1、2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离典题精讲例 1(经典回放)在ABC 中，BC 边的中点 M( 25， 1)，直线 AC 的方程为 x+1=0，直线 AB的方程为 x+y-1=0，求直线 BC 的方程.思路分析:确定直线的方程需要两个条件，本题已经给出直线 BC 经过 M 点，只要求得点B(或 C)的坐标或直线 BC 的斜率就可以了.图 2-2-(3,4)-1解法一:利用两点式，参看图 2-2-(3,4)-1.设 B(a，1-a)、C(-1，b)，则 .21)(21,5ba .4,B(-4，5)、C(-1，-4).BC 的方程为 145xy，即 3x+y+7=0.解法二:
2、利用点斜式.设直线 BC 的方程为 y- 2=k(x+ 5)(k 存在).由 ,01)(2yxk得 B 点横坐标 xB= 25k(k 存在).又点 C 横坐标 xC=-1，由中点坐标公式得 1-1=-5，解得 k=-3.直线 BC 的方程为 3x+y+7=0.解法三:利用两点式.作 MDAC 交 AB 于 D，则点 D(- 25， 7)为边 AB 的中点，A(-1，2)，B(-4，5).由点 M、B 的坐标可得直线 BC 的方程为 3x+y+7=0.绿色通道：灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合.黑色陷阱：一定要注意直线方程各种形式的应用条件.变式训练 1l 过点 P(
3、2，3)，且与两坐标轴的截距相等,求直线 l 的方程.解法一:利用点斜式(本题斜率存在且不为零).设直线 l 的方程为 y-3=k(x-2).令 x=0，得在 y 轴上的截距 b=-2k+3；令 y=0，得在 x 轴上的截距 a=2 k3(k0).由两坐标轴上截距相等，得-2k+3=2 ，即 k=-1 或 23.l 的方程为 x+y-5=0 或 3x-2y=0.解法二:利用一般式.设直线 l 的方程为 x+y+C=0 或 kx-y=0，由于点 P(2，3)在 l 上,得 2+3+C=0 或 2k-3=0，故 C=-5 或 k= 23.l 的方程为 x+y-5=0 或 3x-2y=0.例 2 已
4、知直线 l:3x-y-1=0，在 l 上求一点 P，使得(1)P 到点 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大；(2)P 到点 A(4，1)和 C(3，4)的距离之和最小.图 2-2-(3,4)-2思路分析:利用三角形的性质(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)以及对称性质.解：(1)如图 2-2-(3,4)-2 中，设点 B 关于 l 的对称点为 B(a,b),则 l 是 BB的垂直平分线.k BB = 314ab. ,3023,ba即点 B的坐标为(3，3).于是 AB的方程为431xy,即 2x+y-9=0.解方程组 ,0192y得 ,52yx即 l 与 AB的交点坐标为(2，5
5、).由平面几何知识知，对 l 上的任意点 P，有|PA|-|PB|=|PA|-|PB|PA|-|PB|=|BA|.图 2-2-(3,4)-3当且仅当 P、B、A 共线时取等号.故可知所求 P 点坐标为(2，5).(2)如图 2-2-(3,4)-3 中，设 C 点关于 l 的对称点为 C，可求出 C的坐标为( 53, 24).于是可得 AC所在直线的方程为 19x+17y-93=0.由 AC和 l 的方程联立,解得交点的坐标为 P( 726,1).绿色通道：许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决.求解解析几何问题时常会碰到计算量大的问题，简化运算量的技巧是学习解析几何的一项基本技能.
6、当直线满足某一规律时，直线上的点也满足这个规律，因此许多直线的问题是从分析直线上的某点入手的.变式训练 2 已知 A(4，-3)、B(2，-1)和直线 l:4x+3y-2=0，求一点 P，使|PA|=|PB|，且点P 到直线 l 的距离等于 2.解法一:设点 P(x，y)，|PA|=|PB|， 2222 )1()()3()4( yxyx .点 P 到直线 l 的距离等于 2， 5| .由得 P(1，-4)或( 78,).解法二:设点 P(x，y)，|PA|=|PB|，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.AB 的垂直平分线的方程是 y=x-5，设点 P(x，x-5).点 P 到直线 l 的距离
7、等于 2， .25|)(34|x由上式得到 x=1 或 7，P(1，-4)或( 72， 8).例 3 已知 n 条直线:x-y+C 1=0(C1= ),x-y+C2=0,x-y+C3=0,x-y+Cn=0(其中 C1C 2C 3C n).这 n 条平行线中，每相邻两条之间的距离顺次为 2，3，4，n.(1)求 Cn;(2)求 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积;(3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 及 x 轴、y 轴围成的图形的面积.思路分析:(1)由两条平行线间的距离公式,依次写出 C2,C3,Cn,然后找出它们的共同的规律,利用逐项相加的方法把中间项 C2
8、,C3,Cn-1 消去,即可得到 Cn.在解决了第(1)问后,后面的两问便容易解决了.解：(1)对任意的两条相邻的平行线 Ci、C i+1 间的距离记为 di(i=1,2,n-1),根据两平行线间的距离公式有 di= 21i,i=1,2,n-1.此即 2di=Ci+1-Ci,i=1,2,n-1.分别令 i=1,2,n-1,再把所得的各式相加,得 (d1+d2+dn)=Cn-C1,即 (2+3+n)=Cn-C1.把 C1= 代入此式得Cn= 2(1+2+3+n)= 2)(.(2)直线 x-y+Cn=0 在坐标轴上所截的线段长皆为|C n|,截得三角形的面积为 1|Cn|2= 4n2(n+1)2.
9、图 2-2-(3,4)-4(3)直线 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 及 x 轴、y 轴围成图形的面积就是直线 x-y+Cn=0 在坐标轴上截得的三角形的面积与直线 x-y+Cn-1=0 在坐标轴上所截得的三角形的面积之差,如图 2-2-(3,4)-4 所示的阴影部分面积.要求的阴影部分的面积为 41n2(n+1)2- n2(n-1)2=n3.绿色通道：一般说来,数学题有多问时,后面的问题依赖于前面问题的解决,在高考中尤其如此,所以做第一问是关键.许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决.黑色陷阱：如果对第(3)问不能转化为两个三角形的面积之差,将导致解题困难.变式训练
10、3（2006 上海高考,文 2）已知两条直线 l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0.若 l1l 2，则 a=_.思路解析：由于两条直线的斜率都存在，所以根据两条直线平行，斜率相等，可以将题意转化为关于 a 的方程进行求解.根据题意,得 6a=12，解得 a=2.答案:2变式训练 4(2006 福建高考,文 1)已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直，则 a 等于 ( )A.2 B.1 C.0 D.-1思路解析：由于两条直线的斜率都存在，所以根据两条直线垂直，斜率互为倒数，可以将题意转化为关于 a 的方程进行求解.根据题意,得 a(a+2)+1=0，解得 a
11、=-1.因此选 D.答案:D问题探究问题 1 方程组 )2(,0121CyBxA的系数满足什么条件时，直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和直线 l2:A2x+B2y+C2=0 相交、平行、重合呢？导思：(1)如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必定是直线 l1和 l2的交点.因此两直线 l1、l 2相交 方程组0,221CyBxA有唯一解.(2)如果两条直线不相交，那么在平面直角坐标系内有两种情况：一是平行，一是重合.当两直线平行时，它们没有公共点，也就是说，同时满足这两个
12、方程的解不存在，即方程组0,2211yx无解,即 l1、l 2平行 方程组 0,2211CyBxA无实数解.(3)如果两条直线重合，那么它们就有无数个公共点，也就是说，同时满足这两个方程的解有无数个，即方程组 0,2211CyBxA有无穷多个解,即 l1、l 2重合 方程组0,2211CyBxA有无穷多个解.探究：我们解方程组 )2(,0121CyBxAB 2-B 1，得(A 1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.当 A1B2-A2B10 时，得 x= 121.再由A 2-A 1，当 A1B2-A2B10 时，可得 y= 212BAC.因此当 A1B2-A2B10 时，方程组有唯一一组
13、解，这时两直线相交.当 A1B2-A2B1=0，而 B1C2-B2C10(或 A2C1-A1C20)时，方程组无解，这说明两条直线没有公共点，两直线平行.如果 A1=A 2，B 1=B 2，C 1=C 2(其中 0)，即这两个方程中未知数的对应系数成比例，直线 l1的方程变为 (A 2x+B2y+C2)=0，两个方程解集相同，则两个方程表示同一条直线，即 l1、l 2重合.通过上述讨论知道两直线间“形”的关系可化归为方程组的解即“数”的关系来研究，即以“数”解“形” ，同时以“形”助“数”.问题 2过两条相交直线交点的直线应该满足什么样的形式?已知直线l1：A 1x+B1y+C1=0，l 2：
14、A 2x+B2y+C2=0 为两条相交直线，那么方程 A1x+B1y+C1+(A 2x+B2y+C2)=0 能表示直线吗？若能，所表示的直线 l 与 l1、l 2间又有何关系？导思：l 1与 l2相交 21 BA1B2A 2B1.探究：能否表示直线，只需检查两系数 A1+A 2与 B1+B 2能否同时为 0.显然，通过反面思考，即假设它们可同时为 0，可证明此时两直线平行或重合，得出矛盾.设 l1与 l2的交点为 P(x0，y 0)，代入 A1x+B1y+C1+(A 2x+B2y+C2)=0 时，满足方程，所以A1x+B1y+C1+(A 2x+B2y+C2)=0 过交点 P.此方程可表示过交点 P 的除 l2外的所有直线的方程.
