1、已知双曲线的焦点在 x 轴上，且 ac9，b3，则它的标准方程是_1.解析：因为 b3，所以 c2a 2(ca)(ca)9，所以 ca1，a4，此双曲线的标准方程是 1.x216 y29答案： 1x216 y29双曲线 8kx2ky 28 的一个焦点为(0 ，3)，那么 k 的值是 _2.解析：焦点在 y 轴上，所以双曲线的标准方程是 1，k0 ，b0)x2a2 y2b2由题意，得 B(2，0) ，C (2，3)来源: ，解得 ，4 a2 b24a2 9b2 1) a2 1b2 3)双曲线的标准方程为 x2 1.y23答案：x 2 1y23与 x2 1 有相同的焦点，且过点(2， )的双曲线方
2、程为_3.y24 3解析：设方程为 1(4k0，1k0)，将点(2， )代入方程得 k2.所以方程x24 k y21 k 3为 1.来源:x22 y23答案： 1x22 y23已知双曲线的两个焦点 F1( ，0)，F 2( ，0) ，P 是此双曲线上的一点，且 4. 10 10 PF1 0，| | |2，则该双曲线的方程是_PF2 PF1 PF2 解析：由于三角形 PF1F2 为直角三角形，故 PF PF 4c 240( PF1PF 2)21 222PF 1PF240，由双曲线定义得(2a) 2440a 29，故 b21，双曲线方程为y 21.x29答案： y 21x29设 P 为双曲线 x2
3、 1 上的一点，F 1，F 2 是该双曲线的两个焦点，若5.y212PF1PF 232，则PF 1F2 的面积为_解析：双曲线的 a1，b2 ，c .3 13设 PF13r ，PF 22r .PF 1PF 22a2，r 2.于是 PF16，PF 24.PF PF 52F 1F ，故知PF 1F2 是直角三角形，21 2 2F 1PF290 .S PF 1F2 PF1PF2 6412.12 12答案：12已知双曲线经过点 A ，且 a4，求双曲线的标准方程6. (1，4103 )解：若设所求双曲线方程为 1(a0 ，b0)，x2a2 y2b2则将 a4 代入，得 1.x216 y2b2又点 A(
4、1， )在双曲线上，4103 1.由此得 b20 ，b0)，则将 a4 代入得 1，代入点 A(1，y2a2 x2b2 y216 x2b2)，得 b29，4103双曲线的标准方程为 1. 来源:y216 x29设双曲线与椭圆 1 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 A 位于 y 轴右侧且7.x227 y236纵坐标为 4，求此双曲线的方程解：法一：设双曲线的方程为 1(a0 ，b0)，y2a2 x2b2由题意知 c236279，c 3.又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为 ，于是有15解得42a2 （15）2b2 1，a2 b2 9， ) a2 4，b2 5. )所以双曲线方程为 1.y24
5、 x25法二：设双曲线的方程为 1(a0 ，b0)，y2a2 x2b2将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A( ，4)，15又两焦点分别为 F1(0，3) ，F 2(0，3)，所以 2a （15 0）2 （4 3）2 （15 0）2 （4 3）2844，a2，b 2c 2a 2945，所以双曲线方程为 1.y24 x25B 级 能力提升若椭圆 1 (mn0)和双曲线 1(a0，b0)有相同的焦点 F1，F 2，P 是两8.x2m y2n x2a2 y2b2条曲线的一个交点，则 PF1PF2 的值是_解析：运用椭圆和双曲线的定义 写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数 PF1
6、PF2 的值PF 1PF 22 ，| PF1PF 2|2a，m所以 PF PF 2PF 1PF24m ，PF 2PF 1PF2PF 4a 2，两式相减得 ：21 2 21 24PF1PF24m4a 2，PF 1PF2ma 2.答案：ma 2已知双曲线的方程是 1，点 P 在双曲线上，且到其中一个焦点 F1 的 距离为 10，9.x216 y28另一个焦点为 F2，点 N 是 PF1 的中点，则 ON 的大小( O 为坐标原点) 为_解析：连接 ON，ON 是三角形 PF1F2 的中位线，所以 ON PF2，因为12|PF1PF 2|8，PF 110，所以 PF22 或 18，ON PF21 或
7、 9.12答案：1 或 9已知双曲线 1(a0，b0)的左焦点为 F1( ，0)，过右焦点 F2 作垂直于 x 轴的10.x2a2 y2b2 3直线交双曲线于点 P，且PF 1F230，求该双曲线的标准方程解：由题意在 RtPF 1F2 中PF 2F190，又PF 1F230，则设 PF2m ，得F1F2 m，PF 12m，又 F1F22 ，则解得 m2，所以 2aPF 1PF 22，所 以3 3b2c 2a 22，则所求双曲线的标准方程为 x2 1.y22(创新题)11.在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的 P 处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路 PA，PB 送到矩形灾民区 ABCD
8、 中去，已知 PA100 km，PB150 km，BC60 km，APB 60，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路 PA 送药较近，而另一侧的点沿道路 PB 送药较近，请说明这一界线是一 条什么曲线？并求出其方程解：灾民区 ABCD 中的点可分为三 类，第一类沿道路 PA 送药较近，第二类沿道路 PB 送药较近，第三类沿道路 PA，PB 送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹设 M 为界线上的任意一点，则有 PAMAPBMB，即 MAMBPBPA50(定值)界线为以 A，B 为焦点的双曲线的右支的一部分如图所示来源:以 AB 所在直线 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2a25，2cAB 50 ，1002 1502 2100150cos60 7c25 ，b 2c 2a 23750，7双曲线方程为 1，因为 C 的坐标为(25 ，60) ，所以 y 的最大值为 60，此时x2625 y23750 7x35.因此界线的曲线方程为 1(25x35， y0) 来源:学科网x2625
