1、第三章 微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理及其应用1 学习指导1. 基本要求 掌握罗尔定理、拉格朗日定理，理解柯西定理，了解泰勒定理；会用中值定理的结论解决一些问题，如证明方程根的存在性、证明不等式等。 掌握函数 的麦克劳林公式，会用泰ax xe1,ln,cosi,勒公式做近似计算和估计误差。 掌握洛必达法则的条件和结论，熟练运用洛必达法则求未定式的极限。2. 重点与难点重点：罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则。难点：中值定理的证明和应用，特殊类型未定式极限的求法。3. 学习方法 微分中值定理揭示了函数与其导数之间的内在联系，它们是利用导数研究函数的理论根据，其中拉格朗日定理为核心，罗尔
2、定理是它的特殊情形，而柯西定理与泰勒定理是它的不同形式的推广。 四个中值定理具有以下共性： 建立了函数在一个区间上的增量（整体性）与函数在该区间内某点处的导数（局部性）之间的联系，从而使导数成为研究函数性态的工具。 它们都只是中值 的存在性定理且定理本身未提供 在区间 内的准确位置，而仅显示 介于区间的两个端点 与 之间，注意不ab能将中值理解为区间的中点 。一般来讲，除了较简单的函数能2ba求出中值 的精确值外，通常 的值很难确定，但它的存在性在理论和实际中仍有广泛的应用。 中值定理的条件都是充分而非必要的。这就是说，当条件满足时，结论一定成立；但当条件不满足时，结论也可能成立。 如果用条件
3、 “ 在 上可导” 去代替条件“ 在xfba, xf内可导” ，定理的结论仍然成立，但适用范围将相应缩小，如ba,在 上满足罗尔定理条件，故存在 ，21xf1, 1,0，但 在 都不存在。02 xf1 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理具有相同的几何意义：对于 内处处有非铅直切线的曲线 来说，其ba, xfy上至少有一点处的切线与联结两个端点 与 的弦afA,bB,平行。AB 通常称拉格朗日中值定理的结论为拉格朗日中值公式，常用的拉格朗日中值公式有下列形式： （ 介于 与 之间） ；abff ab （ 介于 与 之间） ；f ；abf 10 （ 介于 与 之间） ；xfx x ；xx
4、fxf 10x ；hfh （ 介于 与 之间） 。12 xf1x2其中 是 内任意两点且 .21,bahxba, 21x 求函数 的泰勒公式有两种方法：f直接法：求出函数在 处的各阶导数0x及 ，代入公式即00,fxfxf n 001xfn1得。间接法：利用已知函数的麦克劳林公式，通过四则运算、复合运算或变量代换等，得所求函数的泰勒公式。几个常用的初等函数的麦克劳林公式为： 121253 !cos!sin nnnxxxx 0 21242 !i!1co nnn 12!nxnx ee 0 11321ln nnnxx 0 12 1!1!11 nanxaxaxax 为实数） ，这里，余项,0为柯西型余
5、项。11!nnnxfxR 求未定式极限的洛必达法则是柯西中值定理的一个应用，它是求极限的一个重要方法，应注意只有“ ”型、 “ ”型的极限才0可以直接用洛必达法则，而对“ ”型等其他未定式极限，必须通过通分、取对数等变形方法将其转化为“ ”型或“ ”型后，才能使用洛必达法则。 中值定理的应用非常广泛，有关中值定理的计算题与证明题是其重要的组成部分，掌握这方面的解题方法和技巧是高等数学的基本要求，中值定理的主要应用为： 求极限与中值定理有关的求极限的方法主要有：利用洛必达法则求未定式的极限；当极限式中出现 的增量形式时，可考虑利用拉格xf朗日中值公式；利用麦克劳林公式 .在利用麦nknkxff0
6、!0克劳林公式求极限时，一般要用到如下的性质：当 时，有，nmnxx00m；0, 研究函数或导数的性态由于微分中值定理都是以某种形式表示函数与导数之间的联系，所以它们是由函数性质去研究导数性质或是由导数性质去研究函数性质的理论依据，如利用拉格朗日中值定理研究函数的单调性（见3.2 节）等。 证明恒等式设 在区间 上可导， C 是任意常数，则在 上有xf0xfCxf由此便可证明恒等式，方法是构造函数 ，将欲证等式表为，求 得 ，从而知 是常数，此常数恒等于它在0xfxf 0f xf上的任一函数值，故任取 ，计算 ，便得 ，从而x00xfC.0xf有时为求导数简便，也可利用结论 xgfCxgf 进
7、行证明，其中 在上可导且 C 为常数。xgf, 证明不等式将中值定理结论所得等式的一端放大或缩小，便得到不等式，一般地，将欲证不等式经过简单变形，如果不等式一端形如，可利用拉格朗日定理；如果不等式一端形如 ，abf agbf可利用柯西定理；如果不等式中有一部分是 次多项式，或题设条n件中函数具有二阶或二阶以上的导数且最高阶导数有界或大小可知，可利用泰勒定理证明。 证明方程根的存在性或惟一性微分中值定理的共同特点之一，就是指出在某个区间内至少有一点 ，使某个等式成立，这就为判断方程根的存在性提供了理x论依据，特别是罗尔定理的结论，换种说法就是，某个方程在指定区间内至少有一个实根，因此它在判别方程
8、根的存在性问题中应用最多。一般地，研究含有导数的方程在某区间上存在实根，如果方程中仅含有一阶导数，常用罗尔定理，有时也用拉格朗日定理或柯西定理；如果方程中有二阶及二阶以上的导数，则用罗尔定理或泰勒定理。研究方程根的惟一性，一般是利用函数的单调性讨论，有时也利用中值定理采用反证法讨论。 讨论中值的存在性讨论中值存在性的一般方法是：先用逆向分析法寻求辅助函数，再验证该辅助函数满足某个微分中值定理的条件，从而由该定理结论导出欲证结果。通常，能用拉格朗日定理或柯西定理证明的命题，也可以用罗尔定理证明。证题时选用哪种方法，以简便为原则。 利用泰勒公式或麦克劳林公式做近似计算或误差估计。 利用辅助函数是求
9、解数学证明题的一个重要方法，难点是构造辅助函数。构造辅助函数的基本思想是，从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。辅助函数不是惟一的，证题时只要找到一个即可，证明与微分中值定理有关的命题，做辅助函数的常用方法有以下两种。原函数法：用原函数法做辅助函数的一般步骤为，将欲证结论中的 换为 ，通过恒等变形将结论化为某函数的微分形式并且用x表示，观察或求不定积分（第 4 章内容）得 的一个原函0f xf数 ，使 ，如果 已满足要求，则 为所找辅助函xFxf xFF数；如果 不满足题设要求，则对 作恒等变形直至所做函数满足要求。常数 值法：这种方法适用于常数可分离出的
10、命题，构造辅助k函数的步骤为： 将常数部分令为 .k 做恒等变形，使等式一端为 及 构成的代数式，另一端af为 及 构成的代数式。bf 分析所得表达式是否为关于端点 与 的对称afA,bfB,式或轮换对称式。若是，则换 （或 ）为 ， （或 ）为 ，abxxf于是变换后的表达式即为所寻求的辅助函数。3 解题指导1. 求极限例 1 求下列极限： ； ； 1lnim1xx xxlnsilm0 xxln1arct2lim； ； ； .xx2tanlixxe10li201tanlixx分析 洛必达法则是求未定式极限的一种常用方法，但必须注意使用的条件，且当条件满足时可连续使用。解 这是“ ”型的极限，
11、求解方法是通分或有理化因式将其化为“ ”型或“ ”型极限后用洛必达法则。对本题，通0分后化为“ ”型可两次使用洛必达法则。xxxxx 1lniml1li1lnim11 .2lilni11 xx 这是 “ ”型的极限，求这类极限的方法是将部分函数取0倒数变形为“ ”型或“ ”型极限后用洛必达法则，变形时应注0意对函数求导数时运算相对简便。对本题，将 取倒数变形为“xsin”型计算。xxxx cots1limcsnlisinlm000 .0lioli 2020 xx 这是 “ ”型极限，利用对数性质有 ，0 xuvxvxxeulnlimli问题归结为求“ ”型极限。本题变形后为“ ”型极限，则 x
12、xxxx arctn2ln1limeparctn2liml1xxx 1arctn2lie2（“ ”型）xrta1limep2 0221liexpxx.21limex 这是“ ”型极限，与 同理可将问题归结为求 “ ”0 0型极限。 xx2tanlim xxxx 21tanlimeptanl2liep2xxxx 2sinlmep21tanseclimp 22 .1cos4liexp02ex 这是“ ”型极限，这类极限除了利用重要极限1求解外，也可由 归结为“ ”型极限exx1limxuvxeuln0求解。exexxx ln1limp1li 010lli0xxxxx 21limep1lnimep0
13、20.2102lieexx这是“ ”型极限，通分得，xxx 2020 tanlim1tanli 是“ ”型极限，将分子分解因式并对分母利用等价无穷小代换后0再用洛必达法则计算较简便。此时原式 30040 tanlimtalitantlimxxxxx xxxx 2020 cos1lim3sec1li .3inl41sliosli302020 xxx说明 将洛必达法则与求极限的其他方法（特别是等价无穷小）联合使用，常可以简化计算。一般，如果表达式中某些因式的极限是确定的，可将这些因式分离出来单独求极限，而对余下的未定式部分使用洛必达法则。例 2 求下列极限： ； ；1arctnrtlimn0axx
14、e10lnim ； .xextos1il0 xxli2分析 除利用洛必达法则求未定式的极限外，拉格朗日公式与麦克劳林公式也是常用的方法。解 这是 “ ”型极限，注意到 是函数01arctnrt在区间 上两个端点值之差，且 在axxfrctn)(1,n 2)()(xf区间 上存在，从而由拉格朗日定理有)1,，)1(1arctnrt 2na其中 .当 时 ，所以n10原式= 1arctnrtlim2 1lim22nan.221)(lin20li这是“ ”极限，由对数性质，有1原式= .)ln()l(n1lim0xexex于是对 在区间 或 上应用拉格朗日定理ttfl)(, ,xe可得，ln2)(l
15、n1)l(n)l( xexxexe 其中 介于 与 之间，当 时 ，从而0，exexe ex 2ln1im2lni)ln()l(n1lim00 所以 原式 .e2这是“ ”型极限，注意到表达式中有一部分是二次多项式0，故用麦克劳林公式计算。因为 时 ，x2 0x21cos,tanxx而， ，)(!31213xoxex )(!31sin3xx于是 )(!12sinoo，3xx所以 .extancos1ilm0 3221)(lim320 xxx这是“ ”型极限，因为xx1lnli2 x1lnli22/1llimxx，20nlitt)1(xt令而 ，所以)(2)1ln(tot原式 .201lnimt
16、t21)(li20tott2. 正确理解微分中值定理例 3 解下列各题： 验证罗尔定理对函数 在区间 上的正确性；xfsin)(,验证拉格朗日定理对函数1,2)(xxf在区间 上的正确性；2,0 验证柯西定理对函数 及 在区间xfsin)(xFcos)(上的正确性。2,解题思路 验证中值定理正确与否，其解题步骤为：先验证所论定理的条件是否全部满足；当条件满足时，再求出定理结论中的值。解 显然， 在区间 上满足罗尔定理的三个条xfsin)(,件，因此由罗尔定理，应至少有一点 ，使 成)(0cos)(f立。由 ，得 .当 时有 ，0cos)(xf 2n),210(1n21当 时有 ，显然 ， 都在
17、 内，由此可知罗尔定理正0n21,确。 由初等函数的可导性，可知 在 及 内可导，又)(xf)1,),(由导数定义有，1)(lim)1(xffx2lim1)(li 3121xxx，li1ffx )(li)(li121xx所以 ，故 在 可导，从而 在 上可导，即2)(f)(f),)f2,0在 上满足拉格朗日定理条件，于是应存在 ，使x,0 )(成立。因为 ， 2)()(ff 8724102)(）（f,1,0,)(3xxf所以，由 得 ，由 得 ，而 与872618723x3298167都在 内，故拉格朗日定理正确。329),0(显然， 与 在 上连续，在 内可xfsinFcos)(2,0）（
18、2,0导，且 在 内不为 0，由柯西定理，应至少存在一F1)( ）（ 2,点 使 ，即 成立。令 ，）（ 2,0)()(Ffff2sin1cotx2三角方程 变为 ，即 ，从而2sin1coxcsitt.2tan因为 ，所以存在 使 ，即 满足00t420t20t，故存在 使 满足方程 ，所ta02xxsin1cox以存在 在 内，即柯西定理正确。0x）（ ,例 4 当 时，试证： ，其中 且x)(xxe1)(0.21)(lim0x分析 移项可得 ，易知，等式左边为函数 在)(1xxe tef)(上的增量形式，而右边与 有关，故利用拉格朗日定理证明。,x证明 令 ，则当 时 在区间 上满足拉格
19、朗日tef)(0x)(tf,0x定理条件，因此有（ ） ，)()()0(xxfxf 1)(x即 （ ） ，)(1xe1从而 （ ）.)(x )(0x由上式解得 ，即exx)(，xe1ln)(故 xex1lnim)(li00)“0(型20liexx.1li1li020xex例 5 当 时，求函数 的 阶泰勒公式。10f)(n分析 求 的 阶泰勒公式，有直接法与间接法两种方法。对)(xfn本题用直接法应先求 的直到 阶的导数，用间接法则需利xef1用 的 阶麦克劳林公式。xen解 方法 1（直接法）由 易知，xef)(，xe)1(，xxxeef )2()1()(，xnexf)()(，1)1(于是
20、代入泰勒公,2)1(,)(eff ,)(enf ,)()( enfn式，得 nx xx1!2312（ 介于 1 与 之间） 。1)()(nne这是具有拉格朗日型余项的 阶泰勒公式。方法 2（间接法） 由 得)(!10nnkxxoe，1xxe )()(!0nnk从而 xxeef)1()()1()(!1)(! 00 nnkknkk xoeo)1()(!01nnkxxe+ .)()(!0nkx因为 + = ，)1(nonon+nkkxe0!kxe0)1(!= 12 )(!)(!)()1( nnxex nxee 11!212 )(!)1(!)1(!3)(2 nnxexxee.o所以.)1()(!1)1
21、(!23)(2 nnx xexee 这是具有佩亚诺余项的 阶泰勒公式。n3. 研究函数的性质例 6 设 在 上连续，在 内可导且 ，对任意)(xf1,0)1,0(0)(f有 ，则在 上恒有 .1,0(xf xf分析 由 在 上连续可知， 在 上有界，且由已知)(x,)(,有 ，故对 在 上用拉格朗日定理建立函数与)(xf0f)(xf,0导数的联系，再用已知不等式进行估值。证明 在区间 上任取一点 ，则 在 上满足拉格朗日1,(x)(f,0x定理条件，故存在 使)0x,)(0(xff所以)()()()( 111fxffxf ).1x又 在 上也满足拉格朗日定理条件，故,0121)(0)(ff).
22、0(12x于是 ，)ff则 .()()(21xfx继续下去可得)()(121nfxf ).10(1xn.)(1nf因为 ，且由 在 上连续知 有界，所以0lim1nx,0)(1nf，由夹逼准则知)(nnf .)(xf4. 证明不等式例 7 证明：当 时，成立不等式0x.1)ln(1x分析 注意到 时 ，则对 在区间xlntfln)(上有1,x.l)1ln()1( xxff故利用拉格朗日定理证明。证明 令 ，则 在 上满足拉格朗日定理tfln)()(tf1,x)0(条件，从而有，)1)()1( xfxf )0(x即 .lnl因为 ，所以 ，代入上式得x10x1，ln)l(即 11xx)0(说明
23、利用拉格朗日定理证明不等式的一般步骤为： 选取适当的函数 及相应的区间)(f .,ba 验证函数 满足拉格朗日定理的条件，并应用定理结论得xf等式（ 介于 与 之间） 。)()(abfafbab 对 作相应的放大或缩小，得欲证不等式。)(f例 8 设 且在 上 单调递减，证明对任意 ，0),)(xf 0a，成立不等式 0b(bfabf分析 不妨设 ，由题设 ，只要证明不等式0)(成立，于是对 在区间 及 上分)0()(fabfaf xf,a,b别应用拉格朗日定理。证明 不妨设 ，由题设 在区间 与 上满足b)(xf,0,拉格朗日定理条件，所以存在 及 ，使得,01a)2ba，)()(faf2b
24、成立，从而有 ， .因为 ，所以)(1faf )()(2faffba0.又因为 单调递减，从而 ，于是21)xf 1f，afb)()(再由 得 .0a)()(bfabf例 9 设 在 内二阶可导且 ，证明：对于 内x, 0)(xf ),(ba任意两点 及 ，有21,1t.)()1()( 212xtffttxf 分析 设 ，由条件可知 ，于是 在 具10tx,0ba)(xf0有一阶泰勒公式，由此证明结论。证明 设 ，则 ，且 在 处的一阶泰勒210)(txx),(0)(xf0公式为（ 介于 与 之间） 。2000 )(!)()( xfxfxf 0x因为 ，所以 ，从而 ).()(00xfxf对任
25、意 ，有21,x),(ba),()(01001 xfxff )1.3(.22 2用 乘 式加上 乘 式，整理化简便有t1).3(t).3()()1(1 2102 xtfftxftxf 5. 证明等式例 10 证明：当 时，x .41arcos2arctn2xx分析 令 当 时只要 ，.s1arct)( f 0)(xf便有 .注意到 且 ，所以有Cxf)(0)(lim1fx.)1(lim1fx证明 令 当 时有.412arcosarctnxx1)()(12)( 22xf2222 )1(44)(xxx，)(1222 0)1(22所以 .因为 在 时连续，从而Cxf)()(xf041arcos2ar
26、ctnlimli 211 xxxx故 即xf)( .4os2arctn6. 讨论中值的存在性例 11 设函数 在 上二阶可导且)(xf2,1 ,0)2(1f，则在 内至少存在一点 ，使 .)(1()2fxF），（ F分析 证明 ，等价于证明 的导数 有零点，故0)F)(x)(x只要验证 在相应区间满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可证)(x明。证明 由题设可知， 在 上可导，)(1)(12)( xfxfxF 2,从而 在 上连续，在 内可导且 ，但 与)(xF2,1），（ 0F)1(f是否相等未知。注意到 ，且 在 上连续，在)()(x,内可导，故 在 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理可知，），
27、（ 21)(x,存在 使 ，即 .于是），（0F 0)(1()1(2)2 ff在区间 上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理可知，存在)(xF,1，使 .,)2()(例 12 设 与 都在 上连续，在 内可导，且 =xfg,ba),(ba)(af，证明：存在 ，使)(bf0)(.0)(gff分析 以本题为例，说明用原函数法构造辅助函数的步骤如下：换 为 ，问题为证明方程 在 内有实根。x 0)()(xgfxf ),(ba令 ，只要寻找一个函数 ，使 在 上)(F )(gff Fx,满足罗尔定理条件。将方程变形得 ，易知它等价于)()(xgf即 ，于是有 ，检验0)(lnxgfd 0)(lnxgf
28、1)(lnCxgf可知 不满足罗尔定理条件。将等式变形得 ，经检验 也不满)()(xgCef)1C)()(xgef足罗尔定理条件。再变形得 ，检验可知 满足f)( )(f罗尔定理三个条件且 ，因为 ，故方)()()( xgfxexg0)(xge程 与 是同解方程。于是可取 为所做辅助0)(x)(F )(fF函数。证明 作辅助函数 ，由条件易知 ，)()(xfeFg0)(bFa且 ，故 在 上连续，在 内可导，)()()( xfxfexFg ,ba,由罗尔定理可知，存在 ，使 .因),(ba )()()()( gffeg为 ，所以必有0)(ge.0)()(gff例 13 设函数 在 上连续，在
29、内可导且 ，试x,ba),(ba0)(xf证：存在 ，使),(,ba.eabf)(解题思路 对于含有两个或两个以上中值的验证问题，常需要使用两次或两次以上中值定理。证题的一般步骤为：将欲证等式变形，使含不同中值的表达式各在等式一边。从表达式中易于应用中值公式的一端出发，应用一次中值定理，使所证等式化为只含一个中值的等式。作辅助函数再一次使用中值公式。对本题，将所证等式变形为,abefef)()(观察易知，左端是柯西定理中函数 与 在区间 上的中值部xfx,ba分，故先对左端用柯西定理讨论。证明 显然， 与 在区间 上满足柯西定理条件，)(xfxeg,于是由柯西定理可知，存在 使),(baefe
30、f()3.(由条件又知， 在 也满足拉格朗日定理条件，于是存在)(xf,，使 ，代入 式即得),(ba )(abaf)3.(abefef由 知 ，综上可得，存在 ，使0)(xf)(f ),(,b.eabf)(7. 研究方程根的存在性例 14 设函数 ，试确定方程 实)13(2)1()xxf 0)(xf根的个数。分析 显然 有 4 个零点，注意到 是四次多项式故)(xf )(xf是三次多项式，因此只要利用罗尔定理及多项式的性质讨论)(xf的实根个数而不需要求 .0)(xf解 显然函数 在 可导，且易知 有 4 个零点f,)(xf， ， ， ，故 在区间 ， ，1x203x14)(xf21,0,上
31、满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知，至少存在 ，3,0 )21(1， ，使 ，即 至少有 3 个),(2)31,( 0)()(321fff )xf零点。又因为 是四次多项式，所以 是三次多项式，故 至)(xf )(xf )(xf多有 3 个零点。综上可得，方程 恰有 3 个实根。0)(xf例 15 设函数 在 上可导，且 ， ，试证：1e， 0)1(f1)(ef方程 在 内至少有一个实根。xf1)(),(e分析 显然方程 可表示为 ，于是可xf)( ln)(xfxF对函数 在 上应用罗尔定理。fFln)(1e，证明 作函数 ，则 在区间 上连续，在fFln)()(x1e，内可导，且由 及 有),
32、1(e0)(fe， 1l 0ln)(ef所以 在区间 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知，至少)(xFe，存在一点 ，使),1，01)(ln)( fxf即 是方程 的一个根。xxf1例 16 设 在 可导，且当 时 ，证明：当)(),00x1)(xf时，方程 在区间 内有且仅有一个实根。0)(f xf )(,f解题思路 方程有惟一实根的证明步骤为：用零点定理或罗尔定理证明方程至少有一个实根。用单调性或反证法证明方程至多有一个实根。对本题，由于题设中已有条件 ，且 在 连续，0)(f)(xf)0(,f故若有 ，则由零点定理可证得实根存在。注意到0)(f，由此可得 单调减少，且利用拉格朗日定理易得
33、1)(xf )(xf.0)(f证明 由 在 可导易知， 在区间 连续，在)(xf),0)(xf)0(,f可导，即 在 上满足拉格朗日定理的条件，因此存）（ )(,f (f在 ，使）（ 0,.)(0)(ff由于 时 ， ，所以有0x1)(xf，)(ff0)(1ff从而 ，由零点定理知，方程 在区间 内至)(ff x)0(,f少有一个实根。又由 ，对任意 且 ，由拉格朗日定理知，01)(xf 0,21x21x存在 ，使,21，)()(1212xfxff即 .这表明 在 单调递减，从而在区间 也)(12xff,0)0(,f单调减少，故方程 在 至多有一个实根。)(xf)(f综上可得，方程 在区间 内
34、有且仅有一个实根。)0,f8. 错题分析例 17 下列极限是否存在，若存在，计算其值。 ； ；xxsinlimxxelim .)2(li12nna)10(a且错解 这是“ ”型极限，由洛必达法则有.）（ xxxx cos1limsnli由于 不存在，故 不存在。xxcoslim 这是“ ”型极限，由洛必达法则有，xxelimxeli xelim产生循环，故极限不存在。这是“ ”型极限，取倒数化为“ ”型后利用洛必达法则0 0得 =)2(lim12nna21/limnan32121/)(linnann/1lim2.nn2l)(li分析 洛必达法则是求未定式极限的一种好方法，但使用时必须注意条件，
35、当条件不满足时，应考虑选用其他方法。对题，由不存在，不能推出 不存在；对题，由循环式也xxcoslimxxsinlim不能断言原极限不存在；对题，由于数列没有导数，所以不能直接用洛必达法则，但可借助于函数极限与数列极限的关系，先对用洛必达法则，进而得 .)(lixfx)(linf正解 = .因为 ， ，所以xxsinlims1xx01limx1sinx由无穷小量性质有 ，所以 .0li xxeli .11li2xe考察 ，为此令 ，则)2(lim12xxaxt1)(li12xxa20litattt taattt2lnlim0，tttt0li2nttt 20l)l(iln由数列极限与函数极限的关
36、系得.aann212l)(lim3.2 导数的应用1 学习指导1.基本要求理解函数的单调性、极值、最大值和最小值的概念，理解曲线的凹凸性和拐点的概念。熟练掌握求函数的单调区间和极值的方法，掌握判断函数的单调增减性与函数图形凹凸性的方法，会求函数图形的拐点。掌握求函数最大值和最小值的方法，并会求实际问题的最大值或最小值。了解渐近线概念，会求曲线的渐近线，会描绘函数的图形。理解弧微分概念，会求光滑曲线的弧微分。知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。知道求方程近似解的二分法和切线法。2.重点与难点重点 用一阶导数研究函数的单调性和极值；用二阶导数研究函数图形的凹凸性；求实际问题的最大值或最
37、小值。难点 求实际问题的最大值或最小值，函数作图。3.学习方法导数应用中最主要的是利用一阶导数研究函数的单调性和极值，用二阶导数研究函数图形的凹凸性和拐点，研究方法的共性是寻找一阶导数和二阶导数的同号区间，即在 的定义域中分别求xf出 和 的点及使 和 不存在的点，用这些点将0xfxf xff的定义域分成若干个小区间，再用 和 在各个小区间上 xf的符号确定函数的单调区间和凹凸区间，且函数单调增减区间的分界点 是极值点，而凹凸区间的分界点 是拐点的横坐标。为简单0x 0x明了，通常将上述研究过程列表进行。极值问题的实质是判别极值的可疑点是否为极值点，一般用第一充分条件判断。应正确理解可导函数的
38、驻点与极值点的区别与联系，即极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。判断驻点是否为极值点时，若在此点二阶导数存在且不为零，常用第二充分条件。求函数 极值的步骤如下：xf确定函数的定义域。求出导数 ，令 解方程得驻点，再求出使 不存xf 0xf xf在的点，得到极值的所有可疑点。用充分条件判断可疑点是否为极值点。计算极值点处的函数值得到极值。函数的最值（最大值和最小值）与极值是两个不同的概念，最值是区间上的整体概念，极值是区间内的局部概念，因此极值仅在函数的定义区间内取得，而最值可在极值可疑点和区间端点处取得。求闭区间上连续函数最值的一般步骤为：求出区间内的所有极值可疑点。计算可疑点处的函数值和
39、区间端点的函数值。比较上述函数值的大小，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值。特别，如果函数在某区间仅有惟一极值点，则当它为极大（小）值点时，函数在该点取得最大（小）值。求实际问题的最值，关键是先建立一个与所求最值有关的目标函数，通常是将要求最值设为目标函数，并由实际问题确定函数的定义区间，然后求该函数在相应区间上的最值，如果由实际问题可以确定所求最值必在区间内部取得且在区间内仅有一个极值可疑点，则可直接判定该可疑点必为所求最值点。有时为了简化计算，可将复杂函数的最值问题转化为求简单函数的最值问题，如将求或 的最值问题，转化为求 或bxfybxfy 2bxfu的最值问题，因为它们具有
40、相同的最值点而后者运算简便。u求曲线 拐点的步骤为：xfy求函数 的定义域。求拐点可疑点的横坐标，即先求 ，再解出 和xf 0xf不存在的点。xf用拐点的判别法进行判断，即若 是拐点可疑点的横坐标，0x当 在 左右两侧变号时，则 是拐点。xf0 ,f用导数研究函数的性态集中反映在函数作图问题上，抓住函数的特点，就能比较准确地描绘函数的图形，作函数图形的一般步骤为：求函数的定义域，判断函数是否具有奇偶性与周期性。求函数的一阶导数与二阶导数，并求出极值可疑点和拐点可疑点的横坐标，用这些点将定义域分成若干个小区间。列表判断每个小区间上一阶导数和二阶导数的符号，确定函数的单调区间、极值、凹凸区间、拐点
41、。若有渐近线，求出渐近线。必要时，计算出曲线上的几个特殊点，然后描点作图，画出函数的图形。平面曲线曲率的计算公式，不仅适用于直角坐标系下曲线的曲率计算，也适用于参数方程及极坐标系下曲线的曲率计算，但应注意将公式中的一阶导数和二阶导数用相应的变量进行转换。导数的主要应用有：求曲线的切线方程及法线方程（第 2 章内容） 。求函数的极值与最值及求应用问题的最值。研究函数的单调增减性与曲线的凹凸性，并求曲线的拐点。描绘函数的图形。求曲线的曲率及曲率半径。利用单调性确定方程实根的个数及根的存在区间，判定方程根的惟一性。利用二分法或切线法求方程的近似根。证明等式或者不等式，关键是正确选择辅助函数。3. 解题指导1.研究函数的性态例 1 描绘函数 的图形。xey分析 描绘函数的图形，需讨论函数的各种性态，如对称性、单调性、凹凸性、极值、拐点、渐近线等。本题函数的表达式中含有绝对值符号，故需去掉绝对值符号将其化为分段函数后进行讨论。解 设 ，则定义域为 ，且xeyxf)( ),(0,)(xeyf因为 ，1lim)(li)0( 0 xff xxli)(li)( 00 eff xxx所以 不存在，从而)0(f.0,)1()xexfx不 存 在 ，同理
