1、 Born to win11996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 ,则 .23()xye0xy(2) .1d(3) 微分方程 的通解为.25y(4) .31limsnl(1)sinl()xxx(5) 由曲线 及 所围图形的面积 .,2yyS二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当 时, 是比 高阶的无穷小,则 ( )0x2(1)xeab2x(A) (B) 12ab1,ab(C) (D) ,
2、 (2) 设函数 在区间 内有定义,若当 时,恒有 ,则 ()fx()()x2|()|fx0必是 的 ( )(A) 间断点 (B) 连续而不可导的点(C) 可导的点,且 (D) 可导的点,且(0)f(0)f(3) 设 处处可导,则 ( )()fx(A) 当 ,必有limxflim()xf(B) 当 ,必有()(C) 当 ,必有lixfli()xf(D) 当 ,必有()(4) 在区间 内,方程 ( )142|cos0xx(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根Born to win2(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设 在区间 上连续,且 ( 为常数),由曲线(),fxga
3、b()gxfm(),ygx及 所围平面图形绕直线 旋转而成的旋转体体积为 ( )yxy(A) 2()()bamfgfxd(B) xg(C) ()()baffx(D) mxgd三、(本题共 6小题,每小题 5分,满分 30分.)(1) 计算 .ln201xed(2) 求 .si(3) 设 其中 具有二阶导数,且 ,求 .20(),txfudy()fu()0fu2dyx(4) 求函数 在 点处带拉格朗日型余项的 阶泰勒展开式.1()xf0n(5) 求微分方程 的通解.2y(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为 ,用过此柱体底面的短轴与底面成2ab、角( )的平面截此柱体,得一锲形体(如图
4、),求此锲形体的体积 .0 V四、(本题满分 8分)计算不定积分 .2arctn(1)xdBorn to win3五、(本题满分 8分)设函数231,1,(6,.xf(1) 写出 的反函数 的表达式；()fx()gx(2) 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.g六、(本题满分 8分)设函数 由方程 所确定,试求 的驻点,并判别(yx3221yxy()yx它是否为极值点.七、(本题满分 8分)设 在区间 上具有二阶导数,且 , ,试证明：fxab()0fab()0fab存在 和 ,使 及 .(,)()()0f八、(本题满分 8分)设 为连续函数,fx(1) 求初值问题 的解 ,其中 为正的
5、常数；0(),xyaf()yxa(2) 若 ( 为常数),证明：当 时,有 .|)|fk0|()|1)axkyxeBorn to win42121yxxyO1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】 13【解析】 .1322xxyee,0132y(2)【答案】【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式 .1 122221102xxdxxd 【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：若 在 上连续且为奇函数,则 ；()fa()0af若 在 上连续且为偶函数,则 .x02()aaxdfxd(3)【答案】 12
6、cosinxye【解析】因为 是常系数的线性齐次方程,其特征方程50y有一对共轭复根 故通解为 .250r12ri.12cosinxyex(4)【答案】【解析】因为 时, ( 为常数),所以,xsinlln1kkxx:原式 .331limsl1lillimli32xxxx (5)【答案】 ln2【解析】曲线 的交点是 , 当 时1yx,21221,x(单调上升)在 上方,于是1yx21221lnln.SdxBorn to win5二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.) (1)【答案】(A)【解析】方法 1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由 21xeab221!xabx,221b令
7、可得 应选(A).0122,a,b.方法 2：用洛必达法则.由 20 0(1)limlim0,2x xeabeab洛有 li 1.x又由 .002 1lili022xxeabeaa应选(A).(2)【答案】(C)【解析】方法一：首先,当 时, .x|()|(0)ff而按照可导定义我们考察,2()0()0 ()ffxxx由夹逼准则, ,故应选(C).0()limxff方法二：显然, ,由 , ,得 ,即f2|()|fx()2()1(,0)(fx,有界,且2()fx.200()()()limli0xxfff故应选(C).方法三：排除法.Born to win6令 故(A)、(B)、(D)均不对,应
8、选(C).3(),(0),fxf【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如 ,则(A),(C)不对；又令 ,则(B)不对.故()fx()xfe应选择(D).方法二：由 ,对于 ,存在 ,使得当 时, .lim()xf0M00x()fM由此,当 时,由拉格朗日中值定理,0,0000()()()()fxfxfxx从而有 ,故应选择(D).lix【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 满足()fx(1) 在闭区间 上连续；,ab(2) 在开区间 内可导,()那么在 内至少有一点 ( ),使等式(,)b()fbafa成立.(4)【答案】(C)
9、【解析】令 ,则 ,故 是偶函数,考察142()|cosfxx()ffx()f在 内的实数个数：()fx0,( ).142()csfxx0首先注意到 , 当 时,由零值定01142)()0,f2x理,函数 必有零点,且由()fx,3142sin0fxx在 单调递增,故 有唯一零点.()fx02()fBorn to win7axdx()yg()fxOymb当 时, 没有零点；2x1114242()cos()0,fxx因此, 在 有一个零点.又由于 是偶函数, 在 有两个零点.()f0,f()fx,)故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数 在闭区间 上连续,且 与 异号(即()fxab()f
10、afb),那么在开区间 内至少有一点 ,使 .()0fab,ab0f(5)【答案】(B)【解析】见上图,作垂直分割,相应于 的小竖条的体积微元,22()()dVmgxdfx()()mgfxd,2()()xffxd于是 ,()baVmgx故选择(B).三、(本题共 6小题,每小题 5分,满分 30分.)(1)【解析】方法一：换元法.令 ,则 ,21xeu221ln(),1udx所以 333ln22 22000011()(2)xuddduu .3201lnln()u方法二：换元法.令 ,则 , ,sinxet coslsi,ittdx:0l2:6xtBorn to win8ln262026cos1
11、1 sininx tedtdtd.22663l(st)sl()2t方法三：分部积分法和换元法结合.原式 ln2ln20011()x xxeded ln2l20xx令 ,则 ,xet:0ln2:1t原式 .221 133ln()2dtt 3ln(2)【相关知识点】1. ,cslcsotinxxxC2. 时, .0a22ldaa(2)【解析】方法一： 2(1sin)1sin1sincoxxdxd222i csecossxxx.1taC方法二： 21sin(cosin)dxdx.2 2(1tan)e(1ta)1tanxdCxx方法三：换元法.令 ,则 ,tan2xt 222tanrctn,si1td
12、t原式 .21()1tandCt xttBorn to win9(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为,22()4()dyfttt ftx所以 2 22221()()()4()()dydtdttfftftxtxxft.224()()ftftt(4)【解析】函数 在 处带拉格朗日余项的泰勒展开式为()fx0.()(1)10() ,(0)!nnnffxffxx 对于函数 ,有1()xf12(),x2(),fx31()x, () (1)2()!nnnfx所以 ()01,23,故 .112() (1)()(0)nnnx xf xx(5)【解析】方法一：微分方程 对应的齐次方程 的特征方程为
13、2yy,两个根为 ,故齐次方程的通解为 .20r120,r12xce设非齐次方程的特解 ,代入方程可以得到 ,()Yxabc,123abc因此方程通解为 .3212ycex方法二：方程可以写成 ,积分得 ,这是一阶线性非齐次微分方2()30yc程,可直接利用通解公式求解.通解为Born to win1030()dxdxyeceC3 30 01()()xxxxdecC 320()xxxeedcC3 32 20 0()xxxxxeedcCe 320()xxxecC.321xx方法三：作为可降阶的二阶方程,令 ,则 ,方程化为 ,这是一阶线yP 2Px性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为
14、 2200()().xxxxxPecedcee再积分得 .3212xycex【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程*()yx的一个特解. 是与之对应的齐次方程()()yPxQyfx()Y的通解,则 是非齐次方程的通解.0 *yx2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即 中的 、 均是常数,方()Yx()()0PQy()PxQ程变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根0ypq2rpq；12,r分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为12r12;rxrxyCeBorn to win1
15、1(2) 两个相等的实数根 ,则通解为12r112;rxyCe(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中,i12cosin.Cx为常数.12,C3.对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待定()()yPxQyfx*()yx系数法,有结论如下：如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如(),xmfxPe *()()kxmQe的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方Q()k程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()cos()sinxlfexPx的特解可设为ypqyf,*(1)(2)cossinkxmmeRxx
16、其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征(1)mRx(2) alki方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .04. 一阶线性非齐次方程 的通解为()yPxQ, 其中 为任意常数.()()dPxdeeC(6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为 .21yab方法一：以垂直于 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,y其中一条直角边长为 ,2axby另一条直角边长为 ,tn故截面面积为.221()()taaSyby楔形体的体积为.222002()tan()tan3bbVydydbBorn to win12方法二：以垂直于 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,x其中一条边长为 ,2b
17、yax另一条边长为 ,tn故截面面积为,2()taSxxa楔形体的体积为.2200()tntan3abVdxdb四、(本题满分 8分)【解析】方法一：分部积分法. 222arctnarctnarctn(1)1xxxdddrt()rt(arct)xx22actntn(1)d分 部221rt arctxxx.1acnlln()nC方法二：换元法与分部积分法结合.令 ,则 ,arctnx2t,sedxt22222raccot(1)tan(1t)tandds(co)t2cottd分 部s1inx2ctt.olsiC五、(本题满分 8分)Born to win13【分析】为了正确写出函数 的反函数 ,并
18、快捷地判断出函数 的连续性、可()fx()gx()gx导性,须知道如下关于反函数的有关性质.【相关知识点】反函数的性质： 若函数 是单调且连续的,则反函数 有相同的()f ()单调性且也是连续的； 函数 的值域即为反函数 的定义域； ,故()fx()gx1()gxf函数 的不可导点和使 的点 对应的值 均为 的不可导点.()fx0ff【解析】(1) 由题设,函数 的反函数为()x31,1,2()86,.1gxx(2) 方法一：考察 的连续性与导函数.注意()fx231,1,()6,xf在 区间上 分别与初等函数相同,故连续.在 处分(,1)(,2)()fx 1,2x别左、右连续,故连续.易求得
19、 24,1,()3()4,(1)3,1()2.fxxfffff 由于函数 在 内单调上升且连续,故函数 在 上单调且连续,没()x()gx)有间断点.由于仅有 时 且 ,故 是 的不可导点；仅有 是0()f(0)f0x()1x的不可导点(左、右导数 ,但不相等),因此 在 处不可导.)fxg1f方法二：直接考察 的连续性与可导性.注意()gxBorn to win1431,1,2()86,1xgxx在 区间上 分别与初等函数相同,故连续.在 处分(,1)(,8)()g 1,8x别左、右连续,故连续,即 在 连续,没有间断点.x在 内分别与初等函数相同,这些初等函数只有 在()gx,)(1,8)
20、 3x不可导,其余均可导.在 处,0311(),(),24xxg 不 .在 处,(1)g8x38 8116(),(),22x xg .(8)g因此, 在 内仅有 与 两个不可导点.x(,)0x1六、(本题满分 8分)【解析】方程两边对 求导,得2 230,(3)0.yxyyxy 令 得 ,代入原方程得 ,解之得唯一驻点 ；对两边再求导0,yx3211又得. 22(3)()0xyyy以 代入得1,0x12,0,2xy是极小点.【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点).Born to win152.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.当函数 在驻点处的二阶
21、导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定 在()fx ()fx驻点处取得极大值还是极小值.定理：设函数 在 处具有二阶导数且 ,那么()f0 00(),()fxf(1) 当 时,函数 在 处取得极大值；0x()fx0(2) 当 时,函数 在 处取得极小值.()f七、(本题满分 8分)【解析】首先证明 ,使 ：()ab()0f方法一：用零点定理.主要是要证明 在 有正值点与负值点.不妨设x,)ab()0,fa.()0fb由 与极限局部保号性,知在 的某右邻域,()lim()0xaffafx,从而 ,因而 ；类似地,由 可证()f x11()0xbafx()0fb.由零点定理, ,使 .212,
22、()0bf2(,b()f方法二：反证法.假设在 内 ,则由 的连续性可得 ,或 ,不a()0fx)fxx()fx妨设 .由导数定义与极限局部保号性,()fx,()()()limli0xaxaffff ,bbb 从而 ,与 矛盾.()0fa()0f其次,证明 , ：由于 ,根据罗尔定理,()()ffb,使 ；又由罗尔定理, 12,a12()0f.()()0f注：由 可得：在 ；在 .注0fx0(,)()xfx00(,),()xfxBorn to win16意由 得不到 在 单调增的结果！0()fx()fx0,)x【相关知识点】1.零点定理：设函数 在闭区间 上连续,且 与 异号(即(fab()f
23、afb),那么在开区间 内至少有一点 ,使 .()fab,)ab()0f2函数极限的局部保号性定理：如果 ,且 (或 ),那么存在常数0lim()xfA,使得当 时,有 (或 ).00x3. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在 的某去心邻域内 (或 ),而0x)0fx)fx且 ,那么 (或 ).0lim()xfAA4.罗尔定理：如果函数 满足)fx(1) 在闭区间 上连续；,ab(2) 在开区间 内可导；()(3) 在区间端点处的函数值相等,即 ,()fab那么在 内至少有一点 ( ),使得 .()ab0八、(本题满分 8分)【解析】(1) 为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解()yfx为,()()()axaxaxefdCeF其中 是 的任一原函数,由 得 ,故()Fxf 0y0.0()()()xaxatyeFefd(2) 当 时,0x0atxtfdt.001()xxataxt axkkekee【相关知识点】一阶线性非齐次方程 的通解为()yPQBorn to win17, 其中 为任意常数.()()PxdPxdyeQeC
