1、第 3 课时 正弦定理、余弦定理的综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理的内容 .2.能根据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形 .3.掌握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用 .2013 年,叙利亚内战期间,为了准确分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点 C 和 D 进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于 A 和 B 处,美军测得的数据包含 CD 的长度, ADB, BDC, DCA, ACB 大小,你能用学过的数学知识计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?问题 1:若要用解三角形的知识求 AB 的长度,则在求解中要用 定理和 定理 . 问题 2:正、余弦定理
2、的数学公式表述为:正弦定理 ;余弦定理 .余弦定理的推论用公式表示为:cos A= ;cos B= ;cos C= .问题 3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知 ,求其他边或角; (2)已知 ,求其他边或角 . 情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分 .问题 4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:(1)已知 ,求其他三个角 . (2)已知 ,求第三边和其他两个角 . (3)已知 ,求第三边 . 1.在 ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= sin Asin C,则角 B 的大小为( ).3A.150 B.30 C.120 D.602.若 A
3、BC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B 等于( ).A. B. C. D.154 34 31516 11163.在 ABC 中, A=120,c=5,a=7,则 b= . 4.在锐角三角形中, b=4,c= ,且 BC 边上的高 h=2 .21 3(1)求角 C;(2)求边长 a.利用正弦定理或余弦定理求解三角形的边长设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= ,cos B= ,b=3,则 c= .35 513利用正弦定理或余弦定理求解三角形的角度在 ABC 中,已知 a=2,b=2 ,C=15,求 A 的大小
4、.2正、余弦定理的综合应用在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- ,且 a2+b2b B.aa ,BA. 又 0a,故 A=30. 22 122.A cos C0a2+b2c2,即 a2+b22a2,所以 ba.3. 或 由( a2+c2-b2)tan B= ac 得 tan B= ,再由余弦定理 cos B=3 23 3 2+22 3得 2cos Btan B= ,即 sin B= , 角 B 的值为 或 .2+222 3 32 3 234.解: (sin A+sin B)2-sin2C=3sin Asin B, 由正弦定理得( a+b)2-c2=3aba2+b2-c2=ab=1cos C= = ,2+22 2+222 12 0C180,C= 60,A+B= 180-C=180-60=120.全新视角拓展根据正弦定理可将 3sin A=5sin B 化为 3a=5b,所以 a= b,代入 b+c=2a 可得 c= b,23 53 73然后结合余弦定理可得 cos C= =- ,所以角 C= .2+222 12 23思维导图构建2Rsin B 2Rsin C
