1、函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设 ，其定义域为 。xxflg2)(2、设 ，其定义域为 。)1lnf3、设 ，其定义域为 。3arcsi()(xf4、设 的定义域是0，1，则 的定义域为 。f )(sinxf5、设 的定义域是0，2 ，则 的定义域为 。)(xfy(2fy6、 ，则 k= 。432lim3xkx7、函数 有间断点 ，其中 为其可去间断点。ysin8、若当 时 ， ，且 处连续 ，则 。0xxf2sin)(0)(xf在 )0(f9、 。1(lim222n10、函数 在 处连续是 在 连续的 条件。)xf0)(xf011、 。3523)(1lixx12
2、、 ，则 k= 。)(limenk13、函数 的间断点是 。231xy14、当 时， 是比 的无穷小。x13x15、当 时，无穷小 与 x 相比较是 无穷小。0116、函数 在 x=0 处是第 类间断点。xey117、设 ，则 x=1 为 y 的 间断点。13x18、已知 ，则当 a 为 时，函数 在 处连续。3f xaxf3sin1i)(19、设 若 存在 ，则 a= 。0)1(2sin)xaxf )(limxf20、曲线 水平渐近线方程是 。sin2y21、 的连续区间为 。14)(2xxf22、设 在 连续 ，则常数0,cos)(axf a= 。二、计算题1、求下列函数定义域（1 ） ；
3、 （2 ） ；2xy xysin（3 ） ；xey12、函数 和 是否相同？为什么？)(xfg（1 ） ；xf ln2)(,ln2（2 ） ；2)(,)(xgxf（3 ） ；xxgxf 22tansec)(,1)(3、判定函数的奇偶性（1 ） ； （2 ） ；)(2xy 32xy（3 ） ；)1(xy4、求由所给函数构成的复合函数（1 ） ；22,sin,xvuy（2 ） ；21,xuy（3 ） ；xveuysin,25、计算下列极限（1 ） ； （2 ） ；)142(limnn 2)1(31limnn（3 ） ； （4 ） ；35lim2x 12lim1x（5 ） ； （6 ） ；)12(l
4、imxx 232)(limx（7 ） ； （8 ） ；xx1sinlm20 xx13lim21（9 ） ；)1(lim2xx6、计算下列极限（1 ） ； （2 ） ；xwsinlm0 xx5sinlm0（3 ） ； （4 ） ；xxcotlim0 xx)1(lim（5 ） ； （6 ） ；1)(limxx xx10)(lim7、比较无穷小的阶（1 ） ；320xxx。（2 ） ；)1(21xx。8、利用等价无穷小性质求极限（1 ） ； （2 ） ；30sintalmxx ),()(sinlm0。xx9、讨论函数的连续性。1,31)(xxf10、利用函数的连续性求极限（1 ） ； （2 ） ；)
5、2cosln(im6xx )(lim22xx（3 ） ； （4 ） ；xxsinlm0xx2)1(lim（5 ） ；)1(lim,)1(li)( tfnxxf t求设（6 ） ；)1ln(imxx11、设函数 0,)(xaexfx应当怎样选择 a ，使得 内的连续函数。)()(。f12、证明方程 至少有一个根介于 1 和 2 之间。135x（B）1、设 的定义域是0 ，1 ，求下列函数定义域)(xf（1 ） （2 ）xefy)(lnxfy2、设 0,)(0,)( 2xxgxoxf求 )(,)(,)(,)( ffgf3、利用极限准则证明：（1 ） （2 ） ；1limnn 1lim0x（3 ）数
6、列 的极限存在 ；,2,2, 4、试比较当 时 ，无穷小 与 的阶。0x23x5、求极限（1 ） ； （2 ） ；)1(lim2xx 1)3(limxx（3 ） ；30sintalimxx（4 ） ；)0,0()3(lim10 cbacbaxxx6、设 要使 内连续，0,1sin)(2xaxf ),()在xf应当怎样选择数 a ？7、设 求 的间断点，并说明间断点类型。01,)ln()1xxexf )(xf（C）1、已知 ，且 ，求 并写出它的定义域。xfexf 1)(,)(20)()(x2、求下列极限：（1 ） 、 ；（2 ） 、 ；lncos)1ln(coslimxx xxcosin1li
7、m0（3 ） 、求 ；（4 ） 、已知 ，求常数 。xxsi35li2 9)(lixxaa（5） 、设 在闭区间 上连续 ，且 ，)(f,babff)(,)(证明：在开区间 内至少存在一点 ，使 。,f第一章 函数与极限习 题 解 析（A ）一、填空题（1 ） （2） （3）2 ，4 ,( ),1(（4 ） （5 ）zkkx,) 2,（6 ） -3 （7） （8）2 （9）10;,x（10 ）充分 （11 ） （12 ） （13）x=1 , x=2 （14）高阶213（15 ）同阶 （16 ）二 （17 ）可去 （18）2 （19 ）-ln2（20 ）y=-2 （21） （22）1 ,(1,二
8、、计算题1、 （ 1） ),1(),(),(（2） （3 ）,0),0(,2、 （ 1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、 （ 1）偶函数 （2 ）非奇非偶函数 （3 ）奇函数4、 （ 1） （2） （3 ）)(sinxy12xysin2xey5、 （ 1） 2 （2） （3）-9 （4）0 （5）2 （6）1 （7）0 （8 ） （9 ）16、 （ 1） w （2） （3）1 （4） （5 ） （6）51e2e17、 （ 1） （2）是同阶无穷小的 低 阶 无 穷 小是 xx8、 （ 1） （2 ） nm,1,09、不连续10、 （ 1）0
9、 （ 2）1 （3）0 （4 ） （5）0 （6 ）-22e11、 a=1（B）1、 （ 1）提示：由 解得：10xe0,(x（2）提示：由 解得：ln,1e2、提示：分成 和 两段求。 ， ，ox0)(xff0)(g, 0)(gf )(xgf4、 （ 1）提示： （2）提示：n1 xx1)1(（3）提示：用数学归纳法证明： a5、提示： 令 （同阶）xxx13232tx26、 （ 1）提示：乘以 ； （2）提示：除以 ；2 xe（3）提示：用等阶无穷小代换 ； 1（4 ）提示： xxcba1)3(（ ）xcbacbaxxx xxcba 3113131 3a7、提示： （ ）)0(lim)(l
10、i00fxxfa8、 是第二类间断点 ， 是第一类间断点1x（C）1、解：因为 ，故 ，再由 ，xexf1)(2 )1ln()(x0)1ln(x得： ，即 。所以： ， 。0l02、解：原式= =)cosin1(slim20xxxx20sin1lim= =0ili20x3、解：因为当 时 ， ，x2sin则 = = =xx2si5lim235l2xx35106lim24、解：因为：9= = = =xxa)(limxa1liea2所以 ，92ae3ln5、证明：令 ， 在 上连续 ，且xfxF)()(Fba,， 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开0)(af 0fb区间 内至少存在一点 ，使 ，即 。,b),(a)()(f
