1、3.3 垂径定理一、选择题1下列语句中，不正确的个数是 ( )弦是直径 半圆是弧 长度相等的弧是等弧 经过圆内一点可以作无数条直径A1 B2 C3 D42. 如图，ABC 内接于O，ODBC 于 D，A50，则OCD 的度数是( )A40 B45C50 D603. 如图，若 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD55，则BCD 的度数为( )A35 B45C55 D754ABC 为O 的内接三角形，若AOC 160，则 ABC 的度数是( )A80 B160C100 D80或 1005.如图，在半径为 5 的O 中， AB、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且ABCD 8，则 OP
2、的长为 ( )A3 B4C3 D42 26.(2014 年贵州黔东南 6 （4 分）)如图，已知O 的直径 CD 垂直于弦 AB，ACD=22.5，若 CD=6cm，则 AB 的长为（ ）A 4cm B 3 cm C 2 cm D 2 cm二、填空题7. 如图，在O 中，直径 ABCD 于点 M，AM 18，BM8，则 CD 的长为_ 8. 如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 2 度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第 35 秒时，点 E 在量角器上对应的读数是_
3、度9直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是_10当宽为 3 cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，那么该圆的半径为_cm.11 （2014 湖南张家界，第 16 题，3 分）如图，AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 三、解答题12. 如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 E，交BC 于点 D，连接 BE、AD 交于点 P.求证：(1)D 是 BC 的中点；(
4、2)BECADC.13. 如图，AB 是O 的直径，C 是 的中点，CE AB 于点 E，BD 交 CE 于BD点 F.求证：CF BF.14如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径， D 是O 上一点，ODAC，垂足为 E，连接 BD.(1)求证：BD 平分 ABC ；(2)当ODB 30时，求证：BCOD.15. 如图所示为圆柱形大型储油罐固定在 U 型槽上的横截面图已知图中 ABCD 为等腰梯形(ABDC)，支点 A 与 B 相距 8 m，罐底最低点到地面 CD 距离为 1 m设油罐横截面圆心为 O，半径为 5 m，D 56，求：U 型槽的横截面 (阴影部分)的面积( 参考数据：
5、sin 530.8，tan 561.5，3，结果保留整数)参考答案：1、解析 直径是弦，但弦不一定是直径故不正确，弧包括半圆，优弧和劣弧故正确，等弧是能够重合的弧故不正确，而经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心，故不正确。)答案 C2.解析 连接 OB，A50，BOC2A100，OBOC ，OCDOBC (180BOC)40.12答案 A3.解析 连接 AD，AB 是O 的直径，ADB90，ABD55，A90ABD35，BCDA 35.答案 A4解析 如图，AOC160，ABC AOC 16080，12 12ABCABC180，ABC 180 ABC18080100.AB
6、C 的度数是：80或 100.答案 D5.解析 作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM 3，52 42弦 AB、CD 互相垂直，DPB 90 ，OMAB 于 M，ONCD 于 N，OMP ONP90四边形 MONP 是正方形，OP3 .2答案 C6.解答： 解：连结 OA，如图，ACD=22.5，AOD=2ACD=45，O 的直径 CD 垂直于弦 AB，AE=BE，OAE 为等腰直角三角形，AE= OA，CD=6，OA=3，AE= ，AB=2AE=3 （cm） 故选 B7. 解析 连接 OD，AM18，BM8，OD 13，AM BM2 18 82O
7、M1385，在 Rt ODM 中， DM 12，OD2 OM2 132 52直径 AB弦 CD，AB2DM 21224.答案 248. 解析 连接 OE，ACB90，点 C 在以 AB 为直径的圆上，即点 C 在O 上，EOA 2 ECA，ECA23570，AOE 2 ECA270 140.答案 1409解析 由勾股定理可知：当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径为 8；当两条直角边长分别为 16 和 12，则直角三角形的斜边长 20，162 122因此这个三角形的外接圆半径为 10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10.答案 8 或 1010 解析 连接 OA
8、，过点 O 作 ODAB 于点 D，ODAB，AD AB12(91)4，设 OAr ，则 ODr 3，12在 Rt OAD 中，OA2OD 2AD 2，即 r2(r 3) 24 2，解得 r cm.256答案 25611.解：连接 OA，OB，OC，作 CH 垂直于 AB 于 H根据垂径定理，得到 BE=AB=4，CF=CD=3，OE= = =3，OF= = =4，CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH 中根据勾股定理得到 BC=7 ，则 PA+PC 的最小值为 12. 证明 (1)AB 是O 的直径，ADB90，即 ADBC，ABAC ，D 是
9、BC 的中点；(2)AB 是O 的直径，AEBADB 90，即CEB CDA 90，C 是公共角，BEC ADC.13. 证明 如图AB 是O 的直径，ACB90，又CE AB，CEB 90 .290ACEA.又C 是弧 BD 的中点， 1A.12， CFBF.14证明 (1)ODAC OD 为半径， ，CBDABD，CD ADBD 平分ABC ；(2)OB OD， OBDODB 30，AODOBDODB303060，又ODAC 于 E，OEA90，A180OEAAOD180906030，又AB 为O 的直径，ACB90，在 Rt ACB 中，BC AB，12OD AB，BCOD.1215.
10、解 如图，连接 AO、BO.过点 A 作 AEDC 于点 E，过点 O 作 ONDC 于点 N，ON交O 于点 M，交 AB 于点 F，则 OFAB.OAOB5 m，AB8 m，AFBF AB4(m)，AOB 2AOF，在 RtAOF 中，sin AOF 0.8sin 12 AFAO53，AOF 53 ，则AOB 106，OF 3(m)，由题意得：MN1 m ，OA2 AF2FNOM OFMN3(m)，四边形 ABCD 是等腰梯形，AE DC，FNAB，AEFN 3 m，DCAB 2DE.在 Rt ADE 中，tan 56 ，AEDE 32DE2 m，DC12 m.S 阴 S 梯形 ABCD(S 扇形 OABS OAB ) (812)312 (106360 52 1283)20(m 2)答 U 型槽的横截面积约为 20 m2.
