1、2007 年考研数学一真题一、选择题（1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 ）(1)当 时，与 等价的无穷小量是0+ (A) (B)1- 1+1(C) (D)1+1 1【答案】B。【解析】时(当 0+)1+1=n(1+)n(1) 1+112 112几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线 渐近线的条数为=1+(1+)(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。【解析】由于，lim0=01+n(1+)=则
2、 是曲线的垂直渐近线；=0又 lim=1+n(1+)=0lim+=+1+n(1+)=+所以 是曲线的水平渐近线；=0斜渐近线：由于 一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出-现在 一侧。+=lim+=+1+n(1+) =+12+n(1+)=0+1+=1=+()=+1+n(1+)=+1+n(1+)=+1+n(1+1)=0则曲线有斜渐近线 ，故该曲线有三条渐近线。=综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数 在区间 上的图形分别是直=() 3,2,2,3径为 1 的上、下半圆周，在区间 上的图形分别是直2,0,0,2径为 2 的下、上
3、半圆周，设 ,则下列结论正确的()=0()是(A)(3)=34(2)(B)(3)=54(2)(C)(3)=34(2)(D)(3)=54(2)【答案】C。【解析】【方法一】四个选项中出现的 在四个点上的函数值可根据定积分的几何()意义确定(3)=30()=20()+32()=28=38(2)=20()=2(-2)=-20 ()-0-2()= -(2)=2(-3)=-30 ()= -0-3()= -82=38则 (3)=34(2)【方法二】由定积分几何意义知 ,排除(B)(2)(3)0又由 的图形可知 的奇函数，则 为偶函数，() () ()=0()从而-3 -2 -1 0 1 2 3=()(3)
4、=(3)0,(2)=(2)0显然排除(A)和(D),故选(C)。综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数 在 处连续，下列命题错误的是()=0(A)若 存在，则lim0() (0)=0(B)若 存在，则lim0()+() (0)=0(C) 若 存在，则 存在lim0() (0)(D) 若 存在，则 存在lim0()-() (0)【答案】D。【解析】(A)：若 存在，因为 ,则 ,又已知函数lim0() lim0x=0 lim0f()=0在 处连续，所以 ,故 ,(A)正确；()=0lim0f()=(0)(0)=0(B)：若 存
5、在，则lim0()+(),则 ，故(B)正确。lim0()+()=(0)+(0)=0 (0)=0(C) 存在，知 ，则lim0() (0)=0 lim0() =lim0()-(0) =(0)则 存在，故(C)正确(0)(D) 存在，lim0()-() =lim0()-(0) -()-(0) 不能说明 存在lim0()-(0)例如 在 处连续，()=|=0存在，但是 不存在，故命题 (D)不正确。lim0()() (0)综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(5)设函数 在 内具有二阶导数，且 ,令()(0,+) ()0,则下列结论正确的是=()(=1,2,
6、)(A)若 ,则 必收敛 (B)若 ,则 必发散12 12 (C)若 ,则 必收敛 (D)若 ,则 必发散10 =()显然，图 1 排除选项(A)，其中 ；图 2 排除选项=()(B)；图 3 排除选项(C),其中 ；故应选(D)。=()+12O 1 212O 1 212O 1 2图 1 图 2 图 3【方法二】排除法：取 ,显然在 ， ,()=(2)2 (0,+)()=20,但 ，排除 A；(1)=1(2)=0 =()=(2)2+取 在 上， 且 ,但()=1, (0,+) ()0, (1)=1(2)=12,排除 B；=()=10取 在 上， ，且 ,()=, (0,+) ()0 (1)=e
7、0,(12()=()(2)+(2)=()(2)+(2) (20 ()()0()()(2)+(2)+则有 =()+综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6)设曲线 ( 具有一阶连续偏导数)，过第 象限内:(,)=1(,) 的点 和第 象限的点 ， 为 上从点 到点 的一段弧，则下 列小于零的是(A) (B)(,) (,)(C) (D)(,) (,)+(,)【答案】B。【解析】设 的坐标分别为 ，则由题设可得, (1,1),(2,2)12因为,(,)= =2-10；(,)= =2-10(,)+(,)= 0+0=0综上所述，本题正确答案是 B。【
8、考点】高等数学多元函数积分学两类曲线积分的概念、性质及计算(7)设向量组 线性无关，则下列向量组线性相关的是1,2,3(A)1-2, 23,31(B)1+2, 2+3,3+1(C)1-22, 223,321(D)1+22, 2+23,3+21【答案】A。【解析】(A)：因为 ,(1-2)+ (23)+(31)=0所以向量组 线性相关；1-2, 23,31(B)：(1+2, 2+3,3+1)=(1,2,3)1 0 11 1 00 1 1=1 0 11 1 00 1 1因为 线性无关，所以判断 线性无1,2,3 1+2, 2+3,3+1关 |0由于 ,故知 线性无关；|1 0 11 1 00 1
9、1|=20 1+2, 2+3,3+1(C)：(1-22, 223,321)=(1,2,3) 1 0 -2-2 1 00 -2 1 ，同理|1 0 -2-2 1 00 -2 1 | = -70线性无关；1-22, 223,321(D)：(1+22, 2+23,3+21)=(1,2,3)1 0 22 1 00 2 1，同理 线性无关；|1 0 22 1 00 2 1| =90 1+22, 2+23,3+21综上所述，本题正确答案是 A。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关(8)设矩阵 ,则 与= 2 1 11 2 11 1 2,=1 0 00 1 00 0 0 (A)合同，且相似 (B)
10、合同，但不相似(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似【答案】B。【解析】根据相似的必要条件: ，易得 和 肯定不相似，= 合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。由|=|2 1 11 2 11 1 2|=| 1 2 11 1 2|=(3)2知矩阵 的特征值 .故二次型 的正惯性指数 ,负惯性 3,3,0 =2指数 ,而二次型 也是正惯性指数 ,负惯性指数 ，=0 =2 =0所以 和 合同综上所述，本题正确答案是 B。【考点】线性代数二次型二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为,则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中
11、目标的概率为(00 () 0(,)即 ,从而可知 在(0)=(0)(0)0,(0)(0) ()上的最大值比 在 上的最大值要大，与题设(,) () (,)矛盾，所以假设命题不成立。存在 ，使得(,) ()=0所以由罗尔定理知，存在 ,使得1(,),2(,)；(1)=0,(2)=0再由罗尔定理知，存在 ,使得 即 。(1,2) ()=0,()=()【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(20)（本题满分 10 分）设幂级数 在 内收敛，其和函数 满足=0 (,+) ()24=0,(0)=0,(0)=1(I)证明: ；+2=2+1,=1,2,3,(II)求 的表达式。()【解析】(I)由题设可
12、得y=0,=11,=2(1)2=0(+1)(+2)+2代入 24=0,(0)=0,(0)=1可得=0(+1)(+2)+2-2=1-4=0=00=0,1=1,2=0,即=0(+1)(+2)+2-2=0-4=0=0比较同次项系数可得，+2= 2+1,=1,2,3,(II)由 可得，0=0,1=1,2=0, +2=2+1,=1,2,3,2=0,2+1=2221=22 22(2)23=1!1=1!故=01!2+1=01!(2)=2【考点】高等数学无穷级数简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(21)（本题满分 11 分）设线性方程组 1+2+3=01+22+3=01+42+23=0与方程 1
13、+22+3=1有公共解，求 的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解，即为将两个方程联立的解1+2+3=01+22+3=01+42+23=01+22+3=1对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有=1 1 11 2 1 4 21 2 1 00011 1 10 1 10 3 210 1 0 00011 0 10 1 00 0 10 0 0 111(1)(2)已知方程组有解，所以应有 (1)(2)=0， =1,=2时，=11 0 10 1 00 0 00 0 0 0000此时，公共解为： ,其中 为任意常数。=101 时，=21 0 10 1 00 0 10 0 0 1110此时，有唯一
14、的公共解为= 011【方法二】先求方程组的解，其系数行列式为 |1 1 11 2 1 4 2| =(1)(2)当 时，方程组只有零解，但此时 不是方1,2 =(0,0,0)程的解，所以公共解发生在 或 时，a=1 =2当 时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换a=11 1 11 2 11 4 11 0 10 1 00 0 0方程组的通解为 , 其中 为任意常数。=101 此解也满足方程组，所以此时方程组和的公共解为, 其中 为任意常数。=101 当 时，同样求方程组的通解=21 1 11 2 21 4 41 1 10 1 10 3 31 0 00 1 10 0 0方程组的通解为 , 其中 为任意
15、常数。= 011 将其代入方程组中得： 0+2()+=1得 ,因此此时方程组和的公共解为=1= 011【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(22)（本题满分 11 分）设 3 阶实对称矩阵 的特征值为 ,且 1=1,2=2,3=2是 的属于 的一个特征向量，记1=(1,1,1) 1,其中 为 3 阶单位矩阵。=543+ (I)验证 是矩阵 的特征向量，并求 的所有特征值和特征向量；1 (II)求矩阵 。【解析】(I)由 知 ,那么=1 =(543+)1=51431+1=(15413+1)1=21所以 是矩阵属于 特征值 的特征向量1 1= -2同理，
16、 ， ，有2=22 3=33,2=(25423+1)2=23=(35433+1)3=3因此，矩阵 的特征值为 。 1=2,2=3=1由矩阵 是对称矩阵知矩阵 也是对称矩阵，设矩阵 关于特征值 的特征向量是 ，那么因为实对称矩阵2=3=1 =(1,2,3)特征值不同特征向量相互正交，有1=12+3=0所以矩阵 关于特征值 的特征向量是 2=3=12=(1,1,0),3=(1,0,1)因此，矩阵 属于特征值 的特征向量是 ，其 1=2 1(1,1,1)中 是不为 0 的任意常数。1矩阵 属于特征值 的特征向量是 ， =1 2(1,1,0)+3(1,0,1)其中 是不全为 0 的任意常数。2, 3(
17、II)由 ，有1=21,2=2,3=3(1,2,3)=(21,2,3)所以 =(21,2,3)(1,2,3)1=2 1 12 1 02 0 1 1 1 11 1 01 0 11=2 1 12 1 02 0 113 1 1 11 2 11 1 2= 0 1 11 0 11 1 0【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(23)（本题满分 11 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)(,)=2,02(II)求 的概率密度 。=+ ()【解析】(I)2=2(,)= (2)=10120(2)=10(582)=724其中 为区
18、域： 。 120(II)【方法一】根据两个随机变量和的概率密度的一般公式有()=+-(,)=10(,)将 分段讨论：时，由于 ，故 ,此时 ；0 01 ()=0综上所述，()= 22,0144+2,120,其他 【方法二】()=+= +(,)时, ；0 ()=0时，01 ()=+(,)=00 (2)；=2133时，12 ()=+(,)=1-+(,)=1-1z-11(2)；=13322+453时，2 ()=1所以()= 22,0144+2,120,其他 【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度(24)（本题满分 11 分）设总体 的概率密度
19、为(,)=12,0,12(1).1,0,其他 其中参数 未知， 是来自总体 的简单随机(01) 1,2, 样本， 是样本均值。(I)求参数 的矩估计量 ； (II)判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由。42 2【解析】(I)()=02+1 2(1)=14+12令 ，解得=14+12 =2-12所以参数 的矩估计量 =2-12(II)(42)=4(2)=4()+()2=4()+()2由(I)知 ,又有()=14+12(2)=022+122(1)=1233+ 12(1)133 =16(1+2)()=(2)()2=16(1+2)(14+12)2=54812+212所以 (42)=4()+()2=454812+212+(14+12)2=3+512+313+3+132因此， 不是 的无偏估计量。42 2【考点】概率论与数理统计参数估计矩估计法，估计量的评选标准
