1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学1.(2016 四川,理 1)设集合 A=x|-2x 2, Z 为整数集,则集合 AZ 中元素的个数是( )A.3 B.4 C.5 D.6答案 C 由 题意,AZ= -2,-1,0,1,2 ,故其中的元素个数为 5,选 C.2.(2016 四川,理 2)设 i 为虚数单位 ,则( x+i)6 的展开式中含 x4 的项为( )A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4答案 A 二项式(x+ i)6 展开的 通项 Tr+1= x6-rir ,则其展开式中含 x4 是当 6-r=4,即 r=2,则展开式中6含 x4 的项为 x4
2、i2=-15x4,故选 A.263.(2016 四川,理 3)为了得到函数 y=sin 的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点( )(2-3)A.向左平行移动 个单位长度3B.向右平行移动 个单位长度3C.向左平行移动 个单位长度6D.向右平行移动 个单位长度6答案 D 由题意,为得到 函数 y=sin = (2-3)sin ,只需把函数 y=sin2x 的图象上所有点向 右平行移动 个单位长度,故选 D.2(-6) 64.(2016 四川,理 4)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数 ,其中奇数的个数为( )A.24 B.48 C.60 D.72答案 D 由题
3、意,要组成没有重复的五位奇数 ,则 个位数应该为 1,3,5 ,其他位置共有 种排法,所以44其中奇数的个数为 3 =72,故选 D.445.(2016 四川,理 5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入 .若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年答案 B 设从 2015 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过
4、 200 万元,由已知得 130(1+12%)n200 , 1.12n ,两边取常用对数得 nlg1.12lg ,200130 200130 n =3.8.2-1.31.120.30-0.110.05 n4,故选 B.6.(2016 四川,理 6)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( )A.9 B.18 C.20 D.35答案 B 程序运行如下 n=3,x=2v=1,i= 20v= 1
5、2+2=4,i=1 0v= 42+1=9,i=00v=92+ 0=18,i=-10)上任意一点,M 是线段 PF上的点,且|PM|=2|MF| ,则直线 OM 的斜率的最大值为( )A. B. C. D.133 23 22答案 C 设 P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设 t0),F ,(2,0)则 .=(22-2,2),=(-2,) ,=13 -2=232-6,=23, =232+3,=23. kOM= , 222+1= 1+121212=22当且仅当 t= 时等号成立. 22 (kOM)max= ,故选 C.229.(2016 四川,理 9)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)
6、= 图象上点 P1,P2 处的切线,l 1 与 l2 垂直-,01 相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则PAB 的面积的取值范围是( )A.(0,1) B.(0,2)C.(0,+) D.(1,+)答案 A 设 P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2)(不妨设 x11,01, SPAB= |yA-yB|xP|= =1.12 211+210.85,而前 5 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730). =则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入 中,有 ,变形可得 sinAsinB=sinAcosB+cosAs
7、inB= += +=sin(A+B). 在ABC 中,由 A+B+C=,有 sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以 sinAsinB=sinC.(2)由已知,b 2+c2-a2= bc,65根据余弦定理,有 cosA= , 2+2-22=35所以 sinA= .1-2=45由(1),sinA sinB=sinAcosB+cosAsinB,所以 sinB= cosB+ sinB,故 tanB= =4.45 45 35 18.(2016 四川,理 18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD BC,ADC=PAB= 90,BC=CD= AD,E 为棱 AD12的中点,异面直线 PA 与
8、CD 所成的角为 90.(1)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM平面 PBE,并说明理由;(2)若二面角 P-CD-A 的大小为 45,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.解 (1)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M平面 PAB),点 M 即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且 BC=ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CMEB.又 EB平面 PBE,CM平面 PBE, 所以 CM平面 PBE.(说明:延长 AP 至点 N,使得 AP=PN,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)方法一:由已知,CD
9、PA ,CDAD,PAAD=A,所以 CD平面 PAD.从而 CDPD.所以PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角,所以PDA= 45.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.过点 A 作 AH CE,交 CE 的延长线于点 H,连接 PH.易知 PA平面 ABCD,从而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面 PCE平面 PAH.过 A 作 AQPH 于 Q,则 AQ平面 PCE. 所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角. 在 RtAEH 中,AEH=45,AE=1,所以 AH= .22在 RtPAH 中,PH= ,2+2=322所以 sinAPH= .=13方法二
10、:由已知,CDPA,CD AD,PAAD=A,所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.从而PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角.所以PDA= 45.由 PAAB,可得 PA平面 ABCD.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.作 Ay AD,以 A 为原点,以 的方向分别为 x 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐,标系 A-xyz,则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0).所以 =(1,0,-2), =(1,1,0), =(0,0,2). 设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z).由 =0,=0,得 -2=0,+=0.设 x=
11、2,解得 n=(2,-2,1).设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ,则 sin= .|= 2222+(-2)2+12=13所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 .1319.(2016 四川,理 19)已知数列a n的首项为 1,Sn 为数列a n的前 n 项和,S n+1=qSn+1,其中 q0,nN *.(1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列a n的通项公式;(2)设双曲线 x2- =1 的离心率为 en,且 e2= ,证明: e1+e2+en .22 53 4-33-1解 (1)由已知, Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到 an+
12、2=qan+1,n 1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1,故 an+1=qan 对所有 n1 都成立 .所以,数列a n是首项为 1,公比为 q 的等比数列.从而 an=qn-1.由 2a2,a3,a2+2 成等差数列,可得 2a3=3a2+2,即 2q2=3q+2,则(2q+1)( q-2)=0,由已知,q0,故 q=2.所以 an=2n-1(n N*).(2)由(1)可知,a n=qn-1.所以双曲线 x2- =1 的离心率 en= .22 1+2=1+2(-1)由 e2= ,解得 q= .1+2=53 43因为 1+q2(k-1)q2(k-1),所以 qk-1(kN *).1
13、+2(-1)于是 e1+e2+en1+q+qn-1= , -1-1故 e1+e2+en .4-33-120.(2016 四川,理 20)已知椭圆 E: =1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三22+22个顶点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标 ;(2)设 O 是坐标原点 ,直线 l平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,且与直线 l 交于点 P,证明:存在常数 ,使得|PT| 2=|PA|PB|,并求 的值.解 (1)由已知,a= b,则椭圆 E 的方程为 =1.2222+22由方程组 得 3x2-12x+(18-2b2)=0. 222+22=1,=-+3,方程 的判别式为 =24(b2-3),由 =0,得 b2=3,此时方程 的解为 x=2,所以椭圆 E 的方程为 =1,点 T 坐标为(2,1) .26+23(2)由已知可设直线 l的方程为 y= x+m(m0),12由方程组 可得=12+,=-+3, =2-23,=1+23.所以 P 点坐标为 ,|PT|2= m2.(2-23,1+23) 89设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2).
