1、习题课 导数的应用,第3章 导数及其应用,学习目标,1.能利用导数研究函数的单调性. 2.理解函数的极值、最值与导数的关系. 3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的单调性与其导数的关系,定义在区间(a，b)内的函数yf(x),增,减,知识点二 求函数yf(x)的极值的方法,解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,知识点三 函数yf(x)在a，b上最大
2、值与最小值的求法,1.求函数yf(x)在(a，b)内的极值. 2.将函数yf(x)的 与端点处的函数值 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值.,极值,f(a)，f(b),最大,最小,3.设函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则c2.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 导数与函数单调性,命题角度1 讨论函数单调性 例1 已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系； 解 依题意得g(x)ln xax2bx，,解答,由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得g(1)
3、12ab0，b2a1.,解答,(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性.,由g(x)0得0x1，由g(x)0得x1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；,即函数g(x)在(0，)上单调递增. 综上可得，当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；,反思与感悟 研究含参数的函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,解答,跟踪训练1 讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.,解 f(x)的定义域为(0，)，,当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减
4、；,综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；,解答,命题角度2 由函数单调性求参数范围 例2 已知函数f(x)x3ax1. (1)讨论f(x)的单调性；,解 f(x)3x2a. 当a0时，f(x)0， 所以f(x)在(，)上为增函数.,综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；,解答,(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围. 解 因为f(x)在(，)上是增函数， 所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立. 因为3x20，所以只需a0. 又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0
5、，即a的取值范围为(，0.,解答,引申探究 1.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围. 解 因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数， 所以f(x)0在(1，)上恒成立， 即3x2a0在(1，)上恒成立， 所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3， 即a的取值范围为(，3.,解答,2.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围. 解 由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立. 因为1x1，所以3x23，所以a3. 即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.,解答,3.
6、函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值.,解 由例题可知，,解答,4.函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.,解 f(x)x3ax1，f(x)3x2a.,f(x)在区间(1,1)上不单调，,反思与感悟 f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,解答,故a的取值范围是3，).,类型二 利用导数研究函数的极值与最值,例3 已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行. (1)
7、求函数f(x)的解析式； 解 因为f(x)3x22ax，曲线在点P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a， 即32a3，a3. 又函数过(1,0)点，即2b0，b2. 所以a3，b2，f(x)x33x22.,解答,(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；,解答,解 由f(x)x33x22，得f(x)3x26x. 由f(x)0，得x0或x2. 当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22. 当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)minf(2)2， f(
8、x)max为f(0)与f(t)中较大的一个. 因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0， 所以f(x)maxf(0)2.,解答,(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.,解 令g(x)f(x)cx33x22c， 则g(x)3x26x3x(x2). 当x1,2)时，g(x)0. 要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，,即实数c的取值范围为(2,0.,反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间
9、上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.,解答,跟踪训练3 已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称. (1)求a，b的值；,解 函数f(x)的图象关于原点成中心对称， 则f(x)是奇函数， f(x)f(x)， 即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb， 于是2(a1)x22b0恒成立，,解答,(2)求f(x)的单调区间及极值； 解 由(1)得f(x)x348x， f(x)3x2483(x4)(x4)， 令f(x)0，得x14，x24； 令f(x)0，得x4. f(x)的
10、单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)， f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.,解答,(3)当x1,5时，求函数的最值. 解 由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增， 则f(4)128，f(1)47，f(5)115， 函数的最大值为47，最小值为128.,达标检测,1.已知函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_.,答案,1,2,3,4,5,解析,(0,1),1,2,3,4,5,答案,解析,2.已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，则此函数在2,2上的最小值为_.,37,解析 f(x)6
11、x212x6x(x2)， f(x)在x0,2上单调递减，在2,0上单调递增， f(x)的最大值为f(0)m3， f(x)的最小值为f(2)1624337.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,由函数f(x)在(2，)内单调递减， 知 f(x)0在(2，)内恒成立，,4.已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为_.,解析 因为函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4， 所以函数g(x)ax3bx在0,1上的最大值为2， 而g(x)是奇函数，所以g(x)在1,0上的最小值为2， 故f(x)在1,0上的最小值为221,1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知aR，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则实数a的取值范围为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,(，1),解析 因为yexax，所以yexa. 令y0，即exa0，则exa，即xln(a)， 又因为x0，所以a1，即a1.,导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,规律与方法,
