1、2005 年考研数学一真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分。答案写在题中横线上）(1)曲线 的斜渐近线方程为 。=22+1【答案】 =1214【解析】=lim=2(2+1)=12=lim()=( 22+112)=2(2+1)=14所以斜渐近线方程为 。=1214综上所述，本题正确答案是 。=1214【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程 满足 的解为 。+2=(1)=19【答案】 =1319【解析】原方程等价于 +2=所以通解为=22+=122+=1319+12将 代入可得(1)=19 =0综上所述，本题正确答案是 。=1319【
2、考点】高等数学常微分方程一阶线性微分方程(3)设函数 ,单位向量 ，则(,)=1+26+212+218 =131,1,1。|(1,2,3)=【答案】 33。【解析】因为 x=3,=6,=9所以 |(1,2,3)=13 13+13 13+13 13= 33综上所述，本题正确答案是 。33【考点】高等数学多元函数微分学方向导数和梯度(4)设 是由锥面 与半球面 围成的空间 =2+2 =222区域， 是 的整个边界的外侧，则 。+=【答案】 。2(122)3【解析】 +=3=3024020=2(122)3综上所述，本题正确答案是 。2(122)3【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质
3、及计算(5)设 均为三维列向量，记矩阵1,2,3 =(1,2,3),=(1+2+3,1+22+43,1+32+93)如果 ，那么 。|=1 |=【答案】2。【解析】【方法一】|=|1+2+3,1+22+43,1+32+93|=|1+2+3,2+33,2+53|=|1+2+3,2+33,23|=2|1+2+3,2+33,3|=2|1+2+3,2,3|=2|1,2,3|=2|=2【方法二】由于=(1,2,3)1 1 11 2 31 4 9= 1 1 11 2 31 4 9两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以|=|1 1 11 2 31 4 9|=2|=2综上所述，本题正确答案是 2。【考点】线性
4、代数行列式行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6)从数 中任取一个数，记为 ，再从 中任一个数，1,2,3,4 1,2,记为 ,则 。 =2=【答案】 。1348【解析】【方法一】先求出 的概率分布，因为 是等可能的取 ，故 关(,) 1,2,3,4(,)于 的边缘分布必有 ,而 只从 中 =14,=1,2,3,4 1,2,抽取，又是等可能抽取 的概率为1,2,14所以 即：=,=0,14,X Y 1 2 3 41 14 0 0 0 142 18 18 0 0 143 112 112 112 0 144 116 116 116 116 14所以 =2=18+ 112+ 116=1
5、348【方法二】=2=4=1=2|=4=114=2|=14(0+12+13+14)=1348综上所述，本题正确答案是 。1348【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 ）(7)设函数 ,则()=lim1+|3f()(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点=31=3(C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点【答案】C。【解析】由 知lim1+2+= 1(0)()=lim1+|3=x1,|3=1,|1|3,|1由 的表达式和其图像可知
6、 在 处不可导，在其y=() ()=1余点均可导。综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(8)设 是连续函数 的一个原函数， 表示 的充分必要() () “ 条件是 ，则必有(A) 是偶函数 是奇函数() ()(B) 是奇函数 是偶函数() ()(C) 是周期函数 是周期函数() ()(D) 是单调函数 是单调函数() ()【答案】A。【解析】【方法一】若 是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导()函数为奇函数” ，反之，若 为奇函数，则 为偶函数， 的任意一个原函数() 0() ()可表示为 ()=0()+则 是偶函数，故应选 A。()【方法
7、二】排除法：取 ，显然 连续，()=+1,()=+1 (),且 是偶函数，周期函数。但 不是奇函数()=()() (),也不是周期函数，排除 B 和 C 选项。(0)0)若取 ,排除 D，故应选 A。()=,()=122综上所述，本题正确答案是 A。【考点】高等数学一元函数积分学原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数(9)设函数 ,其中函数 具有(,)=(,)+()+() 二阶导数， 具有一阶导数，则必有(A) (B)2u2=2u2 2u2=2u2(C) (D) 2ux=2u2 2ux= 2u2【答案】B。【解析】u=(+)+()+(+)(),u=(+)()+(+)+()2u2= (+
8、)+()+(+)()2ux=(+)()+(+)+()2u2=(+)+()+(+)()可见有2u2=2u2综上所述，本题正确答案是 B。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数的偏导数和全微分(10)设有三元方程 ,根据隐函数存在定理，存在点+=1的一个邻域，在此邻域内该方程(0,1,1)(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 =(,)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和=(,)=(,)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和=(,)=(,)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 和=(,)=(,)【答案】D。【解析】(,)=+1则 =+ , =,=+且 (0,1,1)=2, (0,1
9、,1)=1,(0,1,1)=0由此可确定的隐函数为 和=(,)=(,)综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学多元函数微分学隐函数的求导法(11)设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2 ，则 线性无关的充分必要条件是1,2 1, (1+2)(A) (B) 10 20(C) (D) 1=0 2=0【答案】B。【解析】【方法一】设 11+2 (1+2)=0即有 (1+21)1+222=0由于特征值不同特征向量线性无关，所以 线性无关，由1,2可得1+21=022=0 线性无关 只有零解1, (1+2)1=02=0(2)|1 10 2|020【方法二】因为 =(1, (1+
10、2)=(1,11+22)(1,2)1 10 2那么 线性无关1, (1+2) (1, (1+2)=2由于 线性无关，则1,2线性无关1, (1+2)1 10 2=220综上所述，本题正确答案是 B。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系(12)设 为 阶可逆矩阵，交换 的第 1 行与第 2 行得矩阵 , (2) 分别为 的伴随矩阵，则, ,(A)交换 的第一列和第二列得 (B)交换 的第一行和第二行得 (C)交换 的第一列和第二列得 -(D)交换 的第一行和第二行得 -【答案】C。【解析】设 为 3 阶矩阵，因为 作初等行变换得到 ，所以有 0 1 01
11、 0 00 0 1= -1=-10 1 01 0 00 0 1-1=-10 1 01 0 00 0 1从而|=|0 1 01 0 00 0 1又因为 ,故|=|0 1 01 0 00 0 1=即交换 的第一列和第二列得 -综上所述，本题正确答案是 C。【考点】线性代数矩阵矩阵的初等变换(13)设二维随机变量 的概率分布为(,)X Y 0 10 0.4 1 0.1已知随机事件 和 相互独立，则=0 +=1(A) (B)=0.2,=0.3 =0.4,=0.1(C) (D)=0.3,=0.2 =0.1,=0.4【答案】B。【解析】由独立性可知=0， +=1=0+=1=0， +=1=0=0.4+=1=
12、+已知 0.4+0.1=1+=0.5所以有 0.5(0.4+)=0.4 =0.1综上所述，本题正确答案是 B。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，随机变量的独立性和不相关性(14)设 为来自总体 的简单随机样本， 为样1,2,(2) (0,1) 本均值， 为样本方差，则2(A) (B) (0,1) 22()(C) (D)(1) (1) (1)12=22(1,1)【答案】D。【解析】且 与 相互独立，因此122(1), =222(1) 12 =2212=22/(1)=(1)12=22(1,1)综上所述，本题正确答案是 D。【考点】概率论与
13、数理统计数理统计的基本概念简单随机样本，统计量，样本均值， 分布， 分布， 分布2 t F三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）(15)（本题满分 11 分）设 ， 表示不超=(,)|2+22,0,01+2+2过 的最大整数。计算二重积分1+2+2 1+2+2【解析】令 1=(,)02+21,0,0,2=(,)12+22,0,0则 1+2+2= 1+ 22=20103+2204203=14+18=38【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(16)（本题满分 12 分）求幂级数 的收敛区间与和函数=1(1)1(1+
14、 1(21)2 ()【解析】因为lim(+1)(2+1)+1(+1)(2+1) (21)(21)+1=1所以当 时，原级数绝对收敛，当 时，原级数发散，21因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为 (1,1)记 ()=1(1)1 12(21)2,(1,1)则 ()=1(1)1 1(21)21,(1,1)()=1(1)122= 11+2,(1,1)由于 (0)=0,(0)=0所以 ()=0()=011+2=()=0()=0=12(1+2)又 =1(1)12= 21+2,(1,1)从而()=2()+21+2=2n(1+2)+21+2,(1,1)【考点】高等数学无穷级数幂级数及其收敛半径、收敛区间(指
15、开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(17)（本题满分 11 分）如图曲线 的方程为 点(3,2)是它的一个拐点，直线 与 =(), 1分别是曲线 在点 与 处的切线，其交点 设函数2 (0,0)(3,2) (2,4)具有三阶连续导数，计算定积分() 30(2+)()【解析】由点 是曲线 的拐点知 。由于直线 与 分别是(3,2) () (3)=0 1 2曲线 在点 与 处的切线，由图易得，直线 与 的斜率 (0,0)(3,2) 1 2分别为 2 和-2 知， (0)=2,(3)=2且由图易得 则(0)=0,(3)=230(2+)()=30(2+)
16、()=(2+)()|3030(2+1)()=30(2+1)()=(2+1)()|30+230()=7(2)2+2()|30=16+2(20)=20【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18)（本题满分 12 分）已知函数 在 连续，在 内可导，且() 0,1 (0,1)证明：(0)=0,(1)=1(I)存在 ，使得 ；(0,1) ()=1(II)存在两个不同的点 ,使得,(0,1)()()=1【解析】(I)令 由题设知， 在 上连续，()=()1+,0,1, ()0,1又(0)=(0)1=10由连续函数的零点定理知，存在 ，使得(0,1
17、) ()=0即 ()=1(II)在区间 和 上分别对 用拉格朗日中值定理得0, ,1 ()()-(0) =() (0,)(1)()1 =() (,1)此时， ()()=()-(0) (1)()1 = ()1-1() =1【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(19)（本题满分 12 分）设函数 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲()线 上，曲线积分 的值恒为同一常数L ()+222+4(I)证明：对右半平面 内的任意分段光滑简单闭曲线 有0 ；()+222+4 =0(II)求函数 的表达式。()【解析】(I)如图，将 分解成： ,另作一条曲线 围绕原点且与 =1+2 3相连，则
18、 ()+222+4 = 1+3()+222+4 2+3()+222+4 =0(II)设 在单连通区域 内具有一阶连=()22+4,= 222+4, 0续偏导数，由（I）知，曲线积分 在该区域内与路()+222+4径无关，故当 时，总有0=而 =2(22+4)42(22+4)2 =42+25(22+4)2=()(22+4)43()(22+4)2 =22()+4()43()(22+4)2比较，式的右端得： ()= -24()43()=25可得 ()= -2【考点】高等数学多元函数积分学平面曲线积分与路径无关的条件(20)已知二次型的秩(1,2,3)=(1)12+(1)22+232+2(1+)12为
19、 2(I)求 的值；(II)求正交变换 ,将 化为标准形；=(1,2,3)(III)求方程 的解(1,2,3)=0【解析】(I)二次型矩阵 ，由于二次型的秩为 2，即=1 1+ 01+ 1 00 0 2,所以有()=2 | =2|1 1+1+ 1| = -8=0得 =0(II)当 时，由=0|=|1 1 01 1 00 0 2|=(2)2=0得矩阵 的特征值是 2,2,0。对于 ，由=2(2)=0, 1 1 01 1 00 0 01 1 00 0 00 0 0得特征向量 1=(1,1,0),2=(0,0,1)对 ，由=0(0)=0,1 1 01 1 00 0 21 1 00 0 10 0 0得
20、特征向量 3=(1,-1,0)由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有1=12(1,1,0),2=(0,0,1),3= 12(1,-1,0)令 ,那么经过正交变换 ,有=(1,2,3)=12 0 1212 0 120 1 0 =，(1,2,3)=212+222(III)【方法一】由（II）知，在正交变换 下， 化为= (1,2,3)=0，解得 ，212+222=0 1=0， 2=0， 3=(为 任意 实 数 )从而=00=(1,2,3)00=3=(1,-1,0)即方程 的解是 为任意常数。(1,2,3)=0 (1,-1,0),【方法二】由于(1,2,3)=12+22+232+212=(1+
21、2)2+232=0所以1+2=03=0 其通解为 ,其中 为任意常数。=(1,-1,0) 【考点】线性代数二次型用正交变换和配方法化二次型为标准形(21)（本题满分 9 分）已知三阶矩阵 的第一行是 不全为零，矩阵 (,)，且 ，求线性方程组 的=1 2 32 4 63 6 (为 常数 ) =0 =0通解。【解析】由 ，知 ,又 ,故=0 ()+()3 0,01()2,1()2当 时，必有 ，此时 由于9 ()=2 ()=1,又因为 ， 的列向量是 的解。()=31=2 =0 =0故 的通解为： , 是任意常数；=0 1(1,2,3)+2(3,6,) 1,2当 时，则 。此时 。=9 ()=1
22、 ()=1或 2若 ，则 。 的通解为 ；()=2 ()=1 =0 (1,2,3)若 ()=1，则 与 同解，由 ，设 ,那么=0 +=0 ()=2 0的通解为 , 是任意常数=0 1(-,0)+2(,0,) 1,2【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，齐次线性方程组的基础解系和通解(22)（本题满分 9 分）设二维随机变量 的概率密度为(,)(,)=1,0(,)=11220 =24当 时，2 ()=1所以 ()=12,02) (0,1) 本均值，记 =-,=1,2,(I)求 的方差 ； (),=1,2,(II) 与 的协方差 。1 (1,)【解析】(I)()=(-)=(11)1=1=(11)2()+12=1()=(1)22 +12=1 =1,2, (II)(1,)=1(1)()=(1)=(1-)(-)=(11+2)=(1)(1)()+(2)=(1)()2(1)+()+()2=021(12+=21)+()+0=2(1+0)+1=1【考点】概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量函数的数学期望、协方差、相关系数及其性质
