1、第九章 平面解析几何命题探究解答过程答案:A解析:解法一:由题意可知,点 F的坐标为(1,0),直线 AB的斜率存在且不为 0,故设直线 AB的方程为 x=my+1.由得 y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4,x 1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x2+2=4m2+4.ABDE,直线 DE的方程为 x=-y+1,|DE|=+4,|AB|+|DE|=4m 2+4+4=4+842+8=16,当且仅当 m2=,即 m=1时,等号成立.即|AB|+|DE|的最小值为 16.故选 A.解法二:如
2、图,l 1l 2,直线 l1与 C交于 A、B 两点,直线 l2与 C交于 D、E 两点,要使|AB|+|DE|最小,则 A与 D,B与 E关于 x轴对称,即直线 DE的斜率为 1.又直线 l2过点(1,0),直线 l2的方程为 y=x-1,联立方程组则 y2-4y-4=0,设 D(x1,y1),E(x2,y2),y 1+y2=4,y1y2=-4,|DE|=|y 1-y2|=8,|AB|+|DE|的最小值为 2|DE|=169.1 直线方程与两条直线的位置关系考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.直线的倾斜角、斜率和方程掌握2015课标,20;2014广东,10;201
3、3山东,9选择题填空题 2.点与直线、直线与直线的位置关系在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系;能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离掌握2016四川,9;2014四川,14;2013课标全国,12选择题填空题 分析解读 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系,会求直线的倾斜角与斜率.2.掌握求直线
4、方程的三种方法:直接法、待定系数法、轨迹法.3.能根据两条直线平行、垂直的条件判定两直线是否平行或垂直.4.熟记两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离公式,根据相关条件,会求三种距离.5.理解方程和函数的思想方法.6.高考中常结合直线的斜率与方程,考查与其他曲线的综合应用,分值约为 5分,属中档题.五年高考考点一 直线的倾斜角、斜率和方程1.(2013山东,9,5 分)过点(3,1)作圆(x-1) 2+y2=1的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB的方程为( )A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0答案 A2.(2014广东
5、,10,5 分)曲线 y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为 . 答案 5x+y-3=03.(2015课标,20,12 分)在直角坐标系 xOy中,曲线 C:y=与直线 l:y=kx+a(a0)交于 M,N两点.(1)当 k=0时,分别求 C在点 M和 N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点 P,使得当 k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解析 (1)由题设可得 M(2,a),N(-2,a)或 M(-2,a),N(2,a).又 y=,故 y=在 x=2处的导数值为,C 在点(2,a)处的切线方程为 y-a=(x-2),即 x-y-a=0.y=在 x=-2处的导数值为-,C 在点(-2
6、,a)处的切线方程为 y-a=-(x+2),即 x+y+a=0.故所求切线方程为 x-y-a=0和 x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设 P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN的斜率分别为 k1,k2.将 y=kx+a代入 C的方程得 x2-4kx-4a=0.故 x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而 k1+k2=+=.当 b=-a时,有 k1+k2=0,则直线 PM的倾斜角与直线 PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点 P(0,-a)符合题意.(12 分)考点二 点与直线、直线与直线的位置关系1.(2016四川,9,5
7、 分)设直线 l1,l2分别是函数 f(x)=图象上点 P1,P2处的切线,l 1与 l2垂直相交于点 P,且 l1,l2分别与 y轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是( )A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+)答案 A2.(2013课标全国,12,5 分)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分,则 b的取值范围是( )A.(0,1) B.C. D.答案 B3.(2013湖南,8,5 分)在等腰直角三角形 ABC中,AB=AC=4,点 P是边 AB上异于 A,B的一点.光线从点 P出发,
8、经 BC,CA反射后又回到点 P(如图).若光线 QR经过ABC 的重心,则 AP等于( )A.2 B.1 C. D.答案 D4.(2014四川,14,5 分)设 mR,过定点 A的动直线 x+my=0和过定点 B的动直线 mx-y-m+3=0交于点 P(x,y),则|PA|PB|的最大值是 . 答案 5三年模拟A组 20162018 年模拟基础题组考点一 直线的倾斜角、斜率和方程1.(2018贵州遵义期中,2)已知直线 l:x+y+2 017=0,则直线 l的倾斜角为( )A.150 B.120 C.60 D.30答案 B2.(2018河北衡水期末,6)过不重合的 A(m2+2,m2-3),
9、B(3-m-m2,2m)两点的直线 l的倾斜角为 45,则 m的值为( )A.-1 B.-2C.-1或 2 D.1或-2答案 B3.(2018浙江金华模拟,4)过点(-10,10)且在 x轴上的截距是在 y轴上截距的 4倍的直线的方程为( )A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0或 x+4y-30=0D.x+y=0或 x-4y-30=0答案 C4.(人教 A必 2,三,3-2-2,2,变式)已知直线 l:ax+y-2=0在 x轴和 y轴上的截距相等,则实数 a的值是( )A.1 B.-1C.-2或-1 D.-2或 1答案 A5.(2017福建四地六校联考,6)已知函数 f(x)=a
10、sin x-bcos x(a0,b0),若 f=f,则直线 ax-by+c=0的倾斜角为( )A. B.C. D.答案 D6.(2017安徽“江淮十校”第一次联考,13)经过圆 x2+2x+y2=0的圆心 C,且与直线 x+y=0垂直的直线方程是 . 答案 x-y+1=0考点二 点与直线、直线与直线的位置关系7.(2018陕西延安期中,6)等腰直角三角形 ABC的直角顶点为 C(3,3),若点 A的坐标为(0,4),则点 B的坐标可能是( )A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)C.(4,6) D.(0,2)答案 A8.(2018贵州六盘水模拟,7)若点 M和 N都在直线 l:
11、x+y=1上,则点 P,Q和 l的关系是( )A.P和 Q都在 l上B.P和 Q都不在 l上C.P在 l上,Q 不在 l上D.P不在 l上,Q 在 l上答案 A9.(2017江西景德镇二模,4)若直线 l1:(m-2)x-y-1=0与直线 l2:3x-my=0互相平行,则 m的值等于( )A.0或-1 或 3 B.0或 3C.0或-1 D.-1或 3答案 D10.(2016江西上饶二模,4)直线(a+2)x+(1-a)y-3=0 与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,则 a的值为( )A.-1 B.1 C.1 D.-答案 CB组 20162018 年模拟提升题组(满分:35 分
12、 时间:40 分钟)一、选择题(每小题 5分,共 20分)1.(2018内蒙古包头模拟,6)如图所示,已知 M(1,0),N(-1,0),直线 2x+y-b=0与线段 MN相交,则 b的取值范围是( )A.-2,2 B.-1,1C. D.0,2答案 A2.(2018新疆乌鲁木齐模拟,6)直线 a1x+b1y=2和 a2x+b2y=2交于点 P(2,3),则过点 A(a1,b1)、B(a 2,b2)的直线方程是( )A.2x+3y-2=0 B.3x+2y-2=0C.3x+2y+2=0 D.2x+3y+2=0答案 A3.(2017豫南九校联考,5)若 是直线 l的倾斜角,且 sin +cos =,
13、则 l的斜率为( )A.- B.-或-2C.或 2 D.-2答案 D4.(2016江西南昌二模,9)已知点 A(-2,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=kx将ABC 分割为两部分,则当这两部分的面积之积取得最大值时 k的值为( )A.- B.- C.- D.-答案 A二、解答题(共 15分)5.(2017湖北十堰模拟,18)已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a0),l2:4x-2y-1=0和 l3:x+y-1=0,且两平行直线 l1与 l2间的距离是.(1)求 a的值;(2)能否找到一点 P,使得 P点同时满足下列三个条件:P 是第一象限的点;P 点到 l1的距离是 P点到 l2
14、的距离的;P 点到 l1的距离与 P点到 l3的距离之比是?若能,求出 P点坐标;若不能,请说明理由.解析 (1)l 2的方程可化为 2x-y-=0,l 1与 l2间的距离 d=,=,=,a0,a=3.(2)能.假设存在满足题意的 P点.设点 P(x0,y0),P 点满足条件,P 点在与 l1、l 2平行的直线 l:2x-y+C=0上,其中 C满足=,C3 且 C-,则 C=或 C=,2x 0-y0+=0或 2x0-y0+=0.P 点满足条件,由点到直线的距离公式得=,即|2x 0-y0+3|=|x0+y0-1|,x 0-2y0+4=0或 3x0+2=0.P 点在第一象限,3x 0+2=0不满
15、足题意.由解得(舍去).由解得存在满足题意的 P点,且 P点的坐标为.C组 20162018 年模拟方法题组方法 1 求直线的斜率及倾斜角的范围的方法1.(2018陕西延安期中,5)直线 a2x-b2y=1(其中 a,bR,且 ab0)的倾斜角的取值范围为( )A. B.C. D.答案 A2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线 x-ysin +1=0 的倾斜角的取值范围是( )A. B.C. D.答案 A3.(2016河北廊坊期末,5)直线(1+a 2)x-y+2=0的倾斜角的取值范围是( )A. B.C. D.答案 D4.(2017湖南益阳调研,14)若过点(0,2)的直线 l与圆(x-2)
16、2+(y-2)2=1有公共点,则直线 l的斜率的取值范围是 . 答案 方法 2 确定直线方程的方法5.(2018广西钦州期中,8)已知直线 l的方程为 f(x,y)=0,P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)分别为直线 l上和 l外的点,则方程 f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示( )A.过点 P1且与 l垂直的直线B.与 l重合的直线C.过点 P2且与 l平行的直线D.不过点 P2,但与 l平行的直线答案 C6.(2017安徽安庆模拟,13)经过点(2,1)的直线 l和两坐标轴相交于 A、B 两点,若AOB(O 是原点)的面积恰为 4,则符合要求的直线 l有 条. 答
17、案 37.(2016河南天一大联考,19)已知圆 C1:x2+y2=9与圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r0)相外切.(1)若圆 C2关于直线 l:-=1对称,求由点(a,b)向圆 C2所作的切线长的最小值;(2)若直线 l1过点 A(1,0)且与圆 C2相交于 P,Q两点,求C 2PQ面积的最大值,并求此时直线 l1的方程.解析 (1)由题意知圆 C1的圆心为(0,0),半径为 3,圆 C2的圆心为(3,4),半径为 r,因为圆 C1与圆 C2外切,所以|C 1C2|=5=3+r,所以r=2.因为圆 C2关于直线 l:-=1对称,所以圆心 C2(3,4)在直线-=1 上,所以-=
18、1,所以 a=b+3,所以由点(a,b)向圆 C2所作的切线长为=,所以当 b=2时,切线长取得最小值,最小值为 2.(2)因为直线 l1过点 A且与圆 C2相交,所以 l1的斜率一定存在且不为 0,设直线 l1:kx-y-k=0,则圆心 C2(3,4)到直线 l1的距离为 d=,C 2PQ的面积 S=d2=d=,当 d=时,S 取得最大值 2,所以 d=,解得 k=1或 k=7,所以此时直线 l1的方程为 x-y-1=0或 7x-y-7=0.方法 3 两直线平行与垂直问题的解决策略8.(2018湖南衡阳模拟,7)过定点 M的直线 ax+y-1=0与过定点 N的直线 x-ay+2a-1=0交于
19、点 P,则|PM|PN|的最大值为( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 D9.(2018广东广州模拟,14)若三条直线 2x-y+4=0,x-2y+5=0,mx-3y+12=0围成直角三角形,则 m= . 答案 -或-610.(2017安徽池州月考,14)已知 b0,直线(b 2+1)x+ay+2=0与直线 x-b2y-1=0垂直,则 ab的最小值为 . 答案 2方法 4 求距离的方法11.(2018天津学业考试,5)平行于直线 l:x+2y-3=0,且与 l的距离为 2的直线的方程为( )A.x+2y+7=0B.x+2y-13=0或 x+2y+7=0C.x+2y+13=0D.x+2y+1
20、3=0或 x+2y-7=0答案 B12.(2018湖南益阳模拟,6)已知实数 x,y满足 2x+y+5=0,那么的最小值为( )A. B. C.2 D.2答案 A13.(2016河北石家庄期末,8)点 P(-2,-1)到直线 l:(1+3)x+(1+2)y=2+5 的距离为 d,则 d的取值范围是( )A.0d D.d答案 A14.(2017湖南岳阳二模,8)已知动直线 l:ax+by+c-2=0(a0,c0)恒过点 P(1,m)且 Q(4,0)到动直线 l的最大距离为 3,则+的最小值为( )A. B. C.1 D.9答案 B方法 5 关于对称问题的求解策略15.(2018山西陵川一中期中,6)若点(a,b)关于直线 y=2x的对称点在 x轴上,则 a,b满足的条件为( )A.4a+3b=0 B.3a+4b=0 C.2a+3b=0 D.3a+2b=0答案 A16.(2017河北五校联考,5)直线 ax+y+3a-1=0恒过定点 M,则直线 2x+3y-6=0关于 M点对称的直线方程为( )A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0答案 D
