1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学（理工类）一、填空题(本大题满分 48 分,每小题 4 分)1若 tg = ,则 tg( + )= .22设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为 x=1,则它的焦点坐标为 .3设集合 A=5,log2(a+3),集合 B=a,b.若 AB=2,则 AB= .4设等比数列 an(nN)的公比 q= ,且 (a1+a3+a5+a2n-1)= ,则 a1= .2nlim385设奇函数 f(x)的定义域为5,5.若当 x0,5时,f(x)的图象如右图,则不等式 f(x)3 时,关于 x 的方程 f(x)= f(a) 有三个实数解.21(本题满分
2、 16 分) 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分如图，PABC 是底面边长为 1 的正三棱锥,D、E、F 分别为棱长 PA、PB、PC 上的点, 截面 DEF底面 ABC, 且棱台 DEFABC 与棱锥 PABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1)证明：PABC 为正四面体；(2)若 PD= PA, 求二面角 DBCA 的大小；(结果用反三角函数值表示)21(3)设棱台 DEFABC 的体积为 V, 是否存在体积为 V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台 DEFABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个
3、直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22(本题满分 18 分) 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 4 分.设 P1(x1,y1), P1(x2,y2), Pn(xn,yn)(n3,nN) 是二次曲线 C 上的点, 且 a1= 2, OPa2= 2, , an= 2构成了一个公差为 d(d0) 的等差数列, 其中 O 是坐标原点. 记OSn=a1+a2+an.(1)若 C 的方程为 =1,n=3. 点 P1(10,0) 及 S3=255, 求点 P3的坐标； (只需2510yx写出一个)(2)若 C 的方程为 (ab0). 点 P1(a,0),
4、 对于给定的自然数 n, 当公差 d2byx变化时, 求 Sn的最小值；(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点 P1, P2,，P n存在的充要条件,并说明理由.符号意义 本试卷所用符号 等同于实验教材符号向量坐标 =x,ya=(x,y)a正切 tg tan2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（理工类） （上海卷）一、填空题(本大题满分 48 分,每小题 4 分)13 2(5,0) 31,2,5 42 5(2,0)(2,5 6(5,4)7 5128( x2) 2+(y+3)2=5 9 10 a0 且 b0 11用代
5、数的方法研究图形的几何1性质 12、二、选择题(本大题满分 16 分,每小题 4 分)13B 14C 15A 16B三、解答题(本大题满分 86 分)17 【解】由题意得 z1= =2+3i, 于是 = = , =521zia44)(2a1z.13由 0, 得( x a1)( x2 a)2a, B=(2 a,a+1).B A, 2 a1 或 a+11, 即 a 或 a2, 而 a0),它的图象与直线 y=x 的交点分别为xkA( , )B( , )k由 =8,得 k=8,. f2(x)= .故 f(x)=x2+ .ABx8x8(2) 【证法一】 f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ , a
6、即 = x2+a2+ .8在同一坐标系内作出 f2(x)= 和x8f3(x)= x2+a2+ 的大致图象,其中 f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、a三象限的双曲线, f3(x)的图象是以(0, a2+ )为顶点,开口向下的抛物线.8因此, f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即 f(x)=f(a)有一个负数解. 又 f2(2)=4, f3(2)= 4+ a2+ 8当 a3 时,. f3(2) f2(2)= a2+ 80,8当 a3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2)在 f2(x)图象的上方. f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个
7、交点,即 f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程 f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由 f(x)=f(a),得 x2+ =a2+ ,8即( x a)(x+a )=0,得方程的一个解 x1=a.方程 x+a =0 化为 ax2+a2x8=0, 由 a3,= a4+32a0,得8x2= , x3= ,a4324 x20, x1 x2,且 x2 x3.若 x1= x3,即 a= ,则 3a2= , a4=4a,44得 a=0 或 a= ,这与 a3 矛盾, x1 x3.故原方程有三个实数解.21 【证明】(1) 棱台 DEFABC 与棱锥 PABC 的棱长和相等,DE+EF+FD=PD+
8、PE+PF. 又截面 DEF底面 ABC,DE=EF=FD=PD=PE=PF,DPE=EPF=FPD=60, PABC 是正四面体.【解】(2)取 BC 的中点 M,连接 PM,DM.AM.BCPM,BCAM, BC平面 PAM,BCDM,则DMA 为二面角 DBCA 的平面角.由(1)知,PABC 的各棱长均为 1,PM=AM= ,由 D 是 PA 的中点,得23sinDMA= ,DMA=arcsin .AM3(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台 DEFABC 的棱长和为定值 6,体积为 V.设直平行六面体的棱长均为 ,底面相邻两边夹角为 ,21则该六面体棱长和为 6, 体积为 sin =
9、V.8正四面体 PABC 的体积是 ,0b0)上各点的最小距离为 b,最12byax大距离为 a. a 1= 2=a2, d0 S n=na2+ d 在 ,0)上递增,2nb)(n)1(nab故 Sn的最小值为 na2+ = .)1(2b)(b【解法二】对每个自然数 k(2kn),x +y =a2+(k1)kd由+ =12akby,解得 y =2k2)1(bad00.原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h ,+,且 =a2,1O点 P1, P2,，P n存在当且仅当 2 2,即 d0.n1P【解法二】若抛物线 C:y2=2Px,点 P1(0,0),则对于给定的 n, 点 P1, P2,Pn存在的充要条件是 d0.理由同上【解法三】若圆 C:(x a)2+y2=a2(a0 ), P1(0,0),则对于给定的 n, 点 P1, P2,，P n存在的充要条件是 00 且 2=(n1)d4 a2.即 0d . 即 1PnP14n.1402nad
