1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学1.(2016 北京,理 1)已知集合 A=x|x|y0,则( )A. 0 B.sin x-sin y011C. 0(12)(12)答案 C 由 xy0,得 ,即 y0 及正弦函数的 单调性 ,可知 sinx-10 不一定成立,故选项 B 不正确;由 0y0,可知 ,即 y0,得 xy0,xy 不一定大于 1,故 lnx+lny=lnxy0 不一定成立 ,故选项 D 不正确.故选 C.6.(2016 北京,理 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.16B.13C.12D.1答案 A 由 三视图 可得,三棱锥的直观图如图
2、,则该三棱锥的体积 V= 111= ,故选 A.1312 167.(2016 北京,理 7)将函数 y=sin 图象上的点 P 向左平移 s(s0)个单位长度得到点 P.若 P(2-3) (4,)位于函数 y=sin 2x 的图象上,则( )A.t= ,s 的最小值为 B.t= ,s 的最小值为12 6 32 6C.t= ,s 的最小值为 D.t= ,s 的最小值为12 3 32 3答案 A 设 P(x,y).由题意得,t=sin ,且 P的纵坐标与 P 的纵坐标相同,即 y= .又 P在函(24-3)=12 12数 y=sin2x 的图象上,则 sin2x= ,故点 P的 横坐标 x= +k
3、 或 +k(kZ),由题意可得 s 的最小值12 12 512为 .412=68.(2016 北京,理 8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B 若乙盒中放入的是红球 ,则须保证抽到的两个均是红球; 若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的
4、是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球 ,则须保证抽到的两个球都是黑球; 又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选 B.9.(2016 北京,理 9)设 aR,若复数(1 +i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= . 答案 -1解析 (1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR, a+1=0,即 a=-1.10.(2016 北京,理 10)在(1 -2x)6 的展开式中,x 2 的系数为 .(用数字作答) 答案 60解析 二项展开
5、式的通项 Tr+1= 16-r(-2x)r=(-2)r xr, x2 的 系数 为(-2) 2 =60.6 6 2611.(2016 北京,理 11)在极坐标系中,直线 cos - sin -1=0 与圆 =2cos 交于 A,B 两点,则|AB|= .答3案 2 解析 直线 cos- sin-1=0 化为 直角坐标方程 为 x- y-1=0,圆 =2cos 化为 直角坐标方程 为3 3(x-1)2+y2=1,可知圆心 (1,0)在直线 x- y-1=0 上,故|AB|= 2.312.(2016 北京,理 12)已知 an为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0,则
6、S6= . 答案 6解析 an是 等差数列 , a3+a5=2a4=0. a4=0. a4-a1=3d=-6. d=-2. S6=6a1+15d=66+15(-2)=6.13.(2016 北京,理 13)双曲线 =1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点2222B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a= . 答案 2解析 四边形 OABC 是正方形, AOB=45, 不妨设直线 OA 的方程即双曲线的一条 渐近线 的方程为 y=x. =1,即 a=b.又|OB|=2 , c=2 . a2+b2=c2,即 a2+a2=(2 )2,可得 a
7、=2. 2 2 214.(2016 北京,理 14)设函数 f(x)=3-3,-2,. (1)若 a=0,则 f(x)的最大值为 ; (2)若 f(x)无最大值 ,则实数 a 的取值范围是 . 答案 (1)2 (2)(-,-1)解析 令 g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由 g(x)=3x2-3=0,得 x=1.可判断当 x=1 时,函数 g(x)的 极小值 为- 2;当x=-1 时,函数 g(x)的 极大值 为 2,且 g(x)与 x 轴的交点为(- ,0),(0,0),( ,0).又 g(x)与 (x)图象的交3 3点为 A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数 g(
8、x)与 (x)的大致图象如图所示.(1)当 a=0 时,f(x )= 可知 f(x)的最大值是 f(-1)=2;3-3,0,-2,0, (2)由图象知,当 a-1 时,f(x )有最大值 f(-1)=2;当 a= =- .| 33所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的 正弦值 为 .33(3)设 M 是棱 PA 上一点,则存在 0,1使得 = .因此点 M(0,1-,), =(-1,-,).因为 BM平面 PCD,所以 BM平面 PCD 当且仅当 n=0,即(-1,-,)(1, -2,2)=0.解得 = .14所以在棱 PA 上 存在 点 M 使得 BM平面 PCD,此时 .=1418.(2
9、016 北京,理 18)设函数 f(x)=xea-x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2) 处的切线方程为 y=(e-1)x+4.(1)求 a,b 的值;(2)求 f(x)的单调区间 .解 (1)因为 f(x)=xea-x+bx,所以 f(x)=(1-x)ea-x+b.依题设, (2)=2+2,(2)=-1,即 2-2+2=2+2,-2+=-1, 解得 a=2,b=e.(2)由(1)知 f(x)=xe2-x+ex.由 f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x0 知,f( x)与 1-x+ex-1 同号 .令 g(x)=1-x+ex-1,则 g(x)=-1+ex-1.所以,当 x
10、(-,1)时,g( x)0,g(x)在区间(1,+ )上 单调递增 .故 g(1)=1 是 g(x)在区间( -,+)上的 最小值 ,从而 g(x)0,x(- ,+).综上可知,f (x)0,x(-,+).故 f(x)的单调递增区间为(-,+).19.(2016 北京,理 19)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB 的面积为22+22 321.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证: |AN|BM|为定值.解 (1)由题意得 解得 a=2,b=1
11、.=32,12=1,2=2+2,所以椭圆 C 的 方程 为 +y2=1.24(2)由(1)知,A(2,0), B(0,1).设 P(x0,y0),则 +4 =4.20 20当 x00 时,直线 PA 的方程 为 y= (x-2).00-2令 x=0,得 yM=- ,200-2从而|BM|=|1-y M|= .|1+200-2|直线 PB 的方程 为 y= x+1.0-10令 y=0,得 xN=- ,00-1从而|AN|=| 2-xN|= .|2+00-1|所以|AN| |BM|=|2+00-1|1+200-2|=|20+420+400-40-80+400-0-20+2 |= =4.|400-4
12、0-80+800-0-20+2|当 x0=0 时,y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN| |BM|=4.综上,|AN| |BM|为定值.20.(2016 北京,理 20)设数列 A:a1,a2,aN(N2).如果对小于 n(2nN)的每个正整数 k 都有 aka1,则 G(A);(3)证明:若数列 A 满足 an-an-11( n=2,3,N),则 G(A)的元素个数不小于 aN-a1.解 (1)G(A)的元素为 2 和 5.(2)因为存在 an 使得 ana1,所以iN *|2 iN,a ia1.记 m=miniN *|2iN,a ia1,则 m2,且对 任意正整数 ka1.由(2)知 G(A).设 G(A)=n1,n2,np,n1 .如果 Gi,取 mi=minGi,则对任何 1km i,ak .从而 miG(A )且 mi=ni+1,又因为 np 是 G(A)中的 最大元素 ,所以 Gp=.从而对任意 npkN,a k ,特别地,a N . 对 i=0,1,p-1, .+1-1因此 +( ) +1.+1=+1-1 +1+1-1 所以 aN-a1 -a1= )p.=1(-1因此 G(A)的元素个数 p 不小于 aN-a1.
