1、- 0 -线性代数教学大纲教学内容和基本要求行列式理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；了解 阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的 阶行列式；nn掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；理解 Cramer 法则，掌握用 Cramer 法则求方程组的解的方法。矩阵理解矩阵的概念；理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩
2、阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； 理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。矩阵的初等变换与 Gauss 消元法理解矩阵的初等行变换与 Gauss 消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；熟练掌握
3、用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。向量组的线性相关性理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；- 1 -理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练
4、掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。相似矩阵和二次型理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握 Schimidt 正交化方法；理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质；理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；熟
5、练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；理解矩阵间的合同关系的概念；理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；理解惯性定理的结论，掌握判断实对称矩阵合同的方法；理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。- 2 -01-02 学年第三学期线
6、性代数期终考试试卷一（33%）填空题（ 表示单位矩阵， 表示零矩阵， 指矩阵 的转置矩阵）：EOTA设 ， ，则 ； (1,2)(,1)9()T；设矩阵 ， ，则行列式 031A2345607B1AB；若向量组，则当参数 时， 线性相关；k123,矩阵 的伴随矩阵 = ；2abAcd*A设矩阵 及 均可逆， ，则 ；E1()GEG分块矩阵 的逆矩阵为 ；O设 矩阵。若齐次线性方程组 的解空间是 2 维的，则齐次线性方程组65A是 Ax的解空间是Tx- 3 -维的；与向量 ， 均正交的一个单位向量为 ；(1,0)T(1,)T已知矩阵 ， ，则当数 满足条件 时， 是243MkAkA正定的；若 n
7、 阶实对称矩阵 满足 ，且有两个不同的特征值, 则当参数2EO满足条件 时，矩阵 是正定的；kkA二（12%）求矩阵方程 的解，其中，XB。31100,32A三（12%）设 3 阶方阵 有特征值 ， 是1()二 重 和 120,1其相应于特征值 的特征向量， 是其相应于特征值 的特征向量。301求 。9A及- 4 -若 3 阶实对称矩阵 的特征值也是 ，证明： 与 必定相似。B1()二 重 和 AB四（12%）设线性方程组 123412340523()1xxpqx问：当参数 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？,q当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式） 。五（12%）矩
8、阵 。1320A求一 42,();BOB矩 阵 使 得 且 秩问：是否存在秩大于 2 的矩阵 使得 ？为什么？C六（12%）设实对称矩阵 10432.kA与 相 似求参数 ；k的 值求一正交矩阵 ,.TQAB使 得七（7%）证明题：- 5 -设 是矩阵 的两个互异的特征值， 是 的属于 的线性无关的特征向量，12,A12,A1是 的属于 的特征向量。证明： 线性无关。33已知 阶方阵 相似于对角阵，并且，矩阵 的特征向量均是矩阵 的特征向量（注： ，nBA的特征值未必相同） 。证明 BB- 6 -03-04 学年第三学期线性代数期终考试试卷（24%）填空题：假设矩阵 ，则 。102An假设向量
9、组 A： ，则当参数 满足条件 时，向量组1,1ttttA 的秩为 1； 时 A 的秩为 2； 时 A 的秩为 3。若向量 是矩阵 的特征向量，则b10a,ab。设矩阵 ， ，且1aAb0B，则参数 满足条件 。2(),ab若矩阵 与对角阵 相似，则 满足条件 。3041xx- 7 -若 是正交矩阵，则 满足条件 。1aAbc,bc若对满足条件 的实对称矩阵 ， 都是正定矩阵，则234EOAaE实数 必定满足条件 。（8%）求矩阵 的行列式 的值。1xAdet()（15%）已知矩阵 ，向量 。12p31,bq若 是线性方程组 的解，试求 的值，并求这时 的通解；Ax,Axb若 有无穷多组解，但
10、 不是 的解，求 的值。bxb,p（15%）解矩阵方程 。其中 ，2XB3012。10B（15%）设二次型- 8 -22123131(,)fxxx写出二次型 的矩阵；求一正交变换 将 化成标准形，并写出相应的标准形。XQYf（12%）设 3 阶矩阵 的特征值是 （二重）和 ，且 ，A2410T是 的相应于特征值 2 的特征向量，01T是 的相应于特征值是 4 的特征向量。求矩阵 及A。(2)nAE（5%）已知矩阵 ， 。问：当参数 满足什么条件时，1x31By,xy矩阵方程 有解，但 无解？XYA（6%）证明题：已知向量组 可以由 线性表示。若向量组 的秩为 2，证明：123,12,123,线
11、性无关。设 2 阶方阵 ，且 ， 。若 不全为abAcd21adbc,- 9 -零，证明： 不与任何对角阵相似。A- 10 -04-05 学年第三学期线性代数期终考试试卷一、27%）填空题若矩阵 , ，且 ，则 的值分别为 45aAb203BAB,ab；设对任意列向量 ， ，则矩阵 ；Xc2456abc设阶方阵 ， 123A2312B若 的行列式 ，则矩阵 的行列式 ；B设 为 阶可逆方阵， 阶矩阵 的逆矩阵为 ；An2EAO齐次线性方程组 的一个基础解系为 ；12330x若二次型 2212313123(,)f xtx是正定的，则参数 的取值范围是 ；t- 11 -若矩阵 是正交矩阵, 则参数
12、 的值分别为 ；2abAc,abc假设阶矩阵 的特征值为 。则行列式 的值为 ；,11A若实二次型 的矩阵分别为 ，则,fg02aBb、的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数 满足 。,f ,二（14%）假设 阶矩阵 满足 。nA23EO证明矩阵 及 均可逆，并分别求 及 ；E11()A证明：若 ，矩阵 肯定不可逆。三（14%）假设矩阵 ， 。已知线性方程组1A12b有无穷多组解。试求参数 的值，并求方程组的通解（要求用 的一特解及xbAxb相应的齐次线性方程组的基础解系表示） 。四（15%）已知矩阵 相似于对角阵。0341Aa求 的值，并求 的特征值及相应的特征向量；a- 1
13、2 -求一可逆矩阵 ，使得 为对角阵，并写出相应的对角阵；P1A问：是否存在正交矩阵 ，使得 为对角阵？试说明你的理由。Q五（12%）已知矩阵 ，矩阵 ，021120B求矩阵 ，使得 。203DXDAX六（12%）假设 3 维向量 ；120,1ab。已知向量组 与向量组123,c12,等价。123,求 的秩及其一个最大线性无关组，并求参数 的值；,abc令矩阵 ，求满足 的矩阵 。12123,ABAXB- 13 -七（6%）假设 阶矩阵 满足 。nA2证明：关于矩阵的秩有等式 ，并且 相似于对角阵；()(REAn若 ，试求行列式 的值。()r- 14 -05-06 第三学期线性代数期终考试试卷
14、一、30%）填空题（ 表示相应的单位矩阵）E设 3 阶矩阵 的行列式 ,矩阵 ，123,AA231,B则矩阵 的行列式 ；B若矩阵 满足 ，则 的逆矩阵 ；2OE1()若向量组 的秩为 2，则参数 满123,1,tttt足条件 ；假设 3 阶矩阵 的特征值为 ，矩阵 ，其中， 是 的伴随A,*BA矩阵，则 的行列式 ；B若矩阵 与矩阵 相似，则1023x03By； ,xy设 是 3 阶实对称矩阵 的相应于某个非零二重特征值的特征向(1,0),(1)TTA量。若 不可逆，则 的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为 ；A已知 3 元非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 2, 并且， 是xb123,
15、- 15 -的 3 个解向量,其中 ,则Axb123(,)(46)TT的通解是 ；若 4 阶方阵 的秩都等于 1，则矩阵 的行列式 ；,BAB若矩阵 与矩阵 合同，则参数 满足条件 2Ax2x。（10%）计算下述行列式的值：1+1xDx（15%）设线性方程组 。问：当参数 取何值时, 线性123014x方程组有唯一解？当参数 取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，,求出其通解。（12%）假设矩阵 ， ，矩阵 满足102A103CX- 16 -，其中 是 的伴随矩阵，求 。1*2AXC*AX（10%）已知向量组 线性无关，问：参数 满足什么条件时，向量组13,abc线性相
16、关？121abc（15%）已知二次型2212331(,)fxxx写出二次型 的矩阵； 求一正交变换 ，将 变成其标准形（并写出 的相应的Qyff标准形） ； 求当 时 的最大值。Tx123(,)fx（8%）证明题：设向量组 中， 线性相关， 线性无关，证明：1234,123,234,能由 线性表示。设 是 阶正定矩阵,证明：矩阵 也是正定矩阵。An1AE06-07 第三学期线性代数期终考试试卷(18%)填空题（ 表示单位矩阵）E假设 ，则 ；(1,3)(,)10T矩阵 的逆矩阵 ；24A1- 17 -若 矩阵 的行列式等于 ，矩阵 ，则矩阵3(,)A2(,)B的行列式 ；B齐次线性方程组 的一
17、个基础解系是 ；250xyz向量组 12(,34),(,1),TT，343的一个极大线性无关组是 ；若矩阵 合同，则参数 满足条件 。120,1ab,ab（12%）选择题假设 是同阶方阵，数 ，则正确的命题是（ ）,ABk（A） ； （B） ；k（C） ； ()()rrAB（D） 。k- 18 -假设矩阵 ，则不与 相似的矩阵为（ ）1302AA（A） ； （B） ； 3（C） ； （D）20132假设 都是非零矩阵且 ，则正确的命题是（ ）,ABO（A） 的行向量组线性相关； （B） 的行向量组线性相关；（C） 的行向量组都线性相关； ,（D） 的列向量组都线性相关。（16%）设线性方程组
18、12324xk参数 取何值时，线性方程组有唯一解？ 取何值时，方程组没有解？kk当 取何值时，方程组有无穷多组解？当方程组有无穷多组解时，求其通解。- 19 -（16%）设 ， ，并且 ，求102P10AP及 。A08（14%）已知向量 是矩阵 的一个特征向量。13125Aab求参数 的值，并求 的相应于特征向量 的特征值；,ab问：矩阵 是否相似于对角阵？说明你的理由。 （14%）已知矩阵 。求一正交矩阵 使得 为对角阵；1AQTA（10%）假设 维实行向量 ， ，矩阵n12(,)na 12(,)nb。TA证明： 是对称矩阵当且仅当 线性相关； ,当 线性相关时，求实数 的取值范围，使得 是
19、正定矩阵。,kEA- 20 -05-06 学年第二学期线性代数补考试卷一(30%)填空题设 3 阶矩阵 ，123(,)A。若 的行列式 ，则 的212,)BA2B行列式 ；与向量 及 都正交的单位向量为 ；(1,0)(,0)矩阵 的伴随矩阵 ；234A*A假设 ，则 = ； = ；(1,)(,)TT若 为 阶方阵，则方阵 的逆矩阵 An2EBO1B；已知矩阵 ，若 不可逆，则参数 满足条件 ，这时， 的秩120aAaA为 ； - 21 -假设 阶方阵 满足 ，则 是可逆的，且nA23EOA；1()E假设矩阵 相似于对角阵，并且 2 是 的一个二重特征值，则参数435xy的值分别等于 。,y二（
20、12%）已知矩阵 。1A求 的行列式的值；根据 的不同的值，求 的秩及列向量组的极大线性无关组。三（12%）假设 ， 。求矩阵方程10A2130B的解。2X四（14%）假设矩阵 ， 。12A1b问：当参数 取什么值时，线性方程组 有唯一解、有无穷多组解、无解？x当线性方程组 有无穷多组解时，求出其通解。xb- 22 -五（14%）已知三阶方阵 与矩阵 相似，求参0231Ax14By数 的值，并求一可逆矩阵 ，使得 。,xyP六（12%）设二次型221231313(,)fxxkx求一可逆线性变换将 变成其标准形；根据参数 的不同取值，讨论 的秩及正、负惯性指数；kf问：当参数 取什么值时， 是正
21、定二次型？七（6%）假设 是 阶正交阵。若 是实对称矩阵，证明： 的特征值只能是 1 和 ，并且，AnA若 ，则 肯定是 的特征值。E1- 23 -07-08 学年第一学期线性代数转系考试试卷一 (18%)填空题（ 表示单位矩阵）E设 ， ，若 和 都是对称矩阵，则 的值分别为 102A41xByAB,xy；若 矩阵 的特征值是 ，则 的伴随矩阵 的行列式等于 ；3,*如果矩阵 相似于对角阵，则参数 必满足条件 ；210Axx如果矩阵 是正定的，则参数 满足条件 ；3对秩为 的 矩阵 ，非齐次线性方程组 的解集合中，线性无关rsnA()xb的解向量的个数为 ；如果将实对称矩阵按合同关系分类，使
22、得两个矩阵在同一类的充分必要条件是它们是合同的，则实对称矩阵全体可以分成的合同类的个数为 二(12%)选择题对于 矩阵 ，齐次线性方程组 的基础解系中向量个数不可能是 46Ax（A）； （B）； （C）； （D）- 24 -假设 是矩阵 的属于不同特征值 的特征向量，则 线性无关的,A,kl,()A充分必要条件是 （A） ； （B） ； 0kl（C） ； （D） 下列论断中，正确的一项为 （）存在实对称矩阵 ，使得 ，但 ；,AO2B（）存在实对称矩阵 ，使得 ，但 ；B2（）存在实对称矩阵 ，使得 与 相似，但 与 不合同；,（）存在实对称矩阵 ，使得 与 合同，但 与 不相似AAB三（10
23、%）计算行列式 0342D四（12%）已知线性方程组 的每个解都满足方程1234xa。12xb求参数 的值；,a- 25 -求所述线性方程组的通解五（14%）已知矩阵方程 与10212X有公共解求公共解 ，并求参数 的值01abcX,abc六（12%）已知矩阵 与 相似求参数01Aab10的值，并求一正交矩阵 使得 ,abQT七（14%）假设 是不全为零的实数，二次型,c123123123()()()fxxaxbc求二次型 的矩阵 ；,A证明：二次型 的秩等于 2 当且仅当 不全相等；f,c当 的秩等于 2 时，求 的正、负惯性指数八（8%）设 是 上三角矩阵，且 的主对角元素均为 1记 （其中AnABIA- 26 -是单位阵） 。证明 可逆，且 IA121nIB
