1、第二章 平 面 向 量 1 从位移、速度、力到向量11 位移、速度和力12 向量的概念, )1问题导航(1)“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这一说法对吗？(2)零向量没有方向是否正确？单位向量都相等吗？(3)两个向量能比较大小吗？2例题导读P75 例通过本例学习，巩固相等向量、共线向量的概念，学会从已知图形中找出与指定向量相等或共线的向量试一试：教材 P75 习题 21 T 4 你会吗？1向量的定义既有大小，又有方向的量统称为向量注意：向量与数量的区别在于数量没有方向，而向量有方向2向量的表示方法3向量的长度(模)| |(或|a|)表示向量 (或 a)的大小，即长度( 也称模)且|a|
2、0.AB AB 4与向量有关的概念零向量 长度为零的向量称为零向量，记作 0，且方向不定，0 与任一向量平行单位向量长度为单位 1 的向量叫作单位向量，与向量 a 同方向的单位向量叫作 a 方向上的单位向量，记作 a0，且|a 0| 1相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a 与 b 相等，记作 ab(注：相等向量一定是共线向量)平行(共线)向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线a 与 b 平行或共线，记作 ab零向量与任一向量平行(注：共线向量不一定是相等向量)1判断正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)大小相等的两个向量是共线向量( )
3、(2)向量的模是一个实数( )(3)若 ab，则 a 与 b 的方向一定相同或相反( )解析：(1)错误方向相同或相反的非零向量才是共线向量(2)正确(3)错误当 a 或 b 不为零向量时，若 a b，则 a 与 b 的方向一定相同或相反；当a，b 中至少有一个是零向量时，该说法不成立答案：(1) (2) (3) 2下列各量：密度；浮力；温度；拉力，其中是向量的有( )A BC D解析：选 C.由向量的概念可知浮力和拉力是向量，密度与温度是数量3.如图， ，AC 与 BD 相交于点 O，则下列各选项中是相等向量的是( )AB DC A. 与 B. 与AD CB OA OC C. 与 D 与AC
4、 DB DO OB 解析：选 D.因为 ，AB DC 所以四边形 ABCD 为平行四边形所以 AC 与 BD 的交点 O 为 BD 的中点，所以 .DO OB 4如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形，则与 相等的向量有_，ED 与 共线的向量有_AB 解析：在平行四边形 ABCD 和 ABDE 中，因为 ， ，所以与 相等的AB ED AB DC ED 向量为 ， ；由图知与向量 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .AB DC AB BA ED DE CD DC EC CE 答案： ， ， ， ， ， ， ，AB DC BA ED DE CD DC EC CE 1向量与数量
5、的区别和联系向量 数量方向 有 无表示方法 可以用有向线段表示，也可以用字 母符号表示因为实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示区别实例 位移、力、速度、加速度 年龄、身高、长度、面积、体积、 质量、功联系 (1)向量与数量都是有大小的量 (2)向量的模是数量2向量与有向线段的区别(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段3共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向
6、量4注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆向量的概念 给出下列命题：若|a| |b|，则 ab 或 a b；向量的模一定是正数；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量其中正确命题的序号是_(链接教材 P75 练习 T2)解析 错误由|a| b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系错误.0 的模|0| 0.正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的答案 方法归纳(1)向量中相关概念的区别单位向量、零向量是用向量的长度来定义的零向量方向不确定，不是没有方向，而是任意方向
7、；向量中平行和共线是一个概念，向量可以平移，任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上；共线向量是用基线的平行或重合来定义的，相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，区别在于相等向量的模和方向均相同，而共线向量的模的大小关系不确定，方向相同还是相反也不确定(2)要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键1(1)在下列说法中，正确的是( )A两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B模为 0 的向量与任一非零向量平行C向量就是有向线段D两个有公共终点的向量一定是共线向量(2)下列各组是不是向量，如果是向量，说明这些向量之间有什么关系？两个
8、三角形的面积；桌面上两个物体各自受到的重力；小船驶向对岸的速度与水流速度解：(1)选 B.在选项 A 中，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点也未必相同；在选项 C 中，向量与有向线段是两个不同的概念；在选项 D 中，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线(2)面积只有大小，没有方向，故不是向量重力既有大小又有方向，故是向量，并且两向量方向相同，所以为共线向量速度既有大小，又有方向，故是向量因为两向量方向既不相同也不相反，故不是共线向量向量的表示 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1) ，使| |4 ，点 A 在点 O 北偏东 45处；OA
9、 OA 2(2) ，使| |4，点 B 在点 A 正东处；AB AB (3) ，使| |6，点 C 在点 B 北偏东 30处BC BC (链接教材 P75 练习 T1，T 3)解 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45处，所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等又| |4 ，小方格边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数OA 2与纵向小方格数都为 4，于是点 A 位置可以确定，画出向量 如图所示OA (2)由于点 B 在点 A 正东方向处，且| |4，所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方AB 格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可以确定，画出
10、向量 如图所示AB (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30处，且| |6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点 CBC 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方格数为 3 5.2，于是点 C 位置可以确定，画出向3量 如图所示BC 方法归纳用有向线段表示向量的步骤及注意事项(1)用有向线段表示向量的步骤(2)注意事项有向线段书写时要注意起点和终点的不同，字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头2(1)如图的方格由若干个边长为 1 的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点 A，点 C 为小正方形的顶点，且| | ，画出所有的向量 .AC 5 AC (2)在直角坐标系 xOy 中，用有向线段表示下列向量：|
11、 | 4，AOx60，AOy 30；OA | | 3，BOx30，BOy 120.OB (3)一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 千米到达 B 点，然后又改变方向向西偏北50走了 200 千米到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 千米到达 D 点作出向量 ， ， ；AB BC CD 求| |.AD 解：(1)画出所有的向量 ，如图所示AC (2)所求向量如图所示(3)如图所示：由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，即 ABCD.AB CD AB CD 又| | | |，AB CD 所以四边形 ABCD 为平行四边形，所以| | |200(千米)AD BC 共线向量与相等向
12、量(1)如图所示，已知 AD3， B，C 是线段 AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于 1 的向量的个数为( )A3 B4C5 D6(2)如图，O 是正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：与 ， 相等的向量；DO CO 与 共线的向量DO (链接教材 P75 例 )解 (1)选 D.根据题意可得：模等于 2 的向量有 ， ， ， ，模等于 3 的向量有AC CA BD DB ， .故图中长度大于 1 的向量共有 6 个AD DA (2) ， .DO CF CO DE 与 共线的向量为： ， ， .DO CF B
13、O AE 本例(2)中条件不变，写出与 模相等的向量AO 解：与 模相等的向量有： ， ， ， ， ， ， .AO DO CO BO BF CF AE DE 方法归纳相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量(3)非零向量共线具有传递性，即向量 a，b，c 为非零向量，若 a b，bc ，则可推出a c.提醒：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况3(1)如图，在等腰梯形 ABCD 中 与 是共线向量；AB CD ；AB CD .AB CD 以上结论中正确的个数是(
14、 )A0 B1C2 D3(2)给出下列说法：| | | |； 若 a 与 b 方向相反，则 a b；若 ， 是共线向量，则AB BA AB CD A，B ，C ，D 四点共线其中所有正确的序号是_(3)如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且 a， b， c.OA OB OC 与 a 的模相等的向量有多少个？与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？与 a 共线的向量有哪些？请一一列出与 a，b，c 相等的向量解：(1)选 A. 因为 与 的方向不相同，也不相反，所以 与 不共线，即不AB CD AB CD 正确；由可知也不正确；因为两个向量不能比较大小，所以不正确(2) 与 是长度
15、相等，方向相反的向量，故模相等，正确；由共线向量定义知，AB BA 方向相反的向量为共线向量，故正确；共线向量指方向相同或相反的非零向量，向量 ，AB 是共线向量，也可能有 ABCD，故是错误的故填.CD (3)与 a 的模相等的向量有 23 个与 a 的长度相等、方向相反的向量有 ， ， ， .OD BC AO FE 与 a 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， .EF BC OD FE CB DO AO DA AD 与 a 相等的向量有 ， ， ，与 b 相等的向量有 ， ， ，与 c 相等的向量有EF DO CB DC EO FA ， ， .FO ED AB 易错警示 对向量的有
16、关概念理解不准致误给出下列几种说法：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a| |b|，则 ab；若 ，则 ABCD 是平行四边形；AB DC 平行四边形 ABCD 中，一定有 ；AB DC 若 a b，bc，则 a c.其中正确的有_(填所有正确说法的序号 )解析 错误两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同正确错误若 ，则 A，B，C ，D 四个点有可能在同一条直线上所以 ABCD 不AB DC 一定是平行四边形正确平行四边形 ABCD 中，ABDC，ABDC 且有向线段 与 方向相同，AB DC 所以 .AB DC 错误若 a b，bc，b0，则 a 与 c 不一定平行答案 错
17、因与防范 (1)本题发生的错误是对向量的有关概念理解不正确或将向量与有向线段混淆，会对判断错误；混淆向量平行和直线平行，会导致对判断错误；忽视零向量与任意向量平行，会导致对判断失误(2)解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小和方向两个角度分析问题共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量理解时要注意与平面几何中的“共线” “平行”的区别要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点就会出现错误4(1)下列命题中，正确的是( )A|a| 1a1B|a| | b|且 a babCababDa0|a| 0(2)已知圆心为 O 的O 上三点 A，B，C，则向量 ， ， 是( )
18、BO OC OA A有相同起点的相等向量B长度为 1 的向量C模相等的向量D相等的向量解析：(1)选 C.两向量的模相等两向量不一定相等，也不一定方向相同或相反，0 与任一向量平行(2)选 C.圆的半径 r| | | |，不一定为 1，故选 C.BO OC OA 1下列说法正确的是( )A向量可以比较大小B平面直角坐标系中的 x 轴和 y 轴都是向量C有向线段就是向量D体积、面积和时间都不是向量解析：选 D.对于选项 A，向量是既有大小，又有方向的量，可以用有向线段来表示，但不能比较大小，故选项 A 错误；对于选项 B，x 轴和 y 轴只有方向，没有大小，故选项B 错误；对于选项 C，从向量与
19、有向线段的定义知，它们是有区别的，故选项 C 错误；对于选项 D，体积、面积和时间都是只有大小，没有方向的量，故选项 D 正确2如图所示，C，D 是线段 AB 的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为( )A3 B6C8 D12解析：选 B.1 个单位长度的向量有 ， ， ， ， ， 6 个；AC CA CD DC DB BD 2 个单位长度的向量有 ， ， ， 4 个；AD DA CB BC 3 个单位长度的向量有 ， 2 个AB BA 因此，共 64212 个，但其中 ， ， ， ，因此互不相等的向量有 6 个AC CD DB BD DC CA AD CB BC
20、DA 3如图，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交点，从中选取 2 个交点组成向量，则与 平行且长度为 2 的向量个数是_AC 2解析：题图中共有四个边长为 2 的正方形，每个正方形中有符合条件的向量有两个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相同或相反)，故满足条件的向量共有 8 个答案：8, 学生用书单独成册)A.基础达标1下列说法正确的个数是( )零向量没有方向；单位向量的方向任意；长度为 1 cm 的向量是一个单位向量；与一个非零向量共线的单位向量有两个A0 B1C2 D4解析：选 B.零向量的方向任意，不是没有方向，故 不正确；单位向量一旦确
21、定，其方向也是确定的，故不正确；单位向量长度为 1 个单位长度，而 1 cm 不一定等于 1 个单位长度，故不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故正确2如图，D，E，F 分别是 ABC 边 AB，BC，CA 的中点，有下列 4 个结论： ， ； ；AD FE AF DE DF CB | | | |； .CF DE FD BE 其中正确的为( )A BC D解析：选 B.因为 D，E，F 分别为ABC 边 AB，BC ，CA 的中点，所以 EF 綊ABAD ，AF 綊 DE，DFCB ，DE 綊 CF，故正确123已知 A 与 a 共线的向量 ，B 与 a 长度相等的向量，
22、C与 a 长度相等，方向相反的向量，其中 a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )AC A BA B aCC B DAB a解析：选 B.因为 AB 中还含有与 a 方向相反的向量，故 B 错4下列说法正确的是( ) A若|a |b|，则 abB若|a| b|，则 abC若 ab，则 a 与 b 共线D若 ab，则 a 一定不与 b 共线解析：选 C.A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|b|，但 a 与 b 的方向不确定，不能说 ab，A 不正确；同理 B 错误；D 中，ab，a 可与 b 共线故选 C.5把平面内所有长度不小于 1 且不大于 2 的向量的起点平移
23、到同一点 O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )A4 BC2 D3解析：选 D.图形是半径为 1 和 2 的同心圆对应的圆环，故 S 圆环 (2 21 2)3.6已知 A，B ，C 是不共线的三点，向量 m 与向量 是平行向量，与 是共线向量，AB BC 则 m_解析：因为 A，B，C 不共线，所以 与 不共线又因为 m 与 ， 都共线，所AB BC AB BC 以 m0.答案：07若| | |且 ，则四边形 ABCD 的形状是_ AB AD BA CD 解析：在四边形 ABCD 中， ，则 ABCD 为平行四边形，又| | |，所以四BA CD AB AD 边形是菱形答案：菱形8.如
24、图所示，在梯形 ABCD 中，若 E，F 分别为腰 AB，DC 的三等分点，且| |2， | |5，则| |_AD BC EF 解析：过 D 作 DHAB，分别交 EF，BC 于点 G，H，因为| |2，所以 | | |2，AD EG BH 又| | 5，所以| |3，BC HC 又 E，F 分别为腰 AB，DC 的三等分点，所以 G 为 DH 的三等分点，所以 ，GF HC 且| | | |，GF 13HC 所以| |1，所以 | | | |213.GF EF EG GF 答案：39在平面上有一个四边形 ABCD，E，F，G ，H 分别是 AB，BC ，CD，DA 的中点，求证： .EF H
25、G 证明：如图，连接 AC，在 ABC 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以| | | |，且 与 的方向相同EF 12AC EF AC 同理可得| | | |，且 与 方向相同，HG 12AC HG AC 所以| | |且 与 方向相同，所以 .EF HG EF HG EF HG 10如图所示，43 的矩形(每个小方格都是单位正方形) ，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与 相等的向量共有几个？AB (2)与 方向相同且模为 3 的向量共有几个？AB 2解：(1)与向量 相等的向量共有 5 个(不包括 本身) 如图AB AB (2)与向量 方向相同且模为 3 的向量
26、共有 2 个，如图AB 2B.能力提升1.如图，在菱形 ABCD 中，DAB120，则以下说法错误的是( )A与 相等的向量只有一个 (不含 )AB AB B与 的模相等的向量有 9 个(不含 )AB AB C. 的模恰为 模的 倍BD DA 3D. 与 不共线CB DA 解析：选 D.两向量相等要求长度 (模)相等，方向相同两向量共线只要求方向相同或相反D 中 ， 所在直线平行，向量方向相同，故共线CB DA 2给出下列说法：若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相同或相反；若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；AB BA 两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同其
27、中正确说法的个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 C.由单位向量的定义知，凡长度为 1 个单位长度的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故不正确；因为| | |，所以当 是单位向量时， 也是单位AB BA AB BA 向量，故正确；据相等向量的概念知，是正确的3若 A 地位于 B 地正西方向 5 km 处，C 地位于 A 地正北方向 5 km 处，则 C 地相对于 B 地的位移是_解析：据题意画出图形如图所示，由图可知| |5 km，且ABC45，BC 2故 C 地相对于 B 地的位移是西北方向 5 km.2答案：西北方向 5 km24给出下列四个条件：ab；|a| |b|；a 与 b
28、 方向相反； | a|0 或|b| 0，其中能使 ab 成立的条件是_解析：因为 a 与 b 为相等向量，所以 ab，即能够使 a b 成立；由于|a| |b|并没有确定 a 与 b 的方向，即不能够使 a b 成立；因为 a 与 b 方向相反时，a b，即能够使a b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a| 0 或|b| 0 时，a b 能够成立故能使a b 成立的条件是.答案：5.如图，在四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，AD 的中点，且 ，求证： .AB DC CN MA 证明：因为 ，AB DC 所以| | |，且 ，AB DC AB DC 所以四边形 ABCD 为平行四边形，所以 .AD BC 因为 M，N 分别是 BC，AD 的中点，所以| | | |，| | | |，AN 12AD MC 12BC 所以| | |.AN MC 又因为 ，AN MC 所以四边形 AMCN 是平行四边形，所以 ，| | |，CN MA CN MA 且 ， 方向相同，CN MA 所以 .CN MA 6(选做题) 如图是中国象棋的半个棋盘， “马走日”是中国象棋的走法， “马”可以从A 跳到 A1 或 A2，用向量 、 表示“马”走了一步试在图中画出“马”在 B、C 处分AA1 AA2 别走了一步的所有情况解：如图所示，在 B 处有 3 种走法；在 C 处有 8 种走法
