1、23 等差数列的前 n 项和（一）学习目标1知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。（二）学习重、难点重点：探索
2、并掌握等差数列的前 n 项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系。难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题（三）学法学法：讲练结合（四）学习设想创设情景等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+100=？当时，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确
3、答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，n，前 100 项的和的问题。今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和。探索研究 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算 1，2，3，n，的前 n 项的和：由 1 + 2 + + n-1 + nn + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知 )(.3n上面这种加法叫“倒序相加法”请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他发现了整个数
4、列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n 项和的。等差数列求和公式的教学一般地，称 为数列 的前 n 项的和，用 表示，即naa.321 nSnnS.3211、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示 ：nS,)1(.)2()(11 dnadaaSn nn由+，得 S1111nnnaa个（ ） +（ ） （ ） +（ ）)(1na由此得到等差数列 的前 n 项和的公式2)(1nnaS对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、
5、尾项和项数就可以求等差数列前n 项和了。2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： 123.nnSaa= 11()().()dand= 1.d= 2()nan= 1()这两个公式是可以相互转化的。把 代入 中，就可以得1()nad1()2nnaS到 1()2nSad引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第 k项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于 n 的“二次函数” ，可以与二次函数进行比较。
6、这两个公式的共同点都是知道 和 n，不同点是第一个公式还需知道 ，而第二个1ana公式是要知道 d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。公式运用（课本 52 页练习 1、2）1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的前 n 项和 S. a 84an， ， ； 1.50.732， d， a；例题分析例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施
7、，计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？1、 先阅读题目；2、 引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；3、 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解。解：根据题意，从 2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元.所以，可以建立一个等差数列 ，表示从 2001 年起各年投入的资金，其中na， d=50.150a那么，到 2010 年（n=10） ，投入的资金总额为（万元）1057202nS（ ）答：从 20012010 年，该市在“校校通
8、”工程中的总投入是 7250 万元.例 2已知一个等差数列 前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由这些条件能确定na这个等差数列的前 n 项和的公式吗？引导学生分析得到：等差数列前 n 项和公式就是一个关于的方程。若要确定其前 n 项求和公式，则要确定 的关系式，1nad1、 、 或 者 、 、 d1a和从而求得。分析：将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后，可得到两个关于 与 d 的二元1一次方程，由此可以求得 与 d，从而得到所求前 n 项和的公式.1a解：由题意知 ，03S， 201S将它们代入公式 1n（ ） ，得到 104530292ad，解这个关于 与 d
9、 的方程组，得到 =4，d=6，11a所以 2463nSn（ ）另解： 100得 12a； 0201S所以 1；-，得 ，6d所以 代入得： 14a所以有 213nSdn（ ）例题评述：此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.例 3 已知数列 的前 n 项为 ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差a21nS数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据 121.nna与 S（ ）可知，当 n1 时， 221 112nnan（ ） （ ）当 n=1 时， 也满足式.213所以数列 的通项公式为 .n 2na由此可知，数列 是一个首项为
10、 ，公差为 2 的等差数列。这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 ，可求出通项nS1naS（ ）n（n1）用这种数列的 来确定 的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意 不一定nSna 1a满足由 求出的通项表达式，所以最后要验证首项 是否满足已求出的 .1n 1an思考：结合例 3，思考课本 51 页“探究”：一般地，如果一个数列 的前 n 项和为其中 p、q、r 为常数，且 p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果2.nSp是，它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列两个前 n 项和公式 ，和12nnaS，公式本身就不含常数项。21 1ndSana（
11、） （ ）所以得到：如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0，且关于 n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.例 4 已知等差数列 的前 n 项和为 ，求使得 最大的序号 n 的值.24537， ， ， .nSn分析：等差数列的前 n 项和公式可以写成 ，所以 可以看成函21da（ ） S数 当 x=n 时的函数值.另一方面，容易知道 关于 n 的图21dyxa*（ ） （ N）象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求 n 的值.解：由题意知，等差数列 的公差为 ，所以24537， ， ， 5721nSn（ ） （ ）= 2751546（ ）于是，当 n 取与 最接近的整
12、数即 7 或 8 时， 取最大值.1nS随堂练习课本 52 页“练习”第 1、2、3、4 题补充练习 1、已知数列 是等差数列，S n 是其前 n 项和，且 S6，S 12-S6，S 18-S12 成等差数列，设,na成等差数列吗？kkkN232,生：分析题意，解决问题.解：设 首项是 ，公差为 d,na1则： 6543216 aS为 等 差 数 列1286126097 121109887165143128 665431210987612, 3)( )()()()( )()()()SSddaa daSSdada同理可得 成等差数列.kkk23,2、求集合 的元素个数，并求这些元素的和。107*
13、mNnm且解由 m=100，得 410满足此不等式的正整数 n 共有 14 个，所以集合 m 中的元素共有 14 个，从小到大可列为：7，72，73，74，714即：7，14，21，28，98这个数列是等差数列，记为 其中,na 7352)98(14 98,714 Sa解由 m=100，得 72140n满足此不等式的正整数 n 共有 14 个，所以集合 m 中的元素共有 14 个，从小到大可列为：7，72，73，74，714 即：7，14，21，28，98这个数列是等差数列，记为 其中,na 7352)98(14 98,714 Sa答：集合 m 中共有 14 个元素，它们和等于 735课堂小结 等差数列 的前 n 项和的公式 和a2)(1nnS1()2nSad也成等差数列.kkkS232,（五）评价设计课本 52 页 A 组第 1、3、6思考：课本 53 页 B 组第 4 题
