1、1高等数学（下）模拟试题一一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）（1）函数 在 处可微是在该处连续的（ ）条件.),(yxf),(,0yxA.充分 B.必要 C.充分必要 D.无关的（2）函数 在（1，1）处的全微分 =（ ）)(3yxLnzdzA B. C. D.d)(2dyx)(3yx)(23dyx（3）设 D 为： （ ） 。DdxyRyx 222,二 重 积 分 的 值A . B. 2 C. D. 3R41R（4）微分方程 的特解可设为 ( ).xey*yA. B. C. D. xaeaxea2 xeba)(（5）若正项级数 ( ).则收 敛 。nk1A. B
2、. C. D. k1k1k二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）（1）已知 ，如果 。,42ba 则相 互 垂 直与 bha（2）设 在点（a，b）处的偏导数存在，则),(yxf xbafbfx ),2(),(lim0。（3）函数 在点（1，1，2）处的梯度= 。yxzyxu3222（4）设 则 其 通 解 为的 特 征 方 程 的 两 个 根为 方 程 。qypi 02。（5）化二次积分为极坐标系下的二次积分 。dyxfd)(2203三、计算下列各题（本题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）（1）写出直线 的对称式方程及参数式方程。142:zyxL（2）设 z=
3、 。yzxy,1求（3）设 z= .),2( 2yxz。fxyf 求具 有 二 阶 连 续 偏 导 数（4）计算二重积分 。RxyDdyxRD 所 围 成 的 闭 区 域是 由 圆 周其 中 )0(,22 3（5）计算 ，其中 D 是直线dyxD2 。xyyx所 围 成 的 闭 区 域以 及 曲 线 1,2（6）求微分方程 。yxydx 的 特 解满 足 初 始 条 件 0)(sectan（7）求微分方程 。yyy xx下 的 特 解在 初 始 条 件 3,00134 （8）求级数 。nx的 收 敛 域 与 和 函 数1四、应用题（本题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）（1）列车在平
4、直线路上以 20 的速度行驶；当制动时列车获得加速度 。问sm/ 2/4.0sm开始制动多长时间列车才停住，以及列车在这段时间行驶了多少路程？4（2）求直线 。yxyx之 间 的 最 短 距 离与 椭 圆 142五、证明题（4 分）设 。u。u nnn 收 敛试 证 明 级 数列为 单 调 增 且 有 界 的 正 数 )1(5高等数学（下）模拟试题二一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）（1）函数 处连续的（ ）条件。处 的 偏 导 数 存 在 是 在 该在 )(),(0,yxyxfA. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关的(2)函数 在(0，1)处的全微分
5、 ( ).xyzsindzA. B. C. D. dxdy（3）设 D 为： ( ).xyRyxD222,二 重 积 分 的 值A. B. C. D. 3R341R4（4）微分方程 的特解可设为 =( )。xey *yA. B. C. D. xaexea2xeba（5）若级数 绝对收敛 ，则（ ） 。1nkA. B. C. D. 11k1k二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）（1）设向量 则向量积 .。ba1,21ba（2）已知 .yzLnzx则,（3）设 D 为： .Dxydx二 重 积 分 的 值,10（4）微分方程 . 。yex的 通 解 是)(6（5）幂级数 .
6、 Rxnn的 收 敛 半 径112)(三、计算下列各题（本题共 7 小题，每小题 7 分，共 49 分）（1）已知直线 L 过点（1，2，3） ，且与两平面 的方求 直 线平 行和 。zyzx0321L程。（2）已知 其中 具有二阶连续偏导数，求 .),(yxfzf yxz2（3）已知 ，求 ， xyzex.yz（4）计算二次定积分 .20xyde（5）求微分方程 的通解。0yx7（6）求微分方程 在初始条件 下的特解。0294yy 5,0xxy（7）把函数 在区间xLnxf2)(。x。的 幂 级 数内 展 开 成 为2四、解下列应用题（本题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）（1）某
7、企业生产某产品的产量 ，其中 为劳动力人数， 为设备台3120),(yxyQxy数，该企业投入 1500 万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要 2 万元，购买一台设备需要5 万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高？（2）某公司现在每个职员的年薪为 8 万元，以后每年比上一年增长 20%还加 1 万元，问为正整数）年后该公司每个职员的年薪为多少万元？t(五、证明题（本题 7 分）证明：曲线 上点 处的法平面与直线 平行。,0123zxy )1,2(0p,02179,zyxL。8高等数字（下）模拟试题三一、单项选择题（每小题 3 分，共 5 小题 15 分）（1）二元函数
8、 在点 的偏导数存在，是在该点可微的（ ）.yxfz,)(0。yA. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件（2）设 D 是圆域 是 D 在第一象限部分区域，则1)(,22ayx=（ ）.dyx)1(A. B. C. D. 0 1(4D1)(Ddyx2a（3）下列级数中发散的级数是（ ）.A. 1)(nB. C. 1nD. 1)(n 12n（4）微分方程 的一个特解应有形式（式中 为常数） （ ）.xey ba,A. B. C. D. baexbaxexe（5）函数 在（0，0）点处一定为（ ）yzA. 极大值 B. 极小值 C. 无法确定 D. 不取得极值二、填空题（每小题
9、 3 分，共 5 小题 15 分）1. 在点（2，1）处的全微分 = .xyezdz2. = 其中 Dda22 .:22ayxD3. 若级数 收敛，则 = .)1(1nunxulim4. 幂级数 的收敛区间是 .12nx95. 若某二阶线性非齐次微分方程的两个解为 ，且相应齐次方程的一个223,xex解为 ,则该非齐次方程的通解为 .x三、计算题（每小题 7 分，共 7 小题 49 分）1、求过点 且通过直线 的平面方程。23。12354zyx2、设 其中 具有二阶连续偏导数求),(2yxfzf .2yxz3、交换积分次序求 。dyx10324、计算三重积分 其中 为三个坐标面及平面,xdyz
10、 。zyx所 围 成 的 闭 区 域125、求级数 的和函数。)1(,1xn106、求微分方程 满足 的特解。xydxsectan0)(y7、求差分方程 的特解。37,501yyxx四、应用题（每小题 8 分，共 2 小题 16 分）1、求由曲面 所围成的立体体积。226yxzyxz及2、欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为每平方米 3 元，侧面造价为每平方米 1 元，现想用 36 元造一个容积为最大的容器，求它的尺寸。五、证明题（本题 5 分）设 的某一领域内具有二阶连续导数，且 ，证明级数 绝对收敛。0)(xf在 0)(lim0xf1)(nf11高等数学（下）模拟试题四一、单项选择题（本
11、题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）（1）函数 处的偏导数存在是在该处可微的（ ）条件。),(),(0yxyxf在A. 充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关的（2）函数 在（1， 0）处的全微分 （ ） 。xyezdzA. B. C. D. dxy（3）设 ，则二重积分 =（ ） 。10),(yxDDxdA. B. C. D. 612365（4）微分方程 的特解应设为 =（ ） 。xey*yA. B. C. D.xaexea2xeba)(（5）下列级数中收敛的是（ ） 。A. B. C. D. 1)(n12n12n1sin二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15
12、 分）（1）设向量 则向量积 = 。ba121ba（2）已知函数 则 = 。,xyzz（3）设 ，则二重积分 。1),(2DDdxy32)(（4）微分方程 在初始条件 下的特解是： 。yx34 40xy12（5）幂级数 的收敛半径是： 。10nxR三、计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）（1）已知平面 过点（1，-2，3） ，且与两平面 和 都垂直，求平面013zx052zy的方程。（2）已知 其中 具有二阶连续偏导数，求),(xyfzf .,2yxz（3）求曲面 在点（2，1，0）处的切平面和法线方程。3xyze（4）设 可以分别确定 x、y 为 z 的函数，求 。
13、0122zyx dzyx与（5）改换二次积分 的积分次序并且计算该积分。dxey30213（6）化为极坐标形式，然后计算二重积分值 ，其中dyxdaA2021.2xaA四、计算下列各题（本题共 4 小题，每小题 7 分，共 28 分）（1）求微分方程 在初始条件 下的特解。03y10,60xxy（2）求差分方程 的通解。12541xyxx（3）在区间（-1，1）内求幂级数 的和函数。01nx（4）把函数 在区间（-5，5）内展开成为 的幂级数。)()xLnxfx14五、解下列应用题（本题共 1 小题，每小题 7 分，共 7 分）设生产某种产品需用原料 A 和原料 B，它们单位价格分别是 10 元和 15 元，用 单位原料 A 和 单位原xy料 B 可生产该产品 件，现要以最低成本生产该产品 112 件，问需要原料 A 和原料 B2820yx各多少单位？
