1、同济大学线性代数期终试卷 1 （ 2 学时） 本试卷共七大题 一、 填空题 (本大题共 7 个小题，满分 25 分)： 1. (4 分) 设 阶 实对称矩阵 的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是 , 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是( )； 2. (4 分) 设 阶矩阵 的特征值为 , , , , 其中 是 的伴随矩阵, 则 的行列式 ( )； 3. (4 分) 设 , , 则 ( )； 4. (4 分) 已知 维列向量组 所生成 的向量空间为 , 则 的维数 dim ( )； 5. (3 分) 二次型 经过正交变换可化为 标准型 , 则 ( )； 6. (3 分) 行列式 中
2、的系数是( ) ； 7. (3 分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 , 已知 是它的 个解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是( )。 二、 计算行列式： (满分 10 分) 三、设 , , 求 。 (满分 10 分) 四、 取何值时, 线性方程组 无解或有解？ 有解时求出所有解（用向量形式表示）。 (满分 15 分) 五、设向量组 线性无关 , 问: 常数 满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分 10 分) 六、已知二次型 ， (1) 写出二次型 的矩阵表达式； (2) 求一个正交变换 ，把 化为标准形, 并写该标准型； (3) 是什么类型的二次曲面? (满分 1
3、5 分) 七、证明题（本大题共 2 个小题，满分 15 分）：1 (7 分)设向量组 线性无关 , 向量 能由 线性表示 , 向量 不能由 线性表示 . 证明: 向量组 也线性无关。 2. (8 分) 设 是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。 同济大学线性代数期终试卷 2（ 2 学时） 本试卷共八大题 一、 是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打 ，错误的在括号内打 ； 每小题 2 分，满分 20 分）： 1. 若 阶方阵 的秩 ，则其伴随阵 。 （ ） 2. 若 矩阵 和 矩阵 满足 ，则 。 （ ） 3. 实对称阵 与对角阵 相似： ，这里 必须是正交
4、阵 。 （ ） 4. 初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。 （ ） 5. 若 阶方阵 满足 ，则对任意 维列向量 ，均有 。 （ ） 6. 若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等价 。 （ ） 7. 若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无关。 （ ） 8. 是 矩阵，则 。 （ ） 9. 非齐次线性方程组 有唯一解，则 。 （ ） 10. 正交阵的特征值一定是实数。 （ ） 二、 设 阶行列式： 试建立递推关系，并求 。 (满分 10 分) 三、设 ， ，并且 ，求 (满分 10 分) 四、设 ，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随阵，求 。 (满分 10 分) 五、讨论线性方程组 的解的情况，在有解时求出通解。 (满分 12 分) 六、求一个正交变换 ，将二次型 化为标准形。 (满分 14 分) 七、已知 ，由它们生成的向量空间记为 ， 为所有 3 维列向量构成的向量空间，问： 1 取何值时， 但 ，为什么？ 2 取何值时， ，为什么？ ( 满分 12 分 ) 八、证明题（本大题共 2 个小题，满分 12 分）：1若 2 阶方阵满足 ，证明 可与对角阵相似。 2. 若 是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。
