1、3.3 垂径定理1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.自学指导 阅读教材第 74 至 75 页内容，并完成下列问题.知识探究1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：AB 经过圆心 O 且与圆交于A、B 两点；ABCD 交 CD 于 E；那么可以推出：CE=DE； = ； = . CB DB CA DA2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.自学反馈 1.如图，弦 AB直径 CD 于 E，相等的线段有：AE=EB，CO=DO；相等的弧有： = ， = ， = . AD DB AC
2、BC CAD CBD2.在O 中，直径为 10 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长为 8 cm.3.在O 中，直径为 10 cm，弦 AB 的长为 8 cm，则圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm.圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个.4.O 的半径 OA=5 cm，弦 AB=8 cm，点 C 是 AB 的中点，则 OC 的长为 3 cm.已知弦的中点，连结圆心和中点构造垂直是常用的辅助线.5.某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为多少米？(8 米)圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两
3、个，即可求出另一个.6.O 的半径是 5，P 是圆内一点，且 OP3，过点 P 最短弦的长是 8，最长弦的长为 10.来源:gkstk.Com过点 P 最短弦即为与 OP 垂直的弦，最长弦即为直径.来源:gkstk.Com活动 1 小组讨论例 1 是的直径，弦，为垂足，若，求的长.解：6.常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.例 2 O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 的长的最小值为 3.最大值为 5.当 OM 与 AB 垂直时，OM 最小(为什么)，M 在 A(或 B)处时 OM 最大.例 3 已知：如图，线段 AB 与O 交于
4、 C、D 两点，且 OA=OB.求证：AC=BD.证明：作 OEAB 于 E.则 CE=DE. OA=OB，OEAB，AE=BE. AE-CE=BE-DE.即 AC=BD.过圆心作垂径是圆中常用辅助线.例 4 如图，在O 中，CD 为弦，ECCD，FDCD，EC、FD 分别交直径 AB 于 E、F 两点，求证：AE=BF. 证明：略过圆心作垂径，与已知的另两个垂直构造一组平行线.例 5 如图，O 中 CD 是弦，AB 是直径，AECD 于 E，BFCD 于 F，求证：CEDF. 证明：略本题即为上题的变式训练.当题目的条件不变，只是图形发生变化时，通常结论不变，解题思路也不变.活动 2 跟踪训
5、练来源:学优高考网1.在直径是 20 cm 的O 中，AOB 的度数是 60，那么弦 AB 的弦心距是 5 cm.3这里利用 60角构造等边三角形，从而得出弦长.2.弓形的弦长为 6 cm，弓形的高为 2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为 cm. 143.如图，AB 为O 的直径，E 是 中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则 AC=8. BC4.如图，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么 AB=CD.(只需写一个正确的结论即可)来源:学优高考网5.已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点.求证：A
6、C=BD. 证明：过点 O 作 OEAB 于点 E.则 AE=BE，CE=DE.AE-CE=BE-DE. 即 AC=BD.过圆心作垂径.6.如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD 长.解：作 OFCD 于点 F，连结 OD.AE=2，EB=6，AB=8.AO=4.EO=2.DEB=30，OFE=90，OF= OE=1.在 RtODF 中，OD=4，OF=1.12DF= = .CD=2DF=2 .2OD55第 6 题先过圆心作垂径，将 30角放在直角三角形中，求出弦心距，再连半径构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形.7.已知O 的直径是
7、50 cm，O 的两条平行弦 AB= cm，CD= cm，求弦 AB 与 CD 之间的距离.AB、在点 O 两侧，AB、CD 在点 O 同侧.解：过点 O 作直线 OEAB 于点 E，直线 OE 与 CD 交于点 F.由 ABCD，则 OFCD.当 AB、CD 在点 O 两侧时，如图 1.连结 AO、CO，则 AO=CO=25 cm，AE=20 cm，CF=24 cm. 由勾股定理知 OE=15 cm，OF=7 cm.EF=OE+OF=22 cm. 即 AB 与 CD 之间距离为 22 cm.图 1 图 2当 AB、CD 在点 O 同侧时，如图 2，连结 AO、CO.则 AO=CO=25 cm，AE=20 cm，CF=24 cm. 由勾股定理知 OE=15 cm，OF=7 cm.EF=OE-OF=8 cm. 即 AB 与 CD 之间距离为 8 cm.由知 AB 与 CD 之间的距离为 22 cm 或 8 cm.活动 3 课堂小结垂径定理及其推论，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形).来源:学优高考网 gkstk教学至此，敬请使用名校课堂相关课时部分.
