1、第 12 课时 平面与平面的位置关系(1)教学过程一、 问题情境问题:空间两个平面之间可能有几个公共点 ?两个平面可能有哪几种位置关系 ?二、 数学建构(一) 生成概念探究 如图 1 所示,长方体 ABCD-ABCD中, 平面 AC与平面 AC 有 0 个公共点; 平面ABCD与平面 AC 有 无数 个公共点. (图 1)(结合前面所学知识,引导学生观察归纳正确答案)根据两个平面公共点的情况得出两个平面的位置关系.1. 空间两个平面的位置关系:位置关系 两平面平行 两平面相交图形表示符号表示 =l公共点 没有公共点 有一条公共直线(二) 理解概念问题 1 你能从教室中找到空间平面的这 2 种位
2、置关系吗 ?问题 2 若两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面的位置关系如何?问题 3 反过来,若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行吗?评:欲证两个平面平行,只须说明一个平面内的所有直线与另一个平面平行即可 .但操作性比较差,那么能否转化为一条直线 ?(三) 巩固概念思考 平面 内有一条直线平行于 ,那么 ? 平面 内有两条直线平行于 ,那么 ? 平面 内有无数条直线平行于 ,那么 ?问题 4 怎样使用水平仪检测桌面是否水平 ?通过讨论,得出结论:2. 两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表
3、示:(图 2)(图 3).图形表示:三、 数学运用【例 1】 如图 3,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证:平面 C1DB平面 AB1处理建议 让学生上黑板板演,巩固两个平面平行的判定定理.规范板书 证明ABDCD1C1ABC1D1 是平行四边形平面 C1DB平面 AB1D1.题后反思 例 1 是两个平面平行的判定定理的一个简单运用,教学时应指出,运用判定定理的关键是创设定理成立的条件,通过分析让学生感受到:证明面面平行可以转化为证明线面平行,证明线面平行可以转化为证明线线平行.变式 求证:垂直于同一条直线的两个平面平行 .已知: AA, AA.求证: .证明 设经过 AA的两个平
4、面 , 分别与平面 , 相交于直线 a, a和 b, b.(如图 4)(图 4) AA, AA, AAa, AAa.又 a, a, aa.于是 a.同理可证 b.又 ab=A, .题后反思 本题结论可以作为另一个判定定理来使用.问题 1 分别在两个平行平面内的两条直线是否平行 ?回答 分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点,所以只能判定它们平行或异面.问题 2 分别在两个平行平面内的两条直线在什么条件下平行?又该如何构造这样的条件?3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行.符号表示: ab.(图 5)图形表示:证明 , a, b, a,
5、b 没有公共点, 又 a, b, ab.两个平面平行的性质定理给出了证明两条直线平行的一种方法.【例 2】 (2013滨州模拟)如图 6 所示,ABCD-A 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M , N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 的中点, P 是上底面的棱 AD 上的一点 ,AP=,过 P, M, N 的平面交上底面于 PQ, Q 在 CD 上,求 PQ 的长 .处理建议 学生先独立思考,再讨论,尝试用两个平面平行的性质定理解决问题.(图 6)规范板书 解 如图 6,连结 AC, A1C1, AA1CC1, 四边形 ACC1A1 是平行四边形, ACA1C1.又 MNA1C
6、1, MNAC. MN面 ABCD, AC面 ABCD, MN平面 ABCD, MNPQ. 又 MNAC, PQAC. = =, PQ=AC= a.题后反思 例 2 是两个平面平行的性质定理的一个运用.教学时应指出,运用性质定理的关键是创设定理成立的条件.变式 (教材 P44 例 2)求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.(图 7)已知: , l(图 7).求证:l.处理建议 先由学生讨论,尝试运用两个平面平行的性质定理解决问题.规范板书 证明 设 l=A.在平面 内任取一条直线 b,因为点 A 不在 内, 所以点 A 与直线 b 可确定平面 .设=a,则
7、lb.又 b 是 内任一直线, 故 l.题后反思 根据线面垂直的制定定理证明 l,需由已知条件创设定理成立的条件,即在 内找两条相交直线与 l 垂直.4. 两个平行平面的公垂线、公垂线段及距离(图 8)(1) 与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线.(2) 公垂线夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段.由两个平面平行的性质定理易证:平行平面的公垂线段都相等.(3) 两个平行平面公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.【例 3】 (南京市 2013 届高三 9 月学情调研测试改编)如图 9,已知斜三(图 9)棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 BC 的中点.
8、求证:A 1B平面 ADC1.提示 证法一:连结 A1C 交 AC1 于 O,连结 OD,所以 ODA1B,得证.证法二:取 B1C1 中点 D1,连结 A1D1, BD1.由 BDC1D1,得 BD1C1D,所以 BD1平面 ADC1.由B1D1BD,得 BB1DD1,所以 AA1DD1.则 A1D1AD,所以 A1D1平面 ADC1,所以平面 A1BD1平面ADC1,得证.题后反思 本题体现了线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化.四、 课堂练习1. 判断下列命题是否正确,并说明理由:(1) 若平面 内的两条直线分别与平面 平行,则 与 平行.( )(2) 若平面 内的两条不平行的直线
9、分别与平面 平行,则 与 平行.( )(3) 平行于同一条直线的两个平面平行.( )(4) 若平面 内有一条直线平行于平面 ,平面 内也有一条直线平行于 ,则 与 平行.( )(5) 若平面 内的任何直线都与平面 平行,则 与 平行.( )答 (1) 错误. (2) 正确. (3) 错误. (4) 错误. (5) 正确 .2. 下列说法正确的是(D).A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 平行于同一个平面的两条直线平行C. 平行于同一条直线的两个平面平行D. 平行于同一个平面的两个平面平行3. 不在同一直线上的三点 A, B, C 到平面 的距离相等,且 A,则(B).A. 平面 ABCB
10、. ABC 中至少有一边平行于 C. ABC 中至多有两边平行于 D. ABC 中只可能有一条边与 平行4. 已知 a, b, c 是三条不重合直线, , , 是三个不重合的平面 ,有下列说法: ac, bcab; a, bab; c, c; , ; ac, ca; a, a.其中正确的说法是 (填序号) . 五、 课堂小结1. 两个平面的位置关系.2. 两个平面平行的判定定理和性质定理.3. 两个平面平行的判定方法:定义法; 判定定理法; 判定定理的推论; 垂直于同一条直线的两个平面平行; 平行于同一个平面的两个平面平行.4. 由两个平面平行可以得到的性质有:(1) 若 , a,则 a.(2) , =a, =b,则 ab.(3) , l, l=A,则 l.(4) 夹在两平行平面间的平行线段是相等的.(5) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
