1、- 1 -两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。设两圆 ，0: 1121 FyExDyxC，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条0: 222 FyExDyxC直线方程为 。现在我想探讨的问题是：所得直0)()()(: 2111 yl线 在两圆的 5 种位置关系下的几何意义 以及 已知两圆 、 的位置关系如何？笔者针对l l1C2以上问题探讨如下：一、预备知识：圆幂定理:1.相 交 弦 定 理 ： 圆 内 的 两 条 相 交 弦 ， 被 交 点 分 成 的 两 条 线 段 长 的
2、 积 相 等 。 2.切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线 和 割 线 ， 切 线 长 是 这 点 到 割 线 与 圆 交 点 的 两 条 线段 长 的 比 例 中 项 。 3.割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 P 引 两 条 割 线 与 圆 分 别 交 于 A、 B； C、 D， 则 有 PAPB=PCPD。 统 一 归 纳 为 圆幂定理： 过 任 意 不 在 圆 上 的 一 点 P 引 两 条 直 线 L1、 L2， L1 与 圆 交 于A、 B（ 可 重 合 ， 即 切 线 ） ， L2 与 圆 交 于 C、 D（ 可 重 合 ） ， 则 有 PAPB=P
3、CPD。4圆幂定理推论：设圆半径为 r，圆心为 O，若 P 在圆外，则； 222CPrrA 切 线 长若 P 在圆内， 。 BrPPOr（事实上所有的过 P 点与圆相交的直线都满足这个值）二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴1定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。这个值称为点 P 到圆 O 的幂。（若 P 在圆外，这个值就是切线长的平方）2定义两圆的根轴：两个非同心圆相减 )FyExDy(2220)FyExDy(112总是得到一条直线 ：l0FEx21212 因 )(22 )yxDy(12222 11)() )xaybrxabr21210P
4、OrPOr由此可知：直线 是到两圆幂相等的点的集合。l- 2 -两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合）三、定理：根轴与两圆连心线垂直圆 的圆心坐标是 ，圆 的圆心坐标是 。1。当 时，两1C)2,(1ED2C)2,(ED12D圆非同心，则 得过两圆心的直线的斜率不存在，而直线 的斜率为零，故直线 与过12 ll两圆心的直线垂直；2。当 时，两圆非同心，则 得过两圆心的直线的斜率为1212零，而直线 的斜率不存在，故直线 与过两圆心的直线垂直；3。当 且 时，l l 12D12E得过两圆心的直线的斜率是
5、，而直线 的斜率是 ，故直线 与过两圆心21DEl21El的直线垂直。四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线设 、 是两圆的交点，则有 和1y,xP2, 0FyxDy1121 成立，即 满足方程21210DEyF,xP)yEx(222，)(1即 ；同理 也满足它，所以直线 表示两x212122y, l圆相交弦所在直线。五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线1.设 是两圆的切点，则有 和1y,P 0FExDy1121 成立，即 满足方程212120xDxEF,P，)( )x(112即 ；y2121212.又 由三知根轴与两圆连心线垂直由 1.2.知，根轴的几何意义就是公切线六、
6、两圆相离根轴的几何意义与位置两圆相离根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹），但是，结论比较抽象，具体直线 在哪里？由三定理知根轴与两圆连心线垂直，因此只需探求根轴l与两圆连心所在直线垂直的垂足 位置即可l K- 3 -设两圆 ， ，设两圆的圆心分别21211)()(: rbyaxC 22)()(: rbyaxC为 半径为 ，以 为圆心, 为半径作圆,以 为圆心, 为半径作圆,满足2,O,2rOR2O2R， |那么,新得到的两圆是外切的；再令 显然,原来两圆方11R 11r程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样,为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以,
7、只需解方程组:解得: 211212121212 2122121rROROROrr 内分 所称比 内分点K12O222111kaxrORby又2 2211121112rRrrOr= ；12212212212 0OrO同理 ；故 K 在两圆连心线上两圆之间的线段上且 时，垂足 在0R 12rK圆心 与线段 中点连线的延长线上； 时，垂足 在圆心 与线段 中点连112 12rO12线的延长线上。由以上可知：垂足 的求法与位置已明朗化，抽象的直线 的位置也已明朗化。举例如下：l设 ，21:Cxy222:(4)()6xy- 4 -222114174rOR直线 斜率为 1，所以所求根轴方程为：121270
8、41674kkaxby 12O此结果验证与直接相减结果一致。781016xxy七、两圆内含根轴的几何意义与位置同样两圆内含根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹）结论同样抽象，具体直线 在哪里？根轴与两圆连心线垂直，仍需探求根轴 与两圆连心所在l l直线垂直的垂足 的位置。K圆方程、圆心、半径设法同上，同样以 为圆心, 为半径作圆,以 为圆心, 为半径作1O1R2O2R圆,满足 ， |那么,新得到的两圆是内切的；再令 显然,1212R 11r原来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以，只需解方程组 不妨设 （
9、既 ）1212rR12r12R时：方程组等价于 211212121212 2112212rOROROrr R 外分 所称比K12O122211kaxrORby2 2211121112rRrrOr- 5 -21 121212rOrrOr 122Or） ；又1121210R 12R故垂足 在圆心 的延长线上且在圆 外部；K121由以上可知：垂足 的求法与位置已明朗化，抽象的直线 的位置也已明朗化。举例如下：l设 ，21:9Cxy222:()()xy，1212222353rOR 直线 斜率为 1，所以所求根轴方程为：12125032153kkaxbyA12O，此结果验证与直接相减结果一致。51502yxy八、结论：1.根轴与两圆连心线垂直2. 两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线3. 两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线4. 两圆相离根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直， 它的垂足 K内分 所称比K12O2211rOR5. 两圆内含根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直， 它的垂足 外分 所12O称比2211rRO由以上知：所得直线 在两圆的 5 种位置关系下抽象的几何意义被直观确定。l- 6 -
