1、22 向量的减法1问题导航(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？(2)点 O，A，B 为平面中的任意三点，则 对吗？AB OB OA (3)在向量运算中 abcd，是否有 acdb 成立？2例题导读 P79 例 4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差 P80 例 5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模 试一试：教材 P81 习题 22 A 组 T4 你会吗？ 向量的减法定义：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记向 量 的 减 法 相 反 向 量作a，零向量的相反向量仍是零向量定义：aba(b) ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何
2、意义：已知 a、b，在平面内任取一点 O，作 a， b，则OA OB ba，即 ba 可以表示为从向量 a 的终点指向向量 b 的终点的向量性质：AB (a) a，a(a)(a)a0，如果 a 与 b 互为相反向量，则 ab，ba，ab01判断正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线( )(2)向量 a 与向量 b 的差与向量 b 与向量 a 的差互为相反向量 ( )(3)相反向量是共线向量( )解析：(1)错误当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误(2)正确因为两个向量的差仍然是一个向量，所以向量 a 与向量 b
3、的差与向量 b 与向量 a 的差互为相反向量(3)正确根据相反向量的定义知，该说法正确答案：(1) (2) (3) 2下列等式中，正确的个数是( )abba；abba；0aa；(a)a；a(a)0.A1 B2C3 D4解析：选 C.由向量的加法及几何意义，可得： abba，正确；由向量的减法及其几何意义，得 ab(b a)，即错误；0aa ，正确；根据相反向量的定义及性质得( a)a，正确；而 a(a) 00，错误3. _OC OA CD 解析： ( ) .OC OA CD OC OA CD AC CD AD 答案： AD 4若 a 与 b 反向，且|a| |b|1，则| ab|_.解析：因为
4、 a 与 b 反向，所以|ab| |a| b|2.答案：21相反向量满足的两个条件(1)两个向量的方向相反(2)两个向量的长度相等2相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法(2)为向量的“移项”提供依据利用( a)a0 在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项” 3对向量减法的三点说明(1)减法的几何意义ab 的几何意义是：当向量 a，b 的起点相同时，从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量(2)与向量加法的关系aba(b)，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(3)向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被
5、减向量的终点已知向量作差向量 如图，已知向量 a、b、c 不共线，求作向量 abc.(链接教材 P79 例 4)解 法一：如图，在平面内任取一点 O，作 a， b， c ，连接 BC，OA OB OC 则 bc.过点 A 作 AD 綊 BC，连接 OD，则 bc，所以 abc.CB AD OD OA AD 法二：如图，在平面内任取一点 O，作 a， b ，连接 OB，则 ab，再OA AB OB 作 c，连接 CB，则 abc.OC CB 法三：如图，在平面内任取一点 O，作 a， b ，连接 OB，则 ab，再OA AB OB 作 c，连接 ，则 abc.CB OC OC 方法归纳求两向量的
6、差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减” 1(1)如图，已知向量 a，b，c，求作向量 abc.(2)如图所示，O 为ABC 内一点， a， b， c，求作向量 bca.OA OB OC 解：(1)作向量 a， b，则向量 ab ，再作向量 c，则向量OA OB BA BC abc.CA (2)以 ， 为邻边作 OBDC，连接 OD，AD ，则 bc ， OB OC OD OB OC AD OD b ca.OA 向量的减法运算 化简下列各式：(1)( )( )；AB MB OB MO (
7、2) ；AB AD DC (3)( )( )AB CD AC BD (链接教材 P81 习题 22A 组 T5)解 (1)法一：原式 ( )( ) .AB MB BO OM AB BO OM MB AO OB AB 法二：原式 AB MB BO OM ( ) 0 .AB MB BO OM AB MO OM AB AB (2)法一：原式 .DB DC CB 法二：原式 ( ) .AB AD DC AB AC CB (3)法一：原式 AB DC CA BD ( )( ) 0.AB BD DC CA AD DA 法二：( )( )AB CD AC BD ( ) AB CD AC BD AB AC C
8、D BD 0.CB CD BD DB BD 方法归纳(1)(2)向量加减法化简的两种形式首尾相接且相加；起点相同且相减做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现同时注意向量加法、减法法则的逆向运用2(1)在平行四边形 ABCD 中，设 a， b， c ， d，则下列等式中不正AB AD AC BD 确的是( )Aabc BabdCbad Dc ab(2)化简下列各式： ；OP OQ PM QM ( )( )( )AB CD BC DE EF EA 解：(1)选 B.根据向量加法的平行四边形法则知， ， ，即 abc，bad.ca b，AB AD AC AD AB BD AC AB BC AD
9、故选 B.(2) 0.OP OQ PM QM QP PM QM QM QM ( ) ( )( )( )( )( ) AB CD BC DE EF EA AB BC CD DE EF EA AC CE .AF AE AF FE 用已知向量表示其他向量设 O 是ABC 内一点，且 a， b， c，若以线段 OA，OB 为邻边作OA OB OC 平行四边形，第四个顶点为 D，再以 OC，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为 H.试用 a，b，c 表示 ， ， .DC OH BH 解 由题意可知四边形 OADB 为平行四边形，所以 ab.OD OA OB 所以 c(ab) DC OC OD 又四边
10、形 ODHC 为平行四边形，所以 cab.OH OC OD 所以 abcbac .BH OH OB 若题中的条件不变，如何用向量 a，b，c 表示出向量 ？AH 解：由例题解析可得 cab，则 cababc.OH OC OD AH OH OA 方法归纳用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则例如四边形 ABCD 中， AB BC 0.CD DA 3.(1)如图，O
11、 为平行四边形 ABCD 内一点，a， b， c，则 _OA OB OC OD (2)如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且 a， b， c，试用向量 a，b，c 表示向量 ， ， ， 及 .AB AC AE BD BC BE CD CE 解：(1)因为 ， ， ，所以BA CD BA OA OB CD OD OC ， ，所以 a bc.故填OD OC OA OB OD OA OB OC OD abc.(2)因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以 c ， ba，CD AE BC AC AB ca， cb，BE AE AB CE AE AC 所以 bac.BD
12、 BC CD 易错警示 向量加减法的几何意义应用中的误区已知 D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则( )A. 0AD BE CF B. 0BD CF DF C. 0AD CE CF D. 0BD BE FC 解析 因为 D，E ，F 分别是ABC 的边 AB，BC ，CA 的中点，所以 ， ， ， ，AD DB CF ED FC DE FE DB 所以 0，故 A 成立AD BE CF DB BE ED 0，故 B 不成立，BD CF DF BD DF CF BF FC BC 0，故 C 不成立AD CE CF AD FE AD DB AB 0，故 D 不成立BD B
13、E FC ED DE ED ED 答案 A错因与防范 (1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母顺序出错而导致错误(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量知识与平面几何知识的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据其次，要记准向量减法的几何意义，根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减4(1)如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设a， b， c，则 b
14、ca 等于( )AB DA OC A. BOA OB C. D bOD OA (2)如图，在ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，E 是边 AB 上一点，则 _BE DC ED 解析：(1)法一：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ，DA CB 所以 bc ，DA OC CB OC OB 所以 bca .OB AB OB BA OA 法二：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ，AB DC 所以 ca .OC AB OC DC OC CD OD 因为 b，所以 b，DA AD DA 所以 b.OD OA AD OA 所以 ca b，即 bca .OA OA (2) ，因为 0，所以
15、BE DC ED BE CD ED BE ED CD BD CD BD CD 0.BE DC ED 答案：(1)A (2)01若 a， b，则 等于( )BA BC CA A0 BabCba Dab解析：选 D. ab.故选 D.CA BA BC 2如图，在四边形 ABCD 中，设 a， b， c，则 ( )AB AD BC DC Aabc Bb(ac)Cabc Dbac解析：选 A. abc.DC DA AB BC 3已知 a、b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是_若|a| |b| ab|，则 a 与 b 方向相同；若|a| |b| ab|，则 a 与 b 方向相反；若|a| |b|
16、ab|，则 a 与 b 有相等的模；若|a|b|ab| ，则 a 与 b 方向相同解析：当 a、b 方向相同时有|a|b| | ab|，|a|b|a b|，当 a、b 方向相反时有|a| b|ab |，|a| b|a b|，因此为真命题答案：, 学生用书单独成册)A.基础达标1若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A. B. EF OF OE EF OF OE C. D EF OF OE EF OF OE 解析：选 B.根据向量的减法的定义可得 .EF OF OE 2下列式子不正确的是( )Aa0aBabbaC. 0AB BA D. AC DC AB BD 解析：选 C
17、.根据向量加法的三角形法则， A 正确；向量加法满足交换律， B 正确；因为 与 是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以 C 不正确；根据向量加AB BA 法的多边形法则，D 正确3在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，则 等于( )AD AC A. BCB BC C. DCD DC 解析：选 C.在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得 .AD AC CD 4.如图，在任意四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，则 ( )EF EF A. B. AB AB DC C. D DC AD BC 解析：选 B.因为 ， ，又 与 互为相反向量
18、，EF EA AB BF EF ED DC CF EA ED 与 互为相反向量，所以 0， 0.所以 BF CF EA ED BF CF EF EF ED DC CF EA ( ) ( ) .AB BF ED EA DC AB BF CF AB DC 5若| |8， | |5，则| |的取值范围是( )AB AC BC A3，8 B(3，8)C3，13 D(3，13)解析：选 C.当 与 不共线时，有 (如图所示)，AB AC BC AC AB 由三角形三边的不等关系可知85| |85，BC 即 3| |13，BC 当 与 共线反向时， | |13；AB AC BC 当 与 共线同向时， |
19、|3，AB AC BC 所以 3| |13.BC 6如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 交于 O 点，则 _BA BC OA OD DA 解析： BA BC OA OD DA ( )( )BA BC OA OD DA .CA DA DA CA 答案： CA 7化简：(1)( )( )_AD BM BC MC (2)( )( )_PQ MO QO QM 解析：(1)( )( ) ( ) AD BM BC MC AD MB BC CM AD MB BC CM AD .MC CM AD (2)( )( ) ( ) .PQ MO QO QM PQ QO QM MO PO QO PO
20、OQ PQ 答案：(1) (2)AD PQ 8四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，则| |_ AB AD 解析：| | | .AB AD DB 12 12 2答案： 29.如图，已知 a， b， c， d， e， f ，试用 a，b，c，d，e，f 表OA OB OC OD OE OF 示以下向量：(1) ；(2) ；(3) .AC AD DF FE ED 解：(1) ca.AC OC OA (2) ad.AD AO OD OA OD (3) 0.DF FE ED DO OF FO OE EO OD 10如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， a， b， c，试作出下AB BC
21、 AC 列向量，并分别求出其长度(1)abc；(2) abc.解：(1)由已知得 ab ，AB BC AC 又 c，所以延长 AC 到 E，使| | |.AC CE AC 则 abc ，且| |2 .AE AE 2所以|a bc| 2 .2(2)作 ，连接 CF.BF AC 则 ，DB BF DF 而 a ab，DB AB AD BC 所以 abc 且| |2.DB BF DF DF 所以|a bc| 2.B.能力提升1给出下列各式： ；AB CA BC ；AB CD BD AC ；AD OD OA .NQ MP QP MN 对这些式子进行化简，则其化简结果为 0 的式子的个数是( )A4 B
22、3C2 D1解析：选 A. 0；AB CA BC AC CA ( ) 0；AB CD BD AC AB BD AC CD AD AD 0；AD OD OA AD DO OA AO OA 0.NQ MP QP MN NQ QP MN MP NP PN 2平面内有四边形 ABCD 和点 O，若 ，则四边形 ABCD 的形状是( )OA OC OB OD A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析：选 B.因为 ，OA OC OB OD 所以 ，OA OB OD OC 即 ，又 A，B ，C ，D 四点不共线，BA CD 所以| | |，且 BACD ，BA CD 故四边形 ABCD 为平行四边形3若菱
23、形 ABCD 的边长为 2，则| |_AB CB CD 解析：因为菱形 ABCD 的边长为 2，所以| | | | |2.AB CB CD AB BC CD AC CD AD 答案：24如图，在正六边形 ABCDEF 中，与 相等的向量有_OA OC CD ； ； ； ； ； ； .CF AD BE DE FE CD CE BC CA CD AB AE 解析：因为四边形 ACDF 是平行四边形，所以 ，OA OC CD CA CD CF ，DE FE CD CD DE EF CF ，CE BC BC CE BE ，CA CD DA 因为四边形 ABDE 是平行四边形，所以 ，AB AE AD
24、综上知与 相等的向量是.OA OC CD 答案：5在五边形 ABCDE 中，设 m， n ， p， q， r，求作向量AB BC CD DE EA mpnq r.解：因为 mpnqr(mn) (pqr)( )( )AB BC CD DE EA .AC CA AC AC 延长 AC 到 M，使| | |，则 ，CM AC CM AC 所以 .AC AC AC CM AM 所以向量 为所求作的向量，如图所示AM 6(选做题) 如图，已知点 O 是ABC 的外心，H 为垂心，BD 为外接圆的直径求证：(1) ；AH DC (2) .OH OA OB OC 证明：(1)由题意，可得 AH BC，DCBC，所以 AHDC.又 DAAB，CHAB ，所以 DACH ，所以四边形 AHCD 为平行四边形所以 .AH DC (2)在OAH 中， ，而 ，OH OA AH AH DC 所以 .OH OA DC 又在ODC 中， ，而 ，DC DO OC DO OB 所以 .DC OB OC 所以 .OH OA OB OC
