1、睿學教育 高三理科試題 高三數學第 1 页 共 6 页2016 高考全国课标卷理科数学模拟试题 二一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（ 11 广东文理）已知集合 A=(x,y)|x,y 为实数，且 x2+y2=1，B=(x,y)|x,y 为实数，且 y=x，则 AB 的元素个数为( )A0 B1 C2 D3解析：AB 的元素个数等价于圆 x2+y2=1 与直线 y=x 的交点个数，显然有 2 个交点2.（ 14 江西理 1） 是 z 的共轭复数. 若 z+ =2， （z- ）i=2（i 为虚数单位） ，则
2、z=( )zA.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i答案:D3.（ 14 湖南文理 3）. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1，p 2，p 3，则（ ）A.p1=p2-1,i=1+2=3，S=-lg5-1,i=3+2=5 ，S=-lg7-1，i=5+2=7，S=-lg9-1，i=7+2=9,S=-lg110,函数 y=sin(x+ )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是( )334（A） （B ） （C） （D） 332342解析：选 C.由已知，周
3、期 T=2/=4/3，=3/28.（ 14 大纲文理 9）已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点为 F1，F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，x2a2 y2b2 3若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）3A B C D23yx12yx82yx42yx解析: 根据题意，因为AF 1B 的周长为 4 ，所以|AF 1|AB|BF 1|AF 1|AF 2|BF 1|BF 2|4a4 ，所以3 3a .又因为椭圆的离心率 e ，所以 c1，b 2a 2c 2312 ，所以椭圆 C 的方程为 1.3ca 33 x23 y229 （14 江西理 08）若 f
4、(x)=x2+2 f(x)dx，则 f(x)dx=100A.-1 B. - C. D.133睿學教育 高三理科試題 高三數學第 2 页 共 6 页解析：设 m= f(x)dx，则 f(x)=x2+2m， f(x)dx= ( x2+2m)dx= +2m=m，所以 m=- .10 1010313110.（12 大纲理）已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，a 5=5，S 5=15， ,则数列 的前 100 项和为（ ）1naA B C D101091090解析:依题 a1+4d=5，5a 1+10d=15，联立解得 a1=d=1，故 an=n ，由裂项相消法的 T100=100/10111.（
5、14 江西理 09）在平面直角坐标系中，A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为( )A. B. C.(6-2 ), D. 5443545解析:原点 O 到直线 2x+y-4=0 的距离为 d，则 d=4/ ，点 C 到直线 2x+y-4=0 的距离是圆的半径 r，由题意知 C 是 AB 的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角AOB 中三角形中，圆 C 过原点 O，即|OC|=r，圆 C 的轨迹为抛物线，O 为焦点，l 为准线，所以 rmin=d/2=2/ ，S min= ，所以选 A。5412. (
6、13 四川理 10)设函数 f(x) (aR，e 为自然对数的底数 )，若曲线 ysin x 上存在点(x 0，y 0)使得 f(f(y0)y 0，则axea 的取值范围是( ) A1，e Be 11,1 C1 ，e1 De 11 ，e 1解析：由题意可得，y 0sin x 0 1,1，而由 f(x) 可知 y00,1，ax当 a0 时，f(x) 为增函数，y 00,1时，f(y 0)1 ， f(f(y 0) 1.e1e不存在 y00,1使 f(f(y0)y 0 成立，故 B，D 错；当 ae 1 时，f(x) ，当 y00,1时，只有 y01 时 f(x)才有意义，而 f(1)0 ，1xf(
7、f(1)f(0)，显然无意义，故 C 错故选 A二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 20 分 ）13.（11 北京文理 10）已知向量 a=（ ，1 ） ，b=（0，-1） ，c=（ k， ） 。若 a-2b 与 c 共线，则 k=_。33解析：a-2b= ( ,3)，由 a-2b 与 c 共线得 =3kk=1314（ 11 课标文理）若变量 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最小值为 。962yx解析：画出区域图知，当直线 z=x+2y 过点(4,-5)时，最小值为-615. (13 四川文理 13)设 sin 2sin ，( ,)，则 tan 2 的值是_2解析：
8、sin 2sin ，2sin cos sin .又( ,)，cos .21sin .sin 2 ，cos 2 2cos 21 . tan 2 .2323 316.(13 山东文理 16)定义“正对数” ：ln x 现有四个命题：,ln0若 a0，b0，则 ln (ab)bln a；若 a0，b0，则 ln (ab)ln aln b；若 a0，b0，则 ln+( )ln aln b；若 a0，b0，则 ln (ab)ln aln bln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号 )答案：睿學教育 高三理科試題 高三數學第 3 页 共 6 页三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写
9、出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17.(13 湖北文理 17)(本小题满分 12 分)在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos 2A3cos(B C)1.(1)求角 A 的大小；(2)若 ABC 的面积 S=5 ，b 5，求 sin Bsin C 的值3解：(1) 由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A 2 0，即(2cos A1)(cos A 2)0 ，解得 cos A 或 cos A2(舍去)因为 0A，所以 A .2 3(2)由 S bcsin A bc =5 ，得 bc20.又 b5 ，知 c4.23由余弦定理得 a2b 2c
10、22bccos A25162021，故 a= .21又由正弦定理得 sin Bsin CbsinA/a=bcsin 2A/a2=5/7.18.（12 广东理 17）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：40,50)， 50,60)，60,70) ， 70,80)，80,90)，90,100（1 ）求图中 x 的值；（2 ）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 ，求 的数学期望解：（1）由图可得：（0.0063+0.01+0.054+x ）10=1 ，解得：x=0.018；（2）
11、成绩在 80 分以上（含 80 分） ，低于 90 分的学生一共有：0.0181050=90人成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生一共有：0.0061050=3 人 于是成绩不低于 80 分的学生一共有：9 + 3 = 12 人从而 可能的取值为 0,1,2；P(=0)=C92/C122=6/11，P(=1)= C 91C31/C122=9/22，P(=2)= C 32/C122=1/22。 的数学期望 E=1/219.（12 福建理 18） 如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 1AD 1，E 为 CD 中点(1)求证：B 1EAD 1(2)在棱 AA1 上是否存在一点
12、 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由(3)若二面角 AB 1EA 1 的大小为 30，求 AB 的长解：(1) 以 A 为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图) BAD1设 ABa，则 A(0,0,0)，D(0,1，0)，D 1(0,1,1)，E( ，1,0)，B 1(a,0,1)，2a故 (0,1,1)， (- ，1，1) ， (a,0,1) ， ( ，1,0)1DE12a1AE2a频 率组 距图4 x睿學教育 高三理科試題 高三數學第 4 页 共 6 页 - 011 (1)1 0 ，B 1EAD 11AD
13、EB2a(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z 0)，使得 DP 平面 B1AE此时 (0 ，1 ，z 0)DP又设平面 B1AE 的法向量 n(x，y ，z) n平面 B1AE，n ，n ，得 取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n(1，- ，a)2xa 2a要使 DP平面 B1AE，只要 n ，有 az 00，解得 z0= DP2a2又 DP 平面 B1AE，存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP= 1(3)连接 A1D，B 1C，由长方体 ABCDA1B1C1D1 及 AA1AD1，得 AD1A 1DB 1CA 1D，AD 1B 1C又由()知 B1EAD 1
14、，且 B1CB 1EB 1，AD 1平面 DCB1A1 是平面 A1B1E 的一个法向量，此时 (0,1,1) 1A设 与 n 所成的角为 ，则 cos= 1 242a二面角 AB 1EA 1 的大小为 30，|cos|cos30 ，即 = ，解得 a2，即 AB 的长为 22412a320. (13 辽宁文理 20)如图，抛物线 C1：x 24y，C 2：x 22py(p0)点 M(x0，y 0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)当 x01- 时，切线 MA 的斜率为 .(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2 上运动时，求
15、线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)解：(1) 因为抛物线 C1：x 24y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 y= ，且切线 MA 的斜率为 ，所2x21以 A 点坐标为 (-1, )，故切线 MA 的方程为 y= (x+1)+ .4214因为点 M(1- ， y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，于是 y0= (2- )+ = y 0= = .由得 p2.2143p)(23(2)设 N(x，y)，A(x 1, )，B(x 2, )，x 1x 2，x由 N 为线段 AB 中点知 x= y= .18切线 MA，MB 的方程为 y= ，y= 4)x(2214x
16、)(x22由得 MA，MB 的交点 M(x0，y 0)的坐标为 x0= ，y 0= .21因为点 M(x0，y 0)在 C2 上，即 x024y 0，所以 x1x2= . 由得 x2= y，x0.634当 x1x 2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2= y.34因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2= y.3421.(14 四川文理) 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1，其中 a，bR，e=2.71828为自然对数的底数。（1 ）设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值；（2 ）若 f(1)=0，函数 f(x)在区
17、间(0,1)内有零点，证明：e-20 ，g(1)1a0.解得 e2a1.所以，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点时，e 2 a 1.请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. (13 江苏文理)如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆心 O，且 BC2OC.求证：AC 2AD证明：连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，所以ADOACB90.又因为A A，所以 RtADORtACB. 所以 BC:OD=AC:AD.又 BC2OC 2OD，故 AC2AD.23.（10 课标文理）
18、已知直线 C1：Error!(t 为参数)，圆 C2：Error!( 为参数)(1)当 时，求 C1 与 C2 的交点坐标；3(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点当 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：（1）当 时，C 1 的普通方程为 y= (x-1)，C 2 的普通方程为 x2+y2=1.3 3联立方程组解得 C1 与 C2 的交点为（1,0） ，( , )13（2 ）C 1 的普通方程为 xsin-ycos-sin=0.睿學教育 高三理科試題 高三數學第 6 页 共 6 页A 点坐标为 (sin2,-cossin)，故当 变化时，P
19、 点轨迹的参数方程为 （ 为参数）cosin212yxP 点轨迹的普通方程为(x- )2+y2= 故 P 点是圆心为( ,0)，半径为 的圆41641424 (本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 f(x)=|x-3|+|x-4|。（1 ）解不等式 f(x) 2；（2）若存在实数 x 满足 f(x) ax-1 ，试求实数 a 的取值范围。解：（1）f(x)=|x-3|+|x-4|= 函数 y=f(x)的图象与 y=2 交点的横坐标为 和 ，所以不等式的解集为 , 4,7231,x 259259（2 ）函数 yax1 的图象是过点 (0，1)的直线当且仅当函数 yf (x)与直线 yax1 有公共点时，存在题设的 x由图象知，a 取值范围为(，2) ， )12
