1、等差数列的一个新性质16 数学通讯 2008 第 1 期等差数列的一个新性质田彦武(银川市第九中学,宁夏 750001)中图分类号:O122.7 文献标识码:A 文章编号:0488 7395(2008)01001602最近文1给出了等差数列,等比数列的下列两个结论:结论 1 已知等差数列口,r,S,t 是互不相等的正整数,则有(rS)口+(St)口,+(t r)口=0.结论 2 已知等比数列口,r,S,t 是互不相等的正整数,则有 at(r-s)?ar(c)?口一=1.接着文1分别将结论 1 和结论 2 进行推广,得到更一般的结论.笔者经过探索和研究得到等差数列的前项和的一个类似性质,与大家共
2、享.定理 1 已知等差数列口,r,S,t 是互不相等的正整数,S 是其前项和 ,则有(rS)rsS+(st)stS,+(tr)trS=0.证设等差数列口 的首项为口 .,公差1S,=TO.1+告 r(r 一 1),l 厶为,则s:ml+s(s 一 1),从而,IIS=tal+ 寺 (一 1)d,(rS)rsS+(st)stS,+(tr)trS=(rs)TS-tal+(一 1)d+(s 一)st.TO.1+lr(r 一 1)d+(一 r)r?SO.1+s(s 一 1)d=rst(rs)+(St)+(一 r)口 l收稿日期:20071l 一 25+.寺 (rs)(一 1)+(s 一 )(r 一 1
3、)+(tr)(s 一 1)d=0.定理 2 已知等差数列口,公差 d0,且对于N,有 S4=0,l,2,是互不相等的正整数,mN,m4,则有(ln2)ln2SS.S+(2 一 rt3).n2n3S,S.?S+(一 1 一)m 一 1S,S,?S,+(一 1)lS,S一 S,=0.证由N,S0,知所证式子等价于下列式子:SS+SS+.一+SS+1,1I.1 川1rt223m 一 1.o.由口一口:(nln2)d,d/:O,可知口,一口nln2,.由 S=,可知 n1.Sn2=竺!竺!竺!4故有 nl-n2竺!二!竺!一,一d(al+an1)(口 l+an2)一 d 口 l+口,:2008 年第
4、l 期数学通讯 17等差数列前项和的几个性质及应用张俊(兴化市第一中学,江苏 225700)中图分类号:O122.742 文献标识码:A 文章编号:0488 7395(2008)01001702定理 1 设数歹 U口 f 是公差为 d 的等差数列,前项和为 S 则有:+(1)证因为等差数列 中S:+,所以导=一.7z同理=口 +.两式相减变形即得(1)式.定理 2 设数列 是公差为 d 的等差数列,前 7/项和为 S,优,p,q 是互不相等的正整数,若 z+=P+q,则有+:+c27zp 口证由(1)式得一St,+!,2 勿:+.7zq两式相加并利用优+7/=P+q 整理即,口 1+口 同理 c 一23j 一,型=二一 4,口 1+nn2S一IS“,dal+口“州7/“i 一 1,Z,口 1+口 “/SSd 一 1),“.,口 1+口 “.口+口“lll“,SS+SSd(“.“L 口 I+口,j“l,“lnilmmn1一一(击一)+(一一)=0.“1.“m类比定理 1 和定理 2,在等比数列中是否也有类似的结论? 笔者尚未得到结果 ,请大家继续研究和探索.参考文献:1侯雪花.等差数列 ,等比数列的一个新的性质数学通讯,2007(19).收稿日期:2007 一儿一 09作者简介:张俊(1976 一), 男 ,江苏省兴化市人,江苏兴化市第一中学一级教师,学士馨
