1、第 10 课时 等比数列的前 n 项和(2)教学过程一、 问题情境在“即时体验” 第 2 题中,由 是等比数列可得 r=-1;反过来 ,当 r=-1 时, 是等比数列吗?二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 怎样说明一个数列是等比数列 ?结合等比数列的定义,引导学生说出: (n2)为定值问题 2 你能直接看到结果和该等比数列的公比吗 ?(引导学生思考等比数列前 n 项和公式的特征)问题 3 若数列 的前 n 项和变为 Sn=3n+1,那么该数列还是等比数列吗?(引导学生跳出具体的数列,找出等比数列前 n 项和公式的一般形式)问题 4 你能求出等比数列前 n 项和组成的数列 的前 n 项和吗?
2、(引导学生:数列求和的关键是研究数列项的特征)先通过讨论,再给出等比数列前 n 项和组成的数列 的前 n 项和 Tn(如下) .设等比数列 的首项为 a1,公比为 q,当 q=1 时,S n=na1,则 Tn=a1+2a1+3a1+na1= a1;当 q1 时,S n= = - qn,则 Tn= + + + = -(q1+q2+q3+qn)= - = - .(二) 理解概念1. 强调公比 q 不确定时,要讨论 q 是否为 1.2. 一般的数列求和要化归为特殊数列求和.(三) 巩固概念问题 5 当 q1 时,等比数列 的前 n 项和公式有什么特征?(引导学生归纳出:S n=Aqn-A,其中 A
3、为常数)三、 数学运用【例 1】 (教材 P57 例 3)求数列 1+, 2+, 3+, , n+ ,的前 n 项和. 3(见学生用书课堂本 P35)处理建议 可由学生分析该数列的特征:这个数列的每一项都是一个等差数列和一个等比数列的对应项的和,因此采用分组求和.规范板书 解 Sn= + + + =(1+2+3+n)+ + = += +1- .题后反思 一般数列求和的处理,要从通项入手,观察其特征,化归为特殊数列,如常数列、等差数列或等比数列的求和.变式 求和: + + (其中 x0, x1, y1).处理建议 让学生观察表达式,模仿例 1,找出数列的通项 ;可以看出上面各个括号内的前一项与后
4、一项分别组成等比数列,分别求出这两个等比数列的和,就能得到所求式子的和.规范板书 解 当 x0, x1, y1 时, + + =(x+x2+xn)+= + = + .【例 2】 某家用电器售价 2000 元, 若顾客采用分期付款 ,则每期付款数相同,每期为一个月, 购买后一个月付款一次 ,共需付 12 次,即购买后一年付清 ;如果按月利率 8,每月复利一次计算,那么每期应付款多少元 ?4 (见学生用书课堂本 P36)处理建议 对于分期付款,银行有如下规定: 分期付款为复利计息,每期付款数相同,且在期末付款; 到最后一次付款时,各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.规范板书 解法一 设
5、每期付款 x 元, 则第 1 次付款与到最后一次付款所生利息之和为 x ,第 2 次付款与到最后一次付款所生利息之和为 x ,第 11 次付款与到最后一次付款所生利息之和为 x ,第 12 次付款与到最后一次付款所生利息之和为 x,所以各期付款连同利息之和为 x(1+1.008+1.00811)= x.又所购电器的现价及其利息之和为 2000(1+0.008)12,于是有 x=2000(1+0.008)12,解得 x175.46,即每期应付款约 175.46 元.解法二 设每期付款 x 元,第 k 月后欠款为 ak 元(k=1, 2, , 12),则a1=2000 -x,a2=a1 -x,an
6、=an-1 -x.设 an-=1.008 ,则 = ,所以 an- =1.008 ,所以数列 构成等比数列, 所以 an= 1.008n-1+ .因为 a12=0,即 1.00811+ =0,将 a1=2016-x 代入上式,解得 x175.46,即每期应付款约 175.46 元 .题后反思 应用问题的关键是弄懂题意,让学生能够逐一了解各个月份的情形.学习数学,是为了分析问题、解决问题,通过本例,让学生体会到生活的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.*【例 3】 (教材 P62 习题 2.3(2)第 13 题)求和: Sn=1+2x+3x2+4x3+nxn-1.5处理建议 由学生观察数列
7、的特点,找出特殊之处;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.规范板书 解 (1) 当 x=0 时,S n=1.(2) 当 x0 时,S n=1+2x+3x2+4x3+nxn-1 ,xSn=x+2x2+3x3+ xn-1+nxn ,-得 Sn=1+x+x2+xn-1-nxn,当 x1 时, Sn= -nxn= = ,所以 Sn= ;当 x=1 时,S n=1+2+3+4+n= .题后反思 本题中数列各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的积,我们一般称之为差比数列,通常采用错位相减法求和.四、 课堂练习1. 某厂去年的产值记为 1,计划在今后五年内每年的产值比
8、前一年增长 10%,则从今年起到第五年,这个厂的总产值为 11(1.15-1).提示 这个厂从今年起到第五年的产值组成以 1.1 为首项 ,1+10%为公比的等比数列, 所以S5= =11(1.15-1).2. 已知等比数列 的首项为 1,公比为 q,前 n 项和为 Sn,则数列 的前 n 项和 Tn=q1-nSn.(用含 Sn 的式子表示)提示 当 q=1 时,T n=Sn;当 q1 时, Tn= = q1-n= q1-n=Snq1-n,综上可得 Tn=q1-nSn.3. 已知数列 中,a n=23n-1,由它的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn= .提示 新数列是首项为 6,公比为 9 的等比数列, 则 Sn= = .4. 已知数列 的通项公式为 an=3n-2n,则它的前 n 项和 Sn= .提示 Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+(3n-2n)=(31+32+33+3n)-(21+22+23+2n)= - =.五、 课堂小结1. 对于常见数列的求和问题,要先研究其通项, 再化归为等差数列或等比数列来处理 .2. 对于实际应用问题,关键是建立等比数列的模型 .
