1、垂径定理能力提升1.如图,在 55 正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A.点 P B.点 QC.点 R D.点 M2.如图,圆心在 y 轴的负半轴上,半径为 5 的 B 与 y 轴的正半轴交于点 A(0,1),过点 P(0,-7)的直线与 B 相交于 C,D 两点,则弦 CD 的长所有可能的整数值有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个(第 1 题图)(第 2 题图)3.(2015 山东东营中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1 m,其中水面的宽AB 为 0.8 m,则排水管内水的深度为 m. 4.如图,若 O 的半径为
2、13 cm,点 P 是弦 AB 上一动点,且到圆心的最短距离为 5 cm,则弦 AB的长为 . 5.如图,在 O 中, AB,AC 是互相垂直且相等的两条弦, OD AB,OE AC,垂足分别为 D,E,若AC=2 cm,则 O 的半径为 . (第 4 题图)(第 5 题图)6.在半径为 5 cm 的圆内有两条平行弦,一条弦长为 8 cm,另一条弦长为 6 cm,则两弦距离为 . 7.(2014 江苏南通中考)如图, AB 是 O 的直径,弦 CD AB 于点 E.点 M 在 O 上, MD 恰好经过圆心 O,连接 MB.(1)若 CD=16,BE=4,求 O 的直径;(2)若 M= D,求
3、D 的度数 .创新应用8.某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2 m,拱顶高出水面 2.4 m.现有一艘宽 3 m、船舱顶部为长方形并高出水面 2 m 的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?参考答案1.B 连接 BC,分别作 AB,BC 的垂直平分线(图略),两条垂直平分线相交于点 Q,所以这条圆弧所在圆的圆心是点 Q,故选 B.2.C 半径为 5 的 B 与 y 轴的正半轴交于点 A(0,1),可知 OB=4,所以点 B(0,-4).由 P(0,-7),得 BP=3.当弦 CD AB 时,弦 CD 最短 .连接 BC,由勾股定理,得 CP=4,由垂径定理,得CD=2CP=8.当弦
4、CD 是 B 的直径时, CD=10.所以 8 CD10,所以 CD 的整数值为 8,9,10 共三个 .3.0.8 设圆心为 O,作 OC AB 于点 C,由垂径定理,得 BC=AB=0.4.连接 OB,则 OB=0.5.在 RtOBC 中,由勾股定理,得 OC=0.3,则排水管内水的深度为 0.3+0.5=0.8(m).4.24 cm 点 P 到圆心的最短距离是 5 cm,即 OP AB 时, OP=5 cm,根据垂径定理,得AB=2=24(cm).5. cm 由垂径定理,得 AE=CE=AD=BD=1 cm,从而可推得四边形 ADOE 为正方形,OD=AD= 1 cm.再由勾股定理,得半
5、径 OA= cm.6.1 cm 或 7 cm (1)当两弦在圆心的同侧时,如图 ,我们可以作 OM AB 于点 M,交 CD 于点N.在 Rt OBM 中,OM=4(cm),在 Rt ODN 中, ON=3(cm),所以 MN=OM-ON=1(cm),即当两弦在圆心的同侧时,两弦距离为 1 cm.(2)当两弦在圆心的两侧时,如图 ,这时两弦距离为 7 cm.7.解:(1) AB 是 O 的直径,弦 CD AB,CD=16,DE=CD= 8.BE= 4,OE=OB-BE=OD- 4.在 Rt OED 中, OE2+ED2=OD2, (OD-4)2+82=OD2,解得 OD=10. O 的直径是
6、20.(2) 弦 CD AB, OED=90, EOD+ D=90. M= D, EOD=2 M, EOD+ D=2 M+ D=90, D=30.8.解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为 O,半径为 R m,经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OD,D 为垂足,与相交于点 C.根据垂径定理, D 是 AB 的中点, C 是的中点, CD 就是拱高 .由题设得 AB=7.2 m,CD=2.4 m,HN=MN=1.5 m.AD=AB=7.2=3.6(m),OD=OC-DC=(R-2.4)(m).在 Rt OAD 中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2,即 R2=3.62+(R-2.4)2.解得 R=3.9,OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5(m).在 Rt ONH 中,由勾股定理,得 OH=,即 OH=3.6(m).DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m). 2.12, 此货船能顺利通过这座拱桥 .
