1、九年级 数学 学科导学案课题： 3.3 垂径定理 主备人： 温志鹏 审核人： 九年级数学集备组 授课人：温志鹏 【学习目标】 课标要求：1利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2运用垂径定理及其逆定理解决问题目标达成：1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神学习流程： 【课前展示】1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？【创境激趣】1如
2、图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由【自学导航】 1、阅读教材 74-77页的内容。2 、思考过圆内一点的最短弦和最长弦及勾股定理的运用。【合作探究】 1如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由条件： CD 是直径； CDAB结论（等量关系）：AM= BM； = ； = . AC BC AD BD证明：连接 OA,OB,则 OA=OB.在 Rt OAM 和
3、 RtOBM 中,OA=OB ，OM= OM，Rt OAMRtOBM.AM=BM .来源:学优高考网来源:学优高考网 gkstk点 A 和点 B 关于 CD 对称.O 关于直径 CD 对称,当圆沿着直径 CD 对折时, 点 A 与点 B 重合,和 重合, 和 重合. AC BC AD BD = ， = . AC BC AD BD2证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧3辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？OC DBAOC DE OC DBAODBAC注意：定理中的两个条件缺一不可直径（半径） ，垂直于弦通过以上辨
4、析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识4垂径定理逆定理的探索如图，AB 是O 的弦（不是直径） ，作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件： CD 是直径； AM=BM 结论（等量关系）：CDAB； = ； = . AC BC AD BD让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ”如果该定理少了“不是直径” ，是否也能成立？反例
5、：【展示提升】 典例分析 知识迁移1例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ,点 0 是 所在圆的圆心） ， CD CD其中 CD=600m，E 为 上的一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路的半 CD径解：连接 OC，设弯路的半径为 Rm,则 OF=(R-90)mOC DBAOC DBA OC DBAOE CD 30621CDF根据勾股定理，得OC=CF +OF即 R=300+(R-90).解这个方程，得 R=545.所以，这段弯路的半径为 545m.【强化训练】 11400 年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 米，拱高
6、（即弧的中点到弦的距离）为 7.2 米，求桥拱所在圆的半径 （结果精确到 0.1 米） 3随堂练习 2如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；来源:gkstk.Com（3）圆心在平行弦内【归纳总结 】学生交流总结1利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.【板书设计】 标题【教学反思】 1要从培养学生学习方法的角度使用教材教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当
7、调整学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力2要鼓励学生敢于表述和善于纠错垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会因此，应该让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼3注意改进的方面本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网 gkstk
