1、 一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程 dyxPQx()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果 ()0，则方程称为齐次的；如果 x 不恒等于零，则方程称为非齐次的。a) 首先，我们讨论 1 式所对应的齐次方程dyxP()02的通解问题。分离变量得 yxd()两边积分得 lnlnPc或 cex()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程 1 的通解。将 1 的通解中的常数 换成的未知函数 u()，即作变换yuePxd()两边乘以得 x()()两边求导得 dxuexPd()()代入方程 1 得 ueQxP()()， xd()ucQxedP()于是得到非齐
2、次线性方程 1 的通解 ycxex()()将它写成两项之和 yceeQxedPxddP()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程 2 的通解；第二项是非齐次线性方程 1 的一个特解。由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。次次 = 次次 + 次次【例 1】求方程 dyxx2132()的通解。解： 23)1(1212 dxexcey xdx )( 22 )1(ln)1(ln xexcex ()d()xcx121由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。二、贝努利方程方程 dyxPQxyn()()(,)01叫做贝努利方程。 当 n0时，它是一阶线性非齐次微分方程 dyxPx()()当 n1时，它是一阶线性齐次微分方程 ydxQxy()0当 0,时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。具体解法如下： dyxPQxydyxPQxnn()()()()111ndPyxxynx()()()令 zn1，方程化为关于 z的一阶线性非齐次微分方程dxPQx()()1【例 2】求贝努利 dyxaxy(ln)2的通解。解 ：12yl，dax()ln1dxyax()()ln1l111 decey xdxlnnxaxlc(ln)2
