1、2 从位移的合成到向量的加法21 向量的加法, )1问题导航(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2例题导读教材 P77 例 1，例 2，P 78 例 3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题 试一试：教材 P81 习题 22 B 组 T1，T 2，T 3 你会吗？ 1向量加法的定义及运算法则定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法前提 已知向量 a，b，在平面内任取一点 A作法 作 a， b，再作向量AB BC AC 结论向量 叫做 a 与 b 的和，记作 ab，AC 即 ab AB
2、BC AC 三角形法则图形前提 已知不共线的两个向量 a，b，在平面内任取一点 O作法 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作OACB结论 对角线 就是 a 与 b 的和OC 法则平行四边形法则图形规定 零向量与任一向量 a 的和都有 a00aa.2向量加法的运算律交换律 abba运算律结合律 (ab)ca(bc)1判断正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量( )(2)|ab| |a|b| 等号成立的条件是 ab.( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线( )解析：(1)正确根据向量和的定义知该说法正确(2)错误条件应为 ab，且
3、a，b 的方向相同(3)错误当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线答案：(1) (2) (3) 2若 a，b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A若向量 a 与 b 方向相反，且 |a|b|，则向量 ab 与 a 的方向相同B若向量 a 与 b 方向相反，且 |a|b|，则向量 ab 与 a 的方向相同C若向量 a 与 b 方向相同，则向量 ab 与 a 的方向相同D若向量 a 与 b 方向相同，则向量 ab 与 b 的方向相同解析：选 B.因为 a 与 b 方向相反， |a|b|，所以 ab 与 a 的方向相反，故 B 不正确3化简下列各向量：(1) _AB B
4、C (2) _PQ OM QO 解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得：(1) .AB BC AC (2) .PQ OM QO PQ QO OM PO OM PM 答案：(1) (2)AC PM 4在ABC 中， a， b， c，则 abc_AB BC CA 解析：由向量加法的三角形法则，得 ，即 abc 0.AB BC AC AB BC CA 答案：01对向量加法的三角形法则的四点说明(1)适用范围：任意向量(2)注意事项：两个向量一定首尾相连；和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点(3)方法与步骤：第一步，将 b(或 a)平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连；第二
5、步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和也称“首尾相连，连首尾” (4)图示：如图所示2对向量加法的平行四边形法则的四点说明(1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线(2)注意事项：两个非零向量一定要有相同的起点；平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量 a 与 b 的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为 a 与 b 的和(4)图示：如图所示已知向量作和向量 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 abc.(链接教材 P81
6、 习题 22 A 组 T3)解 法一：如图(1)，在平面内作 a， b，则 ab；再作 c ，则OA AB OB BC a bc.OC 法二：如图(2)，在平面内作 a， b，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形OA OB OADB，则 ab；再作 c，以 OD 与 OC 为邻边作平行四边形 ODEC，则OD OC a bc.OE 方法归纳已知向量求作和向量的方法(1)用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和(2)用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就
7、是这两个向量的和1(1)如图所示，已知向量 a 和 b，求作 ab.(2)如图，已知 a，b，c 三个向量，试求作和向量 abc.解：(1)法一：(三角形法则)如图所示在平面上任取一点 O，作 a， b；OA AB 连接 OB，则 ab.OB 法二：(平行四边形法则)如图所示在平面上任取一点 O，作 a， b；OA OB 以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则 ab .OC (2)作出来的和向量如图，首先在平面内任取一点 O，作向量 a，再作向量OA b，则得向量 ab，然后作向量 c ，则向量 即为所求AB OB BC OC 向量的加法运算 (1)下列等式不正确的是( )a(bc)
8、 (ac )b； 0； .AB BA AC DC AB BD A BC D(2)设 A， B，C，D 是平面上任意四点，试化简： ；AB CD BC .DB AC BD CA (链接教材 P81 习题 22A 组 T5(1)(2)解 (1)选 B.由向量的加法满足结合律知正确；因为 0，故不正确；AB BA 成立，故正确DC AB BD AB BD DC AC (2) ( ) .AB CD BC AB BC CD AC CD AD ( )( )000.DB AC BD CA DB BD AC CA 方法归纳向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现
9、恰当利用向量加法法则运算的目的实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连” ，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序2(1)在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A. ， AB CD BC AD B. AD OD DA C. AO OD AC CD D. AB BC CD DA (2)化简下列各式：( )( )_AD MB BC CM _AB DF CD BC FA 解析：(1)因为 ， ，所以 .AO OD AD AC CD AD AO O
10、D AC CD (2)( )( ) 0 .AD MB BC CM AD MB BM AD AD ( )( ) ( )AB DF CD BC FA AB BC DF FA CD AC DA CD AC CD 0.DA AD DA 答案：(1)C (2) 0AD 向量加法的应用 (1)已知图中电线 AO 与天花板的夹角为 60，电线 AO 所受拉力|F 1|24 N；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|12 N，则 F1 与 F2 的合力大小为_N ；方向为_(2)如图是中国象棋的部分棋盘， “马走日”是象棋中“马 ”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从 A 经过 B 再走回到 A 最少需几步
11、？(链接教材 P77 例 1，例 2，P 78 例 3)解 (1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力 F1F 2 .OC 在OAC 中，|F 1|24，| |12，OAC60，所以OCA90，| |12 ，AC OC 3所以 F1 与 F2 的合力大小为 12 N，方向为竖直向上故填 12 和竖直向上3 3(2)如图，如果不从原路返回，那么所走路线为 ABCDA，即 AB BC CD 0，所以最少需四步DA 本例(2)条件不变，若不限步数，那么“ 马”从 A 经过 B 再走回 A 时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从 A 经过 B 再走回 A 时，不论如何走，均需走偶数
12、步，且不少于四步方法归纳向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量(2)应用技巧：准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量； 将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解3(1)若 a 表示向东走 8 km，b 表示向北走 8 km，则|ab|_km，ab 的方向是_(2)如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35的方向飞行 800 km到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55的方向飞行 800 km 送往 C 地医
13、院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和解：(1)设 a， b，则 ab.OA OB OC 又因为| |8 ，| |8，OA OB 所以| | ab| 8 .OC 2又因为AOC45，所以 ab 的方向是北偏东 45.故填 8 和北偏东 45.2(2)设 ， 分别表示飞机从 A 地按北偏东 35的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东AB BC 55的方向飞行 800 km，则飞机飞行的路程指的是| | |；AB BC 两次飞行的位移的和指的是 .AB BC AC 依题意有| | |8008001 600(km)，AB BC 又 35， 55，ABC355590，所以| |AC |AB |2
14、 |BC |2 800 (km)8002 8002 2易错警示 未能正确理解向量加法致误小船以 10 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为310 km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h.解析 如图，设船在静水中的速度为|v 1|10 km/h，河水的流速为|v 2|10 km/h，小船实际航行速3度为 v0，则由 |v1|2|v 2|2|v 0|2，得(10 )210 2|v 0|2，所以 |v0|20 km/h，即小船实际航3行速度的大小为 20 km/h.答案 20错因与防范 (1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际
15、航速关系式而出错(2)向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小4(1)一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过 3 h，该船的实际航程为_km.(2)在静水中船的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解：(1)由题意，如图，
16、表示水流速度， 表示船在静水中的速度，则 表示船的OA OB OC 实际速度因为| |2， | |4，AOB120，则CBO60，OA OB 又因为AOCBCO90，所以| |2 ，OC 3所以船的实际航行速度为 2 km/h，3则实际航程为 2 36 (km)故填 6 .3 3 3(2)作出图形，如图船速 v 船 与岸的方向成 角，由图可知 v 水 v 船 v 实际 ，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在 Rt ACD 中，| | |v 水 |10 m/min ，CD AB | |v 船 |20 m/min，AD 所以 cos ，|CD |AD | 1020 12所以 60，从而船
17、与水流方向成 120的角故船行进的方向是与水流的方向成 120角的方向1已知下面的说法：如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反，那么 ab 的方向与 a 或 b 的方向相同；在ABC 中，必有 0；AB BC CA 若 0，则 A， B，C 为一个三角形的三个顶点；AB BC CA 若 a，b 均为非零向量，则|ab| 与|a| b|一定相等其中正确的个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 B.当 ab0 时，不成立； 说法正确；当 A，B，C 三点共线时，也可以有 0，故此说法不正确；当 a，b 共线时，若 a，b 同向，则AB BC CA |a b| |a| b|；若 a，b 反向，
18、则|ab| | a|b|；当 a， b 不共线时，|ab|a|b| ，故此说法不正确2如图，D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A. FD DA FA B. 0FD DE FE C. DE DA EB D. DA DE FD 解析：选 A.如题图，可知 ，FD DA FA 0，FD DE FE FE FE ，故 A 正确DE DA DF 3化简( )( ) _AB MB BO BC OM 解析：原式( )( ) .AB BO OM MB BC AO OB BC AB BC AC 答案： AC , 学生用书单独成册)A.基础达标1在四边形 ABC
19、D 中，若 ，则( )AC AB AD A四边形 ABCD 是矩形B四边形 ABCD 是菱形C四边形 ABCD 是正方形D四边形 ABCD 是平行四边形解析：选 D.由向量加法的平行四边形法则知四边形 ABCD 是平行四边形故选 D.2如图所示，在平行四边形 ABCD 中， ( )BC DC BA A. BBD DB C. DBC CB 解析：选 C. ( ) 0 .BC DC BA BC DC BA BC BC 3已知 a，b，c 是非零向量，则(ac)b，b( ac )， b(ca)，c( ab)，c( b a)中，与向量 ab c 相等的个数为( )A5 B4C3 D2解析：选 A.依据
20、向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与 abc 相等，故选 A.4如图所示的方格中有定点 O，P，Q ，E，F，G，H，则 ( )OP OQ A. BOH OG C. DFO EO 解析：选 C.设 a ，以 OP，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在 OP，OQ 之间OP OQ 的对角线对应的向量即为向量 a ，则 a 与 长度相等，方向相同，所以 a .OP OQ FO FO 5设 a( )( )，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )AB CD BC DA a b；aba；abb；|ab| a|b| ；|a b |a| |b|.A BC D解析：选 C.因为( ) ( )AB
21、CD BC DA a0.AB BC CD DA 所以 a b，abb，即正确，错误，而 a0 时，|ab| |b| a|b| ，故 错误，正确6当非零向量 a，b 满足_时，ab 平分以 a 与 b 为邻边的平行四边形的内角解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角答案：|a| |b|7矩形 ABCD 中，|AB| ，| |1，则向量 的长度等于_3 BC AB AD AC 解析：因为 ABCD 为矩形，所以 ，AB AD AC 所以 ，如图，过点 C 作 ，则 ，AB AD AC AC AC CE AC AC AC AE 所以| | |AB AD AC AE 2| |2
22、4.AC |AB |2 |BC |2答案：48在平行四边形 ABCD 中，若| | |，则四边形 ABCD 是_(图形)BC BA BC AB 解析：如图所示， ， ，BC BA BD BC AB AC 又| | |，BC BA BC AB 所以| | |，则四边形 ABCD 是矩形BD AC 答案：矩形9如图所示，P，Q 是三角形 ABC 的边 BC 上两点，且 BPQC.求证： AB AC AP .AQ 证明： ， ，AB AP PB AC AQ QC 所以 .AB AC AP PB AQ QC 因为 与 大小相等，方向相反，PB QC 所以 0，PB QC 故 0 .AB AC AP A
23、Q AP AQ 10如图，在重 300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为 30，60，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力解：如图，在平行四边形 OACB 中，AOC30，BOC60，则在OAC 中，ACOBOC60，OAC90，设向量 ， 分别表示两根绳子的拉力，则OA OB 表示物体的重力，| |300 N，CO CO 所以| | |cos 30150 N，OA CO 3| | |cos 60150 N.OB CO 所以与铅垂线成 30角的绳子的拉力是 150 N，3与铅垂线成 60角的绳子的拉力是 150 N.B.能力提升1设 A1，A 2，A
24、 3，A 4 是平面上给定的 4 个不同的点，则使 0 成MA1 MA2 MA3 MA4 立的点 M 的个数为( )A0 B1C2 D4解析：选 B.根据所给的四个向量的和是一个零向量，即 0.当 A1，A 2，A 3，A 4 是平面上给定的 4 个不同点确定以MA1 MA2 MA3 MA4 后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选 B.2已知| |3 ，| |3， AOB60，则| |( )OA OB OA OB A. B33C2 D33 3解析：选 D.在平面内任取一点 O，作向量 ， ，以 ， 为邻边作OACB，则OA OB OA OB .由题意知四边形 OACB
25、为菱形，又AOB 60，所以| |23sin OC OA OB OC 603 .33已知 G 是ABC 的重心，则 _GA GB GC 解析：如图，连接 AG 并延长交 BC 于 E，点 E 为 BC 中点，延长 AE 到 D，使 GEED，则 ， 0，GB GC GD GD GA 所以 0.GA GB GC 答案：04若| |10， | |8，则| |的取值范围是_AB AC BC 解析：如图，固定 ，以 A 为起点作 ，则 的终点 C 在以 A 为圆心，| |为半径AB AC AC AC 的圆上，由图可见，当 C 在 C1 处时，| |取最小值 2，当 C 在 C2 处时，| |取最大值
26、18.BC BC 答案：2，185一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为 5 km/h.如果此船实际向南偏西 30方向行驶 2 km，然后又向西行驶 2 km，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用 表示船的第一次位移，AC 用 表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知 ，CD AD AC CD 所以 可表示两次位移的和位移AD 由题意知，在 RtABC 中，BAC30，所以 BC AC1，AB .12 3在等腰ACD 中，ACCD 2，所以DDAC ACB30，12所以BAD60，AD 2AB2 ，3所以两次位移的和位移的方向是南偏西 60，位移的大小为 2 km.36(选做题) 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，且| | |1， 0，cosDAB .求| |与| |.AB AD OA OC OB OD 12 DC BC CD BC 解：因为 0，OA OC OB OD 所以 ， ，OA CO OB DO 所以四边形 ABCD 为平行四边形，又| | | |1，知四边形 ABCD 为菱形AB AD 因为 cosDAB ，DAB(0，) ，12所以DAB ，所以ABD 为正三角形，3所以| | | |2| | .DC BC AB AD AC AO 3| | | |1.CD BC BD AB
