1、3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型自主学习学习目标1通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型2掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率自学导引1几何概型的概念事件 A 理解为区域 的某一子区域 A，如图，A 的概率只与子区域 A 的_( 长度、面积或体积) 成_ ，而与 A 的_和_无关满足以上条件的试验称为_2几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件 A 的概率定义为：_，其中， 表示_， A表示_对点讲练知识点一 与长度或角度有关的几何概型例 1 公共汽车站每隔 5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过 3 min 的概
2、率点评 几何概型应用广泛，其难点是确定几何度量本例中，设定乘客到站后开来一辆公共汽车的时刻 t 后，就容易写出 、A，这里设“t”是关键变式迁移 1 某人从东西走向的河的南岸向东北方向游去，游了 100 m 后没有到岸边，随后，他随意选定了一个方向继续游，求这个人游 100 m 之内能够到达南岸边的概率知识点二 与面积有关的几何概型例 2 在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为 2 cm，4 cm，6 cm，某人站在 3 m 之外向此板投镖设投镖击中线上或没有投中木板都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆
3、环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？点评 在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，然后利用公式 P(A)来计算事件的概率构 成 事 件 A的 区 域 面 积试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 区 域 面 积变式迁移 2 两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机接收范围为 25 公里，在下午 300 时莉莉正在基地正东距离基地 30 公里以内的某处向基地行驶而此时霍伊正在基地正北距基地 40 公里以内的某地向基地行驶，试计算他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？知识点三 与体积有关的几
4、何概型问题例 3 在 1 升高产小麦种子中混入了 1 粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10 毫升，则“取出的种子中含有麦锈病的种子”的概率是多少？点评 如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件 A 所分布的体积其概率的计算P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 体 积试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 区 域 体 积变式迁移 3 有一杯 2 升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这水中取出 0.1 升水，求小杯水中含有这个细菌的概率1几何概型与古典概型的异同点(1)相同点古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是
5、相等的(2)不同点古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个在古典概型中，概率为 0 的事件为不可能事件，概率为 1 的事件是必然事件，而在几何概型中概率为 0 的事件可能发生，概率为 1 的事件不一定发生2几何概型计算步骤(1)判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断(2)计算基本事件的总体与事件 A 所含的基本事件对应的区域的几何度量 (长度、面积或体积) 这是计算的难点(3)利用概率公式计算. 课时作业一、选择题1两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A. B. C. D.12 13 14
6、 162一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是( )A. ， B. ，13 23 13 16C. ， D. ，16 13 23 343在正方形 ABCD 内任取一点 P，则使APB90的概率是( )A. B.8 4C. D.16 24在半径为 1 的半圆内，放置一个边长为 的正方形 ABCD，向半圆内任投一点，落12在正方形内的概率为( )A. B.12 14C. D.14 125在区间(10,20内的所有实数中随机取一个实数 a，则这个实数 a90，设正方形边长为 2，则4， A ，2P(A ) .24 84D
7、 如图，半圆的面积为 ，正方形的面积为 ，所求概率为 P .2 14 S正 方 形S半 圆 125C6.113解析 由题意得，区域 D 所对应的面积是大正方形的面积 S 大 13，事件 A 飞镖落在阴影部分对应的区域面积是阴影部分 (小正方形)的面积，S 阴 ( 2) 21，所以13 22P(A) .1137.7138.23解析 由|x| 1，得1x1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P .区 间 1，1的 长 度区 间 1，2的 长 度 239解 如图所示，在 CB 上取点 M0，使CAM 030 ，设 BCa，则CM0 AC BC a.33 33 33于是有 P(CAM30) CM0C
8、B 33aa .3310解 设事件 A 为“方程 x22ax b 20 有实根” 当 a0，b0 时，方程 x22axb 20 有实根的充要条件为 ab.(1)基本事件共有 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2) ，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0) ，(2,1)，(2,2)，(3,0) ，(3,1)，(3,2) 其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值事件 A 包含 9 个基本事件，故事件 A 发生的概率为P(A) .912 34(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a 3,0b2构成事件 A 的区域为( a，b)|0a3,0b2，ab 所以所求的概率为P(A) .32 122232 23
