1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试天津理科数学1.(2016 天津,理 1)已知集合 A=1,2,3,4,B=y|y=3x-2,xA,则 AB=( )A.1 B.4 C.1,3 D.1,4答案 D 由题意知集合 B=1,4,7,10,则 AB=1,4.故选 D.2.(2016 天津,理 2)设变量 x,y 满足约束条件 则目标函数 z=2x+5y 的最小值为( )-+20,2+3-60,3+2-90,A.-4 B.6 C.10 D.17答案 B 如图,作出变量 x,y 满足约束条件表示的 可行域 ,为三角形 ABC 及其内部,点 A,B,C 的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3)
2、.由图可知,将 z=2x+5y 变形为 y=- x+ ,可知当 y=- x+ 经过点 B 时,z 取 最小值 25 5 25 56.故选 B.3.(2016 天津,理 3)在ABC 中,若 AB= ,BC=3,C=120,则 AC=( )13A.1 B.2 C.3 D.4答案 A 由 余弦定理 得 13=9+AC2+3ACAC=1.故选 A.4.(2016 天津,理 4)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 依次循环 :S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,满足条件, 结束循环 ,输出 S=4.故选 B.5.(2016 天
3、津,理 5)设 an是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲2422线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为( )A. =1 B. =124324 24423C. =1 D. =12424 24212答案 D 根据 对称性 ,不妨设点 A 在第一象限,其坐标为( x,y),于是有 则2+2=4=2 = 42+4,= 42+42,xy= b2=12.故所求双曲线的方程为 =1,故选 D.162+42=2 242127.(2016 天津,理 7)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形,点
4、D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为( )A.- B. C. D.58 18 14 118答案 B 设 =a, =b,则 (b-a), (b-a), =- a+ (b-a)=- a+ b.故 =12=12 =32=34 =+12 34 54 34=- ab+ b2=- ,应选 B.54 34 58+34=188.(2016 天津,理 8)已知函数 f(x)= (a0,且 a1)在 R 上单调递减,且关于 x2+(4-3)+3,0 时,解得 a1.34又 a , a .13,34 13,34) 方程有一负根 x0 和一零根,则有 x00
5、=3a-2=0,解得 a= .23此时 x0+0=2-4a=- f(- ),则 a 的取值范围是 . 2答案 (12,32)解析 由题意知函数 f(x)在区间(0,+ )上 单调递减 ,又 f(x)是 偶函数 ,则不等式 f(2|a-1|)f(- )可化为2f(2|a-1|)f( ),则 2|a-1| 0)的焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的=22,=2垂线,垂足为 B.设 C ,AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2 |AF|,且ACE 的面积为 3 ,则 p 的值为 .(72,0) 2答案 6解析 由题意知 抛物线的普通方程 为 y2=2px,焦点为 F ,|CF
6、|= p- =3p,又|CF|=2|AF| ,则|AF|= p.(2,0) 722 32由 抛物线的定义 得|AB|= p,所以 xA=p,则 yA= p.32 2由 CFAB,得 ,即 =2,所以 SCEF=2SCEA=6 ,SACF=SAEC+SCFE=9 .所以= 2 23p p=9 ,解得 p= .又知 p0,所以 p= .12 2 2 6 615.(2016 天津,理 15)已知函数 f(x)=4tan xsin cos .(2-) (-3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性.-4,4解 (1)f(x)的 定义域 为 .|2+, f(x
7、)=4tanxcosxcos(-3) 3=4sinxcos(-3) 3=4sinx(12+32) 3=2sinxcosx+2 sin2x- =sin2x+ (1-cos2x)- =sin2x- cos2x=2sin ,3 3 3 3 3 (2-3)所以,f(x )的 最小正周期 T= =.22(2)令 z=2x- ,函数 y=2sinz 的单调递增区间 是 ,kZ.由- +2k2x-3 -2+2,2+2 2+2k,得- +kx +k,kZ .设 A= ,B= ,易知32 12 512 -4,4 |-12+512+, AB= .所以,当 x 时,f (x)在区间 上单调递增 ,在区间 上单调递减
8、.-12,4 -4,4 -12,4 -4,-1216.(2016 天津,理 16)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动 ,已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4,现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.(1)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率;(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列和数学期望.解 (1)由已知,有 P(A)= .1314+23210=13所以,事件 A 发生的 概率 为 .13(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X=0)=
9、,23+23+24210=415P(X=1)= ,1313+1314210=715P(X=2)= .1314210=415所以, 随机变量 X 的分布列 为X0 1 2P 415715415随机变量 X 的数学期望 E(X)=0 +1 +2 =1.415 715 41517.(2016 天津,理 17)如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点 ,AB=BE=2.(1)求证:EG 平面 ADF;(2)求二面角 O-EF-C 的正弦值;(3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH= HF,求直线 BH 和平面 CEF 所
10、成角的正弦值.23解 依题意,OF平面 ABCD,如图 ,以 O 为原点,分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,依题意可得 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)证明:依题意, =(2,0,0), =(1,-1,2). 设 n1=(x,y,z)为平面 ADF 的 法向量 ,则 1=0,1=0,即 2=0,-+2=0.不妨设 z=1,可得 n1=(0,2,1),又 =(0,1,-2),可得 n1=0, 又因为直线 EG平面 ADF,所以 E
11、G平面 ADF.(2)易证, =(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量.依题意, =(1,1,0), =(-1,1,2). 设 n2=(x,y,z)为平面 CEF 的法向量,则 2=0,2=0,即 +=0,-+2=0.不妨设 x=1,可得 n2=(1,-1,1).因此有 cos= =- ,2|2| 63于是 sin= .33所以,二面角 O-EF-C 的正弦值为 .33(3)由 AH= HF,得 AH= AF.23 25因为 =(1,-1,2),所以 ,=25=(25,-25,45)进而有 H ,从而 ,(-35,35,45) =(25,85,45)因此 cos= =- .2|2| 72
12、1所以,直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 .72118.(2016 天津,理 18)已知 an是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的 nN *,bn 是 an 和 an+1的等比中项.(1)设 cn= ,nN *,求证:数列c n是等差数列;2+12(2)设 a1=d,Tn= (-1)k ,nN *,求证: .2=1 2 =11 )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 ,其中 O 为22+23 3 1|+1|=3|原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴
13、交于点 H.若 BFHF ,且MOA MAO,求直线 l 的斜率的取值范围.解 (1)设 F(c,0),由 ,1|+1|=3|即 ,可得 a2-c2=3c2,1+1= 3(-)又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4.所以, 椭圆的方程 为 =1.24+23(2)设直线 l 的斜率为 k(k0),则直线 l 的方程为 y=k(x-2).设 B(xB,yB),由方程组 24+23=1,=(-2)消去 y,整理得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得 x=2,或 x= ,82-642+3由题意得 xB= ,从而 yB= .82-642+3 -1242+3由(1)
14、知,F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH), .=(9-4242+3, 1242+3)由 BFHF ,得 =0,所以 =0,解得 yH= .42-942+3+1242+3 9-4212因此直线 MH 的方程为 y=- x+ .1 9-4212设 M(xM,yM),由方程组 消去 y,=(-2),=-1+9-4212解得 xM= .202+912(2+1)在MAO 中,MOAMAO|MA|MO|,即(x M-2)2+ ,化简得 xM1,即 1,解得 k- ,或 k .22+2 202+912(2+1) 64 64所以, 直线 l 的斜率的取值范围 为 .(-,-6464,+)20
15、.(2016 天津,理 20)设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,xR,其中 a,bR.(1)求 f(x)的单调区间 ;(2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1x0,求证: x1+2x0=3;(3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证 :g(x)在区间0,2 上的最大值不小于 .14(1)解 由 f(x)=(x-1)3-ax-b,可得 f(x)=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论: 当 a0 时,有 f(x)=3(x-1)2-a0 恒成立,所以 f(x)的单调递增区间 为(-,+ ). 当 a0 时,令 f(x)=0,解得 x=1+ ,或 x
16、=1- .33 33当 x 变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:x-,(1- 33)1-33 ,(1- 331+33)1+33(1+33, +)f(x)+ 0 - 0 +f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以 f(x)的单调递减区间 为 ,单调递增区间 为 .(1-33,1+33) (-,1- 33),(1+33,+)(2)证明 因为 f(x)存在极值点 ,所以由(1) 知 a0,且 x01.由题意,得 f(x0)=3(x0-1)2-a=0,即( x0-1)2= ,进3而 f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=- x0- -b.23 3又 f(3-2x0)=(2
17、-2x0)3-a(3-2x0)-b= (1-x0)+2ax0-3a-b=- x0- -b=f(x0),83 23 3且 3-2x0x0,由题意及(1)知,存在唯一实数 x1 满足 f(x1)=f(x0),且 x1x0,因此 x1=3-2x0.所以 x1+2x0=3.(3)证明 设 g(x)在区间0,2上的最大值 为 M,maxx,y表示 x,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论: 当 a3 时,1- 0f =f34 233 233 (1-233) (1+33) (1+233),(1-33)所以 f(x)在区间0,2 上的取值范围 为 f(0),f(2),因此 M=max|f(0)|,|f(2)|=max|-1-b|,|1-2a-b|=max|1-a+(a+b)|,|1-a-(a+b)|=1-a+|a+b| .14综上所述,当 a0 时,g(x )在区间0,2上的最大值不小于 .14
