，则动点 P 无轨迹2 a21F其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 )0(e的点的轨迹。2椭圆的标准方程：焦点在 轴上时，方程为 焦点x )0(12bayx ),(1cF,(2焦点在 轴上时，方程为 焦点 注:y ,022bac椭圆的一般方程：
2、 ),(2nmnymx参数方程 sicoba为参数)3椭圆 的性质：21(0)xya(1)范围： ，aby(2)对称性：关于 轴、 轴、原点对称x(3)顶点坐标、焦点坐标是 )(，c(4)长轴长 2 、短轴长 2 、焦距 2c、长半轴 、短半轴 、半焦距abc(5)椭圆 的，准线方程是 ，准线到中心的距离为 .01bay cx22ac通径的长是 ， 通径的一半(半通径) ： ， 焦准距（焦点到对应准线的距离） 2 2a b2(6)离心率 ，离心率越大，椭圆越扁OFBacae 222cos1(7)焦半径：若点 是椭圆 上一点， 是其左、右焦点，),(0yxP1byx)0(21F、焦半径的长： 和
3、 201)(exceF 002)(exacxeP4椭圆的的内外部：（1）点 在椭圆 的内部0(,)Pxy2()xyab021yab（2）点 在椭圆 的外部,210x5椭圆系方程：与椭圆 共焦点的椭圆系方程可设为：是 （ ） 21(0)xyab 122bya02与椭圆 有相同离心率的椭圆系方程可设为： 或 .2 2x2bxa2补充性质：1.若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .0(,)Pxy21xyab0P021xyab2.若 在椭圆 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P 2，0(,)xy21xyab则切点弦 P1P2 的直线方程是 .02y3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与
4、对应准线相离.4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，21xya 12FP则椭圆的焦点角形的面积为 .12tanFPSb6.AB 是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，21xyab),(0yx则 ，即 。2OMABk02yaxbKAB37.若 在椭圆 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 .0(,)Pxy21xyab 2002xyxyab8.若 在椭圆 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 .0(,)Pxy21xyab202xyab9.点 P 处的切线 PT 平分PF 1F2
5、在点 P 处的外角.10.PT 平分PF 1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.11.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.12.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.13.已知椭圆 （ab0 ） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且 .2xy O（1 ） ;（2 ）
6、|OP| 2+|OQ|2 的最大值为 ;（3 ） 的最小值是 .221|OP24abPQS2ab14. P 为椭圆 （a b0 ）上任一点,F 1,F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，2xy则 ,当且仅当 三点共线时，等号成立.11|2|aAFPF2,P4例 题 分 析例 1 已知椭圆 的一个焦点为（0 ，2）求 的值 （故 ）632myx m5例 2 （1 ）已知方程 表示椭圆，求 的取值范围1352kk（2 ）已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围cossin22yx)0(y解：（1）满足条件的 k的取值范围是 53k，且 4 （2 ）)43,(说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin
7、1，0cos1，这是容易忽视的地方(2)由焦点在 y轴上，知2a， in2b(3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件 例 3（1） 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程03，Pba（2 ）已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，P 3542过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程（3 ）已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，03，A632yxB：求动圆圆心 的轨迹方程（4 ） 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程),(A)1,3( 152yx（5 ）知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段，求线
8、段中点 的轨迹 12yxPyM42解：（1）故椭圆的方程为 92yx或 1982x（2）所求椭圆方程为1052yx或1532yx（3）分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 B内切于点 M动点 到两定点，即定点 0，A和定圆圆心 03， 距离之和恰好等于定圆半径，即 P点 的轨迹是以 A， B为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为 742b的椭圆的方程：1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法5例 4 的底边 ， 和 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨
9、ABC16ACBGA迹分析：（1）由已知可得 20G，再利用椭圆定义求解故其方程为013602yx（2）由 G的轨迹方程 、 A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程 的轨迹方程为 492，其轨迹是椭圆（除去 x轴上两点） 例 5 已知椭圆 ， （ 1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；2yx21，P（2 ）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3 ）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；，A（4 ）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分
10、别为 1yx， ， 2yxN， ，线段 MN的中点 yxR， ，则， ， ， ，yxy2121得 02212111 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有0212121yyx，将代入得 x（1）将 2x，1y代入，得 211xy，故所求直线方程为： 0342yx 将代入椭圆方程 2得046，01643符合题意， 为所求（2）将 21xy代入得所求轨迹方程为： yx （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： 022 （椭圆内部分）（4）由得 ： 22211yx， ， 将平方并整理得621214xx， ， 212214yy， 将代入得： 421x， 再将2121xy代入式得： 224121xy，
11、 即 12yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 6 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有不同的两1342yxC： mmxyl4： C点关于该直线对称分析：若设椭圆上 A，B两点关于直 线 l对称，则已知条件等价于：(1) 直线 lAB；(2)弦 的中点 M在 l上利用上述条件建立 m的不等式即可求得 的取值范围解：(法 1)设椭圆上 ),(1yx， ),(2两点关于直线 l对称，直线 与 交于 ),(0yx点l的斜率 4lk，设直线 AB的方程为nxy41由方程组 ,1342yxn消去 y得08168322nx。 3821于是210，
12、 132400nx，即点 M的坐标为)3,(点 M在直线 mxy上，n3解得m 将式代入式得 486922mxA，B是椭圆上的两点， 0)1(3)(2解得 132(法 2)同解法 1 得出n43，x)40，mmxy)(400 ，即 M点坐标为 )3,(mA，B为椭圆上的两点， M点在椭圆的内部， 1)34)(22解得 132(法 3)设 ),1yx， ),(2是椭圆上关于 l对称的两点，直线 AB与 l的交点 的坐标为 ),(0yx ， 在椭圆上，134，132yx两式相减得 4)(321212121 x，即 0)(2)(2321010 yx)(4021yx又直线 lAB， lABk， 40x
13、，即 3 。又 M点在直线 上， m0 。由， 得 M点的坐标为 )3,(m以下同解法 2.说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直 线 l恒对称，求有关参数的取 值范围问题，可以采用列参数 满足的不等式：(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通 过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式70，建立参数方程(2)利用弦 AB的中点 ),(0yxM在椭圆内部， 满足120byax，将 0x， y利用参数表示，建立参数不等式补充练习1.求适合条件的椭圆的标准方程（1 ）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 ； 或 62， 137482yx1352x（2 ）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的
14、联机互相垂直，且焦距为 6x 982y（3 ） 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置1642yx或142yx（4 ） 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点，x0ABMA的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程OM说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题 142yx（5 ）求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程),3(A)1,32(B12yx2.一个椭圆的焦点将其准线
15、间的距离三等分，求椭圆的离心率 31e3.已知椭圆 的离心率 ，求 的值 或 1982ykx21ek45k4. 已知椭圆 上一点 到右焦点 的距离为 ，求 到左准线的距离 42bP2Fb)1(Pb32分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解5. 已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上一点1592yx)1,(A2(1) 求 的最大值、最小值及对应的点 坐标 ； 1PFAP268(2) 求 的最小值及对应的点 的坐标 坐标23PFAP)1,56(6. (1)写出椭圆 的参数方程；1492yx(2)求椭圆内接矩形的最大面积 12sini2cos34S
16、)0(7. 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx06yx分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值 2最 小 值d8. 已知椭圆 及直线 142yxmxy（1 ）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m25（2 ）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程方程为5102xy9. 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要 132yx 09yxl： M使所作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程M136452yx分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆 的定义，本 题实际上就是要在已知直 线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距
17、离之和最小，只须利用对称就可解决10.椭圆 上不同三点 ， ， 与焦点 的距离成等差数列1925yx1yxA， 594，B2yxC， 04，F（1 ）求证 ；（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 81 TBk证明：（1）由椭圆方程知 ， ， 5a3bc由圆锥曲线的统一定义知： ， 同理 xcAF12 1154xeaAF254xCF ，且 ， ，即 BCAF5985421x821x（2 ）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为241y，942211xyy又点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得 Tx0， 2104xyx又点 ， 都在椭圆上，1yA， 2yB， 21
18、59x259x21212159xxy将此式代入，并利用 的结论得 82136404509xkBT11.椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点 ，使2byax)0(xAPAO( 为坐标原点)，求其离心率 的取值范围Oe分析： 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，转化为 点坐标的一个AP等量关系，再利用坐标的范围建立关于 、 、 的一个不等式，转化为关于 的不等式为减少参数，易abce考虑运用椭圆参数方程解：设椭圆的参数方程是 ，sinoyx)0(则椭圆上的点 ， ，),cos(baP,aA ， ，AO1ii即 ，解得 或 ，0coss)( 222babacos2sba （舍
19、去） ， ，又1co112ba22c ， ，又 ， 20ae0ee说明：若已知椭圆离心率范围 ，求证在椭圆上总存在点 使 如何证明？)1,2( PAO12.已知椭圆 ， 、 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使 到左准线 的距离1342yxF2 Ml10是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请说明理由MN1F2 M解：假设 存在，设 ，由已知条件得1yx， ， ， 2a3bc2e左准线 的方程是 ， l4x14xMN又由焦半径公式知： ， 11eaF1122xeaF ， 整理得 212MN11214xx 048351解之得 或 41x51另一方面 2则与矛盾，所以满足条件的点
20、 不存在M说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2 ）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3 ）本例也可设 存在，推出矛盾结论（读者自己完成） sin3co2，13.已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ，x1F3A两点，求弦 的长BA分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122 xxkkB也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以 因为焦点在 轴21xkAB4)(2
21、1212xxk6a3b3cx上，所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 9362y)0,3(F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以 ，86721x1x2 13721x， ， 从而 13862xk 48)(121212xkkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， 19362yxmF1n1mAF12nBF1211在 中， ，即 ；21FA 3cos221122 FAFA 21363)12(2mm所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 346m21B46n148nAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的
22、两根 ， ，它们分别是 ， 的横0836732x1x2AB坐标再根据焦半径 ， ，从而求出 11eaAF2eaBBFA14. 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程)2,4(Pl19362yx l分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或yxx)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 ， )的值代入计算y 21x121即得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 代入椭圆方程，整理得)4(2xky 036)4(8)14( 22kxk设直线
23、与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，,1yA),(2yxB1x2 14)2(821kx 为 中点， ， 所求直线方程为 )2,(PB42k0y方法二：设直线与椭圆交点 ， 为 中点， ， ),(1yx),(2yx),4(PAB821x421又 ， 在椭圆上， ， 两式相减得 ，A362136)(4)(2y即 直线方程为0)(4)(222121 yyxx )(42121yxxy08y方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ),(yxA),8(yxB 、 在椭圆上， 。 AB3642yx 364)(22x从而 ， 在方程的图形 上，而过 、 的直线只有一条，直线方程为08082yx
24、说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题， “设而不求”的方法是处理此类问题的有12效方法若已知焦点是 、 的椭圆截直线 所得弦中点的横坐标是 4，)0,3(),(082yx则如何求椭圆方程？15. 已知椭圆 ， 、 是其长轴的两个端点12bayxC： AB（1 ）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、 如何变化， FPab120APB（2 ）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求 的离心率 的取值范围Q120Ce分析：本题从已知条件出发，两问都应从 和 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、ABQ斜率入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 满足的不等式，只能是
25、椭圆的固有性质： ， ，根据 得到 ，将 代入，消去axby120322ayx 22ybax，用 、 、 表示 ，以便利用 列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成cby解：（1）设 ， ， 0，F，aA0，BacPbayxc222，于是 ， cabkAP2cbkBP2 是 到 的角224221tancacabAB 2ca2tnAPB故 3t120APB（2 ）设 ，则 ， yxQ， axykQAaxykQ由于对称性，不妨设 ，于是 是 到 的角0 2221tanayxayxB ， 0AQ322整理得 0322ayyx 22ybax13 0213ayb ， 0y23c ， bba2，23ca234c ，04a044e 或 （舍） ， 2e136
