1、南海区高中数学教师说题比赛立体几何第 1 题说题稿南海区狮山高级中学 题目：如图，在锥体 中， 是边长为 1 的菱形，且 ，PABCD 60DABPD， ， ， 分别是 ， 的中点。2EFP（1）证明： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值。PAB本题是 2011 年广东高考理科数学第 18 题，可以用传统几何方法进行推理求解，亦可以用向量坐标法进行计算。下面从 4 各方面进行分析。一、题目考查的目标与难度1、考查目标：本题涉及的数学知识甚广，包括等腰三角形、等边三角形、菱形的性质；勾股定理；余弦定理；中位线定理；三角形的中线长公式；线线平行、线线垂直；线面垂直；面面平行；二面角的概念与计算；空间
2、直角坐标系；点与向量的坐标；向量的垂直、平行、数量积；法向量。考查了所涉及知识点的概念理解、原理应用能力；逻辑推理能力；基本运算能力；化归的数学思想。2、难度分析：本题对于我校理科学生来说应该算是偏难的题目。理由是：若用几何法，在证明垂直过程前要先作若干条辅助线，学生容易混乱；用坐标法，学生难以入手，因为途中没有明显的“三条两两互相垂直的直线”二、解题分析1、题意分析：（1） 是边长为 1 的菱形菱形具有对角线互相垂直的性质，为能建立空间直ABCD角坐标系创造条件。（2） 能结合菱形的性质，得出 90角，找出“垂直关系”60（3） 产生等腰三角形，底边上中线与底边垂直。2P（4） 实际上 的长
3、度只影响了二面角的大小，对解题思路影响不大；若BB用坐标向量法，给 PB 长度，以便求 P 坐标；（5） ， 分别是 ， 的中点两EFBCP个中点，考虑到中位线性质。2、思路分析：（1）用传统几何法：第一问是解题的难点，第一问解决了，第二问就显得简单。而要解决第一问“ 平面 ”，必然转化到“线线垂直” 。其中， 比较好找，ADEFDEA但另外一对垂直关系就难以直接发现。通过分析，可以发现，关键的切入点就在于利用“等腰三角形性质”与“三角形中位线性质”把难以直接证明的垂直关系转化比较容易证明的位置。处理好这个辅助线问题，题目就迎刃而解了。（2）用坐标向量法：问题的难点在于没有明显的“三条两两互相
4、垂直的直线” ，要自己依据“菱形对角线互相垂直” ，作辅助线构造。然后各点坐标中， P 点坐标需要根据题目条件建立方程组来求解。处理好建系、找坐标问题，剩下的就是一些比较格式化的操作了。三、教学方法1、教法设想：（1）传统几何法：应用传统几何的方法解决立体几何的题目，不外乎抓住“由已知条件想性质，由所求结论想判定” 。这道题目中，学生容易被过多的条件搞混。教师只需理顺条件，题目便会迎刃而解。如果这题给我去教我的学生传统几何法，我会通过以下几个问题来引导题目的已知条件有哪些？ 一一列出，数据标注在图上。由各个条件，你能分别想到些什么？学生思考，自由发挥，尽量联想，挖掘脑袋里的知识所求的“线面垂直
5、”如何能得到？转化问题当遇到一组“线线垂直”难以实现，那请思考证明线线垂直有什么方法？一般有哪些常见作辅助线的方法？连接中点，中位线，特殊点，创造垂直，平行（2）向量坐标法：向量坐标法的关键在于如何建立恰当的空间直角坐标系，找出各关键点的坐标。如果这题给我去教我的学生传统几何法，我会通过以下几个问题来引导建立空间直角坐标系，需要些什么条件？三条两两互相垂直（共点）的直线题目条件中有出现一些互相垂直且共面的直线吗？一对也没有。题目中的条件能是否隐藏了一些垂直关系？请作出来。怎么建立空间直角坐标系最好？建立空间直角坐标系后，各点坐标怎么办？不好直接写出的点的坐标可以怎么办？2、学法指导（1）对于立
6、体几何，强调抓住两个基本图形：三角形、三棱锥。三角形是最简单也是最基本的平面多边形（中位线，等腰三角形，等边三角形，直角三角形） ，所有其他多边形均可转化为三角形，同样三棱锥也是最基本的空间几何体。（2）解题过程中，多思考，多小结。比如说在本题中，我们可以归纳证明两条直线垂直的方法有哪些，辅助线的作法有哪些？（3）任何一个数学问题都离不开条件跟结论，解题时多想想“已知条件有何用，所求结论怎么得”以及他们之间的关系。相信，坚持做下去，学生的解立体几何能力必然会提升。四、评价与推广1、题目价值个人觉得作为一个例题，这是一道很好的立体几何题。因为本题从基本图形出发，通过数据的分析处理，利用化归转化的
7、数学思想，很好地巩固学生对基本概念的理解，强化学生的逻辑推理能力；又注重了理科解决立体几何问题的两种方法。但作为高考题，本题的第一问入手偏难，会导致学生失分较多，影响学生学习立体几何的兴趣。2、题目推广如果作为高三复习题，可以做以下的变式尝试（1）在相同的条件下，求二面角 （巩固二面角的求法）ABCP（1）在相同的条件下，求锥体 的体积或求点 D 到平面 PBC 的距离（体积问题，等积法）（2）令 ，其余条件不变，问当 取何值是锥体 的体积最大（运动变化，aPBaBCP最值问题）参考资料：1、杨华 2011 广东立体几何体引起的思考 （中学数学2011 年第 9 期） 2、何小亚 2011 年广东高考立体几何大题分析 （中学数学月刊2011 年 08 期）
