1、二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子 (a0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有 4 是可开得尽方的因数，又如 ， ， 都不是最简二次根式，而， ，5 ， 都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为=2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为 2。 4.有理化因式：两个含有二次根式
2、的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与 a- ， - 与 + ，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1. (a0)是一个非负数, 即 0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= （a0,b0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a0,b0）。 三、例题： 例 1.x 为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1） （2） （3） （4）
3、+ （5） （6） + 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为 0 并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1） 6-x0, x6 时原式有意义。 （2） x 20, x 2+30, x 取任意实数原式都有意义。 （3） 当 x3, =|3-|=-3. （2） m0 原式=(x-y) + = +|x-y| = +y-x=- +y-x. （6） y0, 原式= =2|xy| =-2|x|y 当 x0 时, 原式=-2xy , 当 x0 时, 原式=2xy 。 （7） + = + =|4-x|+|x+1
4、| 若|4-x|=0,则 x=4;若|x+1|=0 则 x=-1，则本题需要将 x 的取值分成三段，即分 x-1, -1x4, x4 三段来进行讨论。 当 x-1 时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 当-1x4 时, 原式=4-x+x+1=5. 当 x4 时，原式=x-4+x+1=2x-3. 例 4.把根号外的因式移至根号内： （1）2 （2）-5 （3）m (m0) （4）x (x0) （5） a 分析：本题需逆用性质 = （a0,b0) 只能将根号外的正因式移至根号内。 解：（1）2 = = 。 （2）-5 =- =- 。 （3） m0, m = = 。 （4）x (x0) x =- =- 。 （5） 成立， 隐含 a0, a =- =- =- 。 例 5.（1）已知：y-1= ,求：x+2y 的值。 （2）若 +|x-2y|=0, 求：x 2+y2 的值。 分析：（1）观察已知条件，等式右边有两个根式，要使两个根式有意义，则 x=2， y=1, 从而可求出 x+2y 的值。 （1）解：由已知可得： x=2, y=1 当 x=2, y=1 时 x+2y=2+21=4. （2）解： +|x-2y|=0 两个非负数的和为零，则只有每个非负数都为零， 当 x=0, y=0 时 x 2+y2=0+0=0.
