1、高中苏教选修（2-2）2.3 数学归纳法水平测试一、选择题1用数学归纳法证明“ 21n对于 0n 的自然数 n都成立”时，第一步证明中的起始值 0n应取（ ）A2 B3 C5 D6答案：C2用数学归纳法证明不等式 11(1)23nnN ， 且 时，不等式在1nk时的形式是（ ）A 3kB 122kC 11kkD 1312kk答案：D3用数学归纳法证明， “当 n为正奇数时， nxy能被 x整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A假设 21()nkN时正确，再推证 23k正确B假设 时正确，再推证 1n正确C假设 ()k， 的正确，再推证 k正确D假设 1nN， 时正确，再推证 2正确答案：B4用
2、数学归纳法证明：“221(1)nnaa”在验证 1n时，左端计算所得的项为（ ）A1 B 1C 2D 23a答案：C5下面四个判断中，正确的是（ ）A式子 2()nkkN ，当 1n时为 1B式子 211()nkkN ，当 1n时为 kC式子 3 ，当 时为 123D设 ()()121fnn，则34kkk答案：C6用数学归纳法证明 (1)2()213()nn nN A ，从 k到1k左端需增乘的代数式为（ ）A 2B ()kC kD k答案：B二、填空题7用数学归纳法证明 11(1)23nnN 且 ，第一步即证不等式 成立答案： 1238用数学归纳法证明命题：2 121()4()2nnN，从“
3、第 k步到 1步”时，两边应同时加上 答案： 2(1)k9已知 21()fnnn ，则 ()fn中共有 项答案： 210设 1()6nf，则 (1)fk用含有 ()fk的式子表示为 答案： 35k三、解答题11用数学归纳法证明： 2389()nN能被 64 整除证明：（1）当 1时， 4164，能被 64 整除，命题成立（2）假设 nk时，命题成立，即 2k能被 64 整除，则当 时， 2(1) 238)9(389)64kk因为 2389k能被 64 整除，所以 (1)能被 64 整除即当 nk时，命题也成立由（1）和（2）可知，对任何 nN，命题成立12用数学归纳法证明： 112()23nN
4、 证明：（1）当 n时，左边 ，右边 ， ，所以不等式成立（2）假设 k时不等式成立，即 1k ，则当 1a时， 1223kk2()1kk，即当 1n时，不等式也成立由（1） 、 （2）可知，对于任意 nN时，不等式成立13数列 na的前 项和 2Sa，先计算数列的前 4 项，后猜想 na并证明之解：由 11， ，由 22，得 3由 133aa，得 74由 24，得 158猜想 1na下面用数学归纳法证明猜想正确：（1） n时，左边 1a，右边12n，猜想成立（2）假设当 k时，猜想成立，就是 1ka，此时 122kkkSa则当 1n时，由 12()kkS，得 112()k kSaa，1kkS
5、11()2kk这就是说，当 1n时，等式也成立由（1） （2）可知， 2na对 N均成立高中苏教选修（2-2）2.3 数学归纳法水平测试一、选择题1如果命题 ()pn对 k成立，那么它对 2nk也成立，又若 ()pn对 2成立，则下列结论正确的是（ ）A ()对所有自然数 成立B pn对所有正偶数 n成立C ()对所有正奇数 成立D 对所有大于 1 的自然数 成立答案：B2用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）A n成立 B 2n成立C 3成立 D 4成立答案：C3已知 11() ()3f nN ，则 (1)fk（ ）A ()fkB 1)32fC 1(34kkkD )4f答案：
6、C4凸 n边形有 ()f条对角线，则凸 1n边形的对角线的条数 (1)fn为（ ）A ()1fB ()fC ()fD 2答案：C二、填空题5用数学归纳法证明“ 35n能被 6 整除”的过程中，当 1nk时，式子3(1)()k应变形为 答案： (1)k6用数学归纳法证明不等式 1272464n 成立，起始值至少应取为 答案：8三、解答题7用数学归纳法证明： (31)(1)2()2nn N 证明：（1）当 时，左边 ，右边 (31)2左边，等式成立（2）假设 nk时等式成立，即 (31)(1)2()2kk 则当 1时，左边 3k()2()kk3274(1)342kk(1)3，nk时，等式成立由（1
7、）和（2）知对任意 nN，等式成立8求证： 121()na能被 21a整除（其中 nN） 证明：（1）当 时， 2()能被 21a整除，即当 1n时原命题成立（2）假设 ()nkN时， 121()kka能被 2整除则当 1时， 22 21()kaAA121()kk kaA211212()kkkaaA 由归纳假设及 能被 整除可知， 221()kka也能被 21a整除，即 nk命题也成立根据（1）和（2）可知，对于任意的 nN，原命题成立备选题1 已知等差数列 na和等比数列 nb，且 1a，2ab， 12， 0， N，试比较 3与 b， 4a与 的大小，并猜想 na与n（ 3 ， ）的大小关系
8、，并证明你的结论解：设 1， na的公差为 d， nb的公比为 q2 (1)abdq因为 0n， 12， 0， ， 1da2 23()()()0aaq ，b又 324()(1)0qd，a猜想 (3)nbnN， 下面用数学归纳法证明此猜想：（1） 当 时，已证 3ba，猜想正确（2）假设当 nk（ ， k）时猜想正确，即 kba则当 时，由 1kq， (1)kd知：1()kaqd，又 ， (1)ka，而 (1)d，1()(1)()kkbaqdaqkdak()120k，1kba即当 n时，猜想也成立由（1）和（2）可知，对 3n ， N，均有 nba成立2 设 1()2f ，是否存在 ()g使等式
9、()(ff对 2 的一切自然数都成立，并证明你的结论解： (1)f， 1(2)f， 1(3)2f，由 ()ngn ，得当 n时， ()()ff，可得 g当 3时， 123()A，得 (3)猜想： ()g用数学归纳法证明：当 n时，已验证成立假设 nk（ 2 ， kN）时成立，即 ()gk，且有 (1)(1)fff 成立则当 时，()2()()1()1()ffkfkffkfk 11kf()()fk即当 n时成立综上可知， ()gn使等式 (1)2(1)()(ffngfn 对 2 的一切自然数都成立3求证： n棱柱中过侧棱的对角面的个数是 1()3)2fn证明：（1）当 4时，四棱柱有 2个对角面： 4，命题成立（2）假设 k（ ， kN）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有()3)f个现在考虑 1n时的情形第 k条棱 kAB与其余和它不相邻的 2k条棱分别增加了 1 个对角共 2k个，而面1k变成了对角面因此对角面的个数变为： 1()2(3)1fk()()322kk，即 k成立由（1）和（2）可知，对任何 4n ， N，命题成立高?考。试题库
