1、第二章 极限与连续 本章我们将研究函数在自变量按某种方式变化的过程中，因变量随之而变的变化趋势，从而引出极限的概念我们先阐明整标函数，即数列的极限概念，再比照数列极限，讲述函数极限及其性质然后在此基础上讨论函数的连续性2.1 数列极限1. 数列极限的定义一个以正整数集(记作 N )为定义域的函数， N(nfy称为整标函数当自变量 按正整数增大的顺序依次取值时，我们特别把对应的函数值 记作 ，所得到的一列有序的数)(nf ),3 21( an , 2na就称为数列，记作 ，其中的每一个数称为这数列的项， 称为它的一般项或通 n na项例如整标函数 所对应的数列分别为nnn)1( ,)(1 ,23
2、1； (1.1) , ,84 ,n； (1.2) ,)1( ,3 ,21； (1.3) , ,7 8,3n (1.4) )1(1战国时代哲学家庄周所著的庄子天下篇中有句名言：“一尺之棰，日取之半，万世不竭 ”也就是说，一根长为一尺的棒头，每天截去一半，这样的过程可以一直进行下去把每天截后剩下部分的长度记录下来(单位为尺)，所得到的数列就是(1.1)不难看出，当 不断增大时，数列(1.1)无限地接近于 0但是，不论 多么大， 总不等n nn21于 0 (万世不竭)考察数列(1.2)，随着 的无限增大，一般项 无限地接近nn1)( 于 这两个数列其实也反映了一类数列的某种公共特性，即对于数列 ，存
3、在某1 a个常数 ，随着 的无限增大， 无限地接近于这个常数 换句话说，要使 与annaan的差的绝对值 任意地小，只要正整数 足够地大我们称这类数列为收敛数 n列， 为它的极限我们用 表示任意小的正数，N 表示足够大的正整数，运用 N 的数量关系就能对数列极限作如下确切的阐述：定义 1.1.1( N 定义) 设 是一个数列， 是一个确定的数，若对任给的正 naa数 ，相应地存在正整数 N，使得当 N 时，总有 ， n则称数列 收敛于 a， 称为它的极限，记作 n或 nlim)( nan如果数列 没有极限，则称它是发散的或发散数列 n对于数列极限定义我们应注意体会以下几点：(1) 的任意性 是
4、任意给定的正数，用来衡量 与 接近的程度只有 na任意小( 一般总认为 1)才能使不等式 精确地刻画出 无限接近于 的 ana实质但 除了它的任意性还具有相对的固定性， 一经给出，就应暂时看作固定的，以便根据它来求 N (2) N 的存在性 N 是与 有关的正整数，用来刻画保证不等式 an成立需要 n 有多大的程度一般说来， 给得愈小，所需要的 N 愈大因此通常也把 N 写成 N ，来强调 N 依赖于 的关系但这种写法并不意味着 N 是由 所唯)( 一确定的因为对给定的 ，若 N 是一个能满足要求的正整数，则任何一个大于 N的正整数 N+1,N+2,自然也都能满足要求定义中的正整数 N 也不一
5、定要求是最小的一个，重要的是它的存在性因此，当我们直接解不等式 求 N 感到困 an难时，可以考虑适当放大 ，使得放大后的式子仍能随 n 的无限增大而任意地 an4a212Na1Na53a 小，并且放大后的式子比较简单，由它容易求出 N(3) N 的简明图形 如果用数轴上的点来表示收敛数列 的各项，就不难 na发现：对于 的任何 邻域 )(无论多么小)，总存在正整数 N，使得所有下标大a,(aU于 N 的一切 ，即点 都落在邻域 )内，而只有有限个点( 至多 n 21N,UN 个)在这邻域之外( 图 21) ( ) x图 21顺便指出，利用数列的简明图形不难推测数列(1.3)： 与(1.4):
6、 都是3n)1(n发散的，因为它们不是几乎全体的点(至多有限个点除外)都能聚集在某一个点的任意小邻域内下面举例说明怎样根据 N 定义验证数列极限例 1 证明 1)(1limnn证 任给 ，取 N= ，则 N 时有 , 随之就有01n1)(1n所以)(lim1nn例 2 证明 021lin证 任给 ，要使 ，只要 ,或 ，取 N ,nn21n2112loglog12则当 N 时，就有n 0n所以21limn例 3 证明 1lim2nan证 任给 ，由于0，nan2222 )( 要使 ,只要 , 或 取 ，则当 N 时，就1 2nana2a2N有 12所以1lim2nan例 4 证明 1lin证：
7、 令 ，则 ，且当 时0n2，2)1(!)1()( nnnn 从而有120n因此任给 0，可取 N ,则当 N 时，就有, max2n 1 1 nn所以limn例 4 在放大过程中，先取 ，使不等式得以简化，然后在确定 N 时考虑这个2条件，而取 N ，这是一种常用的简化方法 ,2ax2. 收敛数列的性质定理 2.1.1（唯一性）若数列 收敛，则它的极限是唯一的na 证：用反证法假设当 时同时有 及 ，且 取 ，nanbna2ab根据 N 定义，应分别存在正整数 N 及 N ，使得当 N 时有 121； (1.5) ban而当 N 时有n2(1.6)2 bn今取 N N ,N ，则当 N 时，
8、(1.5)，(1.6)两式同时成立但由(1.5)有max12，而由(1.6)又有 ，这是一个矛盾所以收敛数列的极限是唯一2bnan的定理 2.1.2 (有界性) 若数列 收敛，则它是有界的，即存在正数 M，使对一n 切正整数 ，总有 Mnna证：设 根据极限定义，当取 =1 时，应存在相应的 N，使对一切正lim数 N，总有 ，即1 n1 aaann 令 M ，则对一切正整数 ，都有 ,ax21N nMn所以 是有界数列n 利用收敛数列的有界性容易推出数列 是发散数列3 n因为对任给 M 0,总有 N ,使 M所以 是无界数列，故由定理1n13 n2.1.2 即知它是发散的但有界性只是数列收敛
9、的必要条件，并非充分条件例如数列 有界，但它n)1( 并不收敛定理 2.1.3（保号性） ，则对任意一个满足不等式)0( lim或an的 ，存在正整数 N，使得当 N 时，总有0ra)0(ra或0rn )(rn或证 设 ，取 ， 由数列极限定义，应存在正整数 N，使得当 N 时，0ara n总有n由上式左边的不等式即得0)(ran类似证明 的情形0a定理 2.1.4 (四则运算法则) 若 和 是收敛数列，则 ， ，n b nba n 也都是收敛数列，且有nb (1) ；nnnabalimli)(lim(2) n b如果 ，且 ，则 也是收敛数列，而且0b0linbn(3) nnalimli证：
10、我们只证(2)的情形，(1) 与(3)的证明留作练习设 ， 由于anlibnli，)()(abann故有 )( babbnnn根据收敛数列的有界性，存在正数 M，对一切正整数 有 nM 任给 ，由于 ，应存在 N ，当 N 时，有0nlim11，an2 又由 ，相应地存在 N ，当 N 时，有bnli 2) 1 (2 an今取 N N ，N ，则当 N 时，就有max1n2) 1 (22 aMabn所以nnnn blimlilim定理 2.1.4 中(1)和(2) 都不难推广到有限个收敛数列的情形由(2)还容易推出以下两个有用的结果(1) ，其中 是一个常数；nnakli)(li k(2) ，
11、其中 是一个正整数mm)定理 2.1.5（保不等式性） 若 和 是收敛数列，且存在正整数 N ，使得na b 0N 时有 ，则 n0nbanlili证 设 ， ，则nlibannlimli)(m如果 ，则由收敛数列的保号性，应存在正整数 N ，当 N 时，总有0ba 1n1，即 今取 N N ，N ，则当 N 时，即有 ，又有nnax01 nba，这是一个矛盾所以必有，limlibnn即nnalili例 5 设 ，若 ，则),21( 0na (1.7)nlim证 由极限的不等式性质可知 0a若 ，则对任给 ，由于 ，应存在 N，使得 N 时有 或0alin n2na所以(1.7)式成立若 ，则
12、由极限的保号性推知，存在 N ，当 N 时有 或 ，于0a 1n10nan是 (1.8)aaannn 对于任给 ，由 ，应存在 N ，当 N 时有0nlim22 (1.9)今取 N N ，N ，则当 N 时，(1.8)， (1.9)两式同时成立，从而有ax12n a故(1.7)式仍成立定理 2.1.6（夹逼准则） 设 ，若存在正整数 N ，使得 N 时acbnnlimli 0n有 ，则 nncabanlim证 由于 ，故对任给 ，存在正整数 N 及 N ，当 N 时cb0121有，abn而当 N 时有n2，cn取 N N ，N ，N ，则当 N 时就有max012，acbann即， n所以 a
13、nlim定理 21.6 不仅提供了一种判定数列收敛的方法，同时也给出一种求极限的方法例 6 求下列数列极限(1) ，)121(lim22 nnn (2) )0 li为 常 数an解 (1)因为对任意正整数 ，总有1a23aMx，121222 nnn而且， ，1lim li2nn lin所以由夹逼准则得 1)21(li 22 nnn (2) 若 ，则当 时有1aa，n由 及夹逼准则得 limn 1limn若 ，则 ，从而有1a1lilinan所以对常数 ，总有 0alimn与单调函数相仿，若数列 各项满足不等式n ，)( 11nna则称 为单增(减) 数列单增数列与单减数列统称为单调数列na 定
14、理 2.1.7（单调有界准则） 单调有界数列必有极限定理 2.1.7 的严格证明超出本书要求，但从几何图形上来看，它的正确性是显然的由于数列是单调的，所以它的各项所表示的点在数轴上都朝着一个方向移动这种移动只有两种可能，一种是沿着数轴无限远移，另一种是无限地接近一个定点 但前一种是不可能的，因为数列有界，所以只能是后者换句话说， 就是数a a列的极限而且更细致的说法是：单增有上界或单减有下界的数列必有极限数列单增有上界 的情形，如图 22 所示n M图 22例 7 证明 存在nn)1(lim证 先建立一个不等式，设 ，则对任一正整数 ，总有0abn)()1)(11 ababnn 整理得 (1.
15、10)1)(nnab令 ， ，则1a.1)()1)()( nnn代入(1.10)就有)()1(n这就是说 是单增数列n)1( 再令 ， ，则ab21，21)()1()( nnan代入(1.10)有，或 )21(n)(两边平方后即得4)(2n由于 是单增数列，又有n)1( ，4)21()21( nn从而对一切正整数 ，都有，)(n即数列 有上界根据单调有界准则，数列 必有极限，通常把这n)1( n)1( 极限记作 ，即een)1(lim可以证明， 是一个无理数，算到十五位小数5904782.exyoXA在 自 然 科 学 中 ， 经 常 使 用 以 为 底 的 指 数 函 数 和 对 数 函 数
16、 例 如 在 研 究 镭 的 衰 变 、e物 体 的 冷 却 、 植 物 的 初 期 生 长 、 细 菌 的 繁 殖 等 问 题 时 ， 就 往 往 会 遇 到 以 为 底 的 指 数 函e数 2.2 函数极限因为数列是整标函数，所以讨论数列极限也就是讨论函数 当自变量 取)(xfyx正整数而趋于无穷大时的函数极限本节我们比照数列极限来研究函数极限可以想到，两者虽然在形式上有所差异，但在本质上，在极限观点上应该是一致的1. 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 的 函 数 极 限设函数 定义在 上，类似于数列的情形，研究当 无限增大时，对应)(xf), a x的函数值 是否无限地接近于某一定数
17、例如，数列 ，当A),21( na时， 类似地函数 当 趋于正无穷大时对应的函数值n0na)0( 1)xf也必然地无限接近 0确切地说就是，对任给的 ，无论多么小，总存在足)(xf 够大的正数 ，只要 ，就有 1XXxx1 0一 般 性 的 确 切 定 义 如 下 ：定义 2.2.1（ X 定义） 设 是定义在 上的函数， 是一个确定的)(faA数若对任给的正数 ，总存在某一个正数 X，使得当 时，就有 x， )( Axf则称函数 当 时以 为极限，记作)(xf或 xfx)(lim)( )xf定义 2.2.1 的几何意义如图 23 所示图 23对于任给的 ，作平行于直线 的两条直线 与 ，得一
18、宽0AyAyy为 的带形区域不论这带形区域多么狭窄，总找到 轴上的一点 ，使得曲线2 xX在直线 右边的部分完全落在这带形区域之内)(xfyX类似定义函数 当 及 时的极限，只要把上述定义中的 分别)(xfx ax改为 及 ，把 分别改为 及 即可，且分别记作ax Xx 或 ，Axfx)(lim)( )xf及或 fx)(li )( )f例 1 证明 01lix证 任给 ，要使 ，只要 取 ，则当x1 0 21x21X时就有Xx 1 x所以0limx例 2 证明 321lix证 当 时，有， 2 2x从而有 61 3 31 xx任给 ，可取 ，则当 时就有06,2 maXX 31 xxyo234
19、所以321limx例 3 证明 ； arctnlix arctnlix证 任给 ，取 ，当 时，20) 2t(X0X， a a从而有 (2.1)2rctnx又对一切 R，总有x (2.2)art综合(2.1) ， (2.2)可知，只要 ，就有Xx， )2(rctn 所以 artlimxx类似可证2rctnlix例 3 的结果也表明：函数 当 时极限不存在xfart)(2. 自 变 量 趋 于 有 限 值 时 的 函 数 极 限考察函数 当 趋于 2 时的变化趋势)(34)2xf图 24从图 24 不难看出，虽然 在 无定义，但当 而趋于 2 时，对应的函数)(xfx值 能无限地接近于定数 因为
20、当 时有)2(31)xf 342x， 1 )2(31 4 xf所以，要使 小于任给的无论多么小的正数 ，只要 或 )( xf 231x即可这里 是描述 与 2 的接近程度的，通常记作 ，因它与 有关，3 2x3x有时也记作 )(定义 2.2.2（ 定义） 设函数 在 的某去心邻域内有定义， A 是一个确)(xf0定的数若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得当 时，就有 0x， )( Axf则称 当 时以 A 为极限，记作)(xf0或 xf)(lim0 )( )(0xxf以下几点是对 定义的补充说明：(1) 的任意性与 的存在性 与 定义相同，对 除限于正数外，不受X任何限制定义中的 相当于
21、定义中的 X，它依赖于 其差异在于 是用来衡量自变量 与定数 的接近程度，应要求它足够小一般说来， 愈小， 也相应x0地更小些但 也不是由 所唯一确定如果对给定的 已找到某个相应的 ，0则取 ，当然也都符合要求，重要的依然是 的存在性,320 (2) 的去心 邻域 定义中只要求不等式 对0x),(0xU )( Axf，即 成立，也就是说我们只研究 时函数),(0Ux 0 00x但的变化趋势，这正符合客观实际的需要例如从图 24 看出，函数 当)2(34)xf时是有趋势的，按上面的 定义，它的极限(等于 )也确实存在，但如果2x 3硬要在定义中考虑 的情形，则因 无意义，从而在 不满足 ，2x)
22、2f 2x 34)( xfxyoA0x0变得“无极限”了，这样定义的极限概念显然缺乏普遍性 (3) 定义的几何意义如图 25 所示图 25任意划一条以直线 为中心线，宽为 的水平带域(无论多么窄)，总存在以Ay为中心线，宽为 的垂直带域，使落在垂直带域内的函数图形全部落在水平带0x域内，但点 可能例外(或无意义),(0xf例 4 证明 ) lim0为 常 数cx证 因为 ，所以对任给 ，可取任意正数为 ，当0 )( f 0时，总有0x， c )( xf所以x0lim例 5 证明 00lix证 任给 ，取 ，当 时总有0 x， )( 0xf所以00limx例 6 证明 ； sinl0x 1cos
23、xyoACBD1x证 作单位圆如图 26 所示从图中看出：当 时，20xAC ACB由于 ，AC ，故得xBCsin ，或 (2.3)01sin0x注意到当 用 代替时 的值不变，从而推知(2.3)式对满足不等式 的一切 成立也2 x就是说，当 时， 0x (2.4)sin同理，当 时， 图 262x， 1osxACBc由于 ， ，故当 时，x)cos( x20 (2.5)sc任给 ，可取 ，当 时，从(2.4)，(2.5)两式可知总有0x及 sinx 1os c这就证明了 及 0lm0xlixx从图 26 还看出：当 时，扇形 OAC 的面积 的面积2OAD易知扇形 OAC 的面积 ，三角形
24、 OAD 的面积 ，于是有xcos2inta1xcosin或 (2.6) i(2.6)式当 用 代替时仍成立从而对满足不等式 的一切 成立x 20xx例 7 设在 的某去心邻域内 ，证明：若 ，则0x)(f 0)(lim0AfxAxfx)(lim0证 任给 ，由 可知，存在 ，当 时有0)(lim0Axf 0，随之有Axf )( ，AxfxfAxf )( )( )( 所以fx)(lim0上面我们给出了函数 当 时的极限定义，其中自变量 是以任意方式趋)(f x于 的但在有些问题中，函数仅在 的某一侧有定义(如在其定义区间端点上)或者0x 0x函数虽在 的两侧皆有定义，但两侧的表达式不同 (如分
25、段函数的分段点) ，这时函数在这些点上的极限问题只能单侧地加以讨论如果函数 当 从 的左侧(即 )趋于 时以 A 为极限，则 A 称为 在)(xf00x0 )(xf的 左极限记作0x或 Axfx)(lim0xf)(0如果函数 当 从 的右侧(即 )趋于 时以 A 为极限，则 A 称为 在)(f 0 )(xf的右极限记作0x或 Axfx)(li0 xf)(0左极限与右极限皆称为单侧极限，它与函数极限(双侧极限)有如下关系：定理 2.2.1 （单侧极限与极限的关系）的充要条件是 Axf)(lim0 Axfxf)0()(0证 必要性 设 ，则任给 ，相应地存在 ，使得xlim0 0时，就有 0x，
26、)( Axf即当 或 时皆有00xx0， )( xf所以Aff)0()(0充分性 设 根据单侧极限的定义，对任给 ，应分Axfxf)0()(0 0别存在正数 和 ，当 时有 ；而当 时亦121 )( xf 20x有 )( Axf今取 ，则当 时，必有 或,min21 00x010xx，从而总有00x )( Axf所以fx)(lim0例 8 证明符号函数 当 时极限不存在sgn证 ，1)(lili00xxsgn因为 ，所以由定理 2.2.1 推知 当 时极限不存在xxslimsgnli00xsgn03. 函数极限的定理我们已经定义了六种类型的函数极限：这些极限都具有与)(lim ),(li ),
27、(li ),(li ),(li ),(li 000 xfxfxffxffxx 数列极限相类似的一些定理下面只论证其中的第四种类型，其它类型的定理可以类似地阐述并加以证明，只要在相应的部分作适当的修改定理 2. (唯一性) 若极限 存在，则它是唯一的)(lim0xf证 用反证法假设当 时同时有 及 ，且 根据Axf)(Bxf)(A定义，对于 ，应分别存在正数 及 ，使得当 时有2AB12 10 ； )( Bxf(2.7)当 时有 00x 2 )( ABxf(2.8)今取 ，则当 时，(2.7)，(2.8)两式同时成立但由(2.7)有21, min 00x，而由(2.8) 又有 ，这是一个矛盾，从
28、而证得只有一个极)(BAxf2)(BAf限定理 2.2.3（局部有界性） 若 存在，则存在 的某去心邻域 ，使)(lim0xf0x)(0xU得 在 内有界)(xf)0U证 设 ，由 定义，当取 时，存在相应的 ，使对一切Axf(lim0 1，总有) ,(0x， )( xf从而推出 1 )( )( )( AfAfxf 这就说明函数 在 内有界 ,0U定理 2.2.4（局部保号性） 若 (或 )，则对任意正数 ，0)lim0xf ) 0( Ar存在 的某去心邻域 ，使对一切 ，总有 (或0x)(0x ,0U)(rxf)(rf证 设 ，取 ，由 定义，存在相应的正数 对一切Ar有),(0xU，rAx
29、f )( 即)()(0frAr 类似证明 的情形A定理 2.2.5（四则运算法则） 若极限 与 皆存在，则 ，)(lim0xf)(li0xg)(xgf当 时极限也存在，且)(xgf0(1) ;)(lim0xgfx )(li)(li00xgfx(2) ;000 x又若 ，则 当 时极限也存在，且0)(lim0xg)(xgf0(3) )(li)(li00ffxx证 我们假设(1) ，(2) 已证(留作练习)为了证明(3)，利用(2)的结果，只需证，其中 利用局部保号性定理，对 ，应存在Bxg1)(lim00lim0gx 2 BK，使当 时有11 (2.9)Kxg)(又由 定义，对任给 ， ，使得
30、时有0220x (2.10) )( Bx今取 ，则当 时，(2.9) ，(2.10)两式同时成立从而有21, min0， )( )( BKxgBxg所以)(lim1)(1li00 xx定理 2.2.6（保不等式性） 若 与 皆存在，且在 的某去心邻域0fx)(li0gx 0x内 总有 ，则 ),(0xU)(xgf)(li00xx证 设 ， 则Axlim0 Bx0)(0f BAgfx)(lim)(li00如果 ，则由局部保号性定理，应 的去心 邻域 ，使对一切BA1),(10xU，总有),(10xU，即 0)(xgf )(xgf今取 ，则在 的去心邻域 内既有 ，又有10, min0,0U)(x
31、gf，这是一个矛盾，所以必有)(xgf，0)(lim)(li00 BAxgfx即)(li)(li00fxx定理 2.2.7（夹逼准则） 设 ，若存在 的某去心邻域Axhg)(li00 0x，使对一切 ，总有 ，则),(0xU),(0xU)(fAflim0本定理的证明亦仿照数列中的相应定理的证明方法进行，我们把它留作练习定理 2.2.8（复合函数的极限性质） 设函数 当 时极限存在且等于)(xu0，即 ，但在 的某去心邻域 内 ，又 ，则aax)(lim00x,(0UaAufa)(lim复合函数 当 时极限存在，且fAufxfax )(lim)(li0证 任给 ，由于 ，根据函数极限定义，存在相
32、应的 ，当au 0时，有 0au )( Af又由于 ，故对上述 ，存在相应的 ，当 时，有x)(lim000110 x， )( ax今取 ，则当 时， 与 同时成10, in10 )( ax )( ax立，即 成立，从而有)(ax， )( )( Aufxf所以ffaux)(lim)(li0利用函数极限的四则运算法则、夹逼准则以及复合函数的极限性质，我们就可以从已知的简单函数出发，求出较复杂函数的极限例 8 求下列极限(1) ， (2) ；)4sinco3(lim0xx )12(lixx(3) ； (4) )13(lim1xx xx1lim0解 (1) 4limsnlicoli3li)4sinc
33、oli 00030 xxxxx(2) )12(li)1(li)2(1lixxx m2(3) 3131li)(li xxx 2)(li)(li 121 xx(4) 21lim)(lilim000xxxx例 9 证明两个重要极限：(1) ； (2) 1sinl0x exx)(li证 (1) 从(2.3)和(2.6)两式可知：当 时，总有201sincox因为 ，故由夹逼准则推知1coslim0xx silm0x(2) 先利用数列极限 证明 en)1(i exx)1(li当 时有1nx，及1)()1()1( nxn由于 ， ennn1lim)1(li ennn )1(lim)(li1且当 时 ，故由
34、夹逼准则推知xexx)(li再证 exx)1(lim令 ，则y，yyx )1()1()( 且当 时 ，于是有xy，eyyyxyyx )1()(lim)1(li)1(lim1这就证得 (2.11)exx)(li(2.11)的另一种形式是 exx10)(lim因为若令 ，则当 ，从而有t1t时 etxtx )1(li)(li10在极限运算中，有时需要通过变量代换来化简极限式或把所求极限变成某个已知的极限例如，已知两个重要极限 及 ，若函数 当1sinlm0ueu10)(li )(xu时有 ，则利用复合函数的极限性质就有0xu及 1)(sinl0xxexx)(1li0又如函数 ,若当 时 ，则有)(
35、uuexx)(1lim例 10 求下列极限(1) ， (2) xx)sin(lm0 xxn)(lim解 (1) xxsini)s(lii01msin)(l0 x(2) nnxxxn)21()21(lim)(li ne221 2.3 无穷小量与无穷大量1. 无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小例如，数列 ， 当 时都以零为极限，所以它们都是无穷小量或 1n 2n称为无穷小数列又如，函数 ( 为正整数)， ， 当 时极限都等于xxsincos10x零，所以当 时，这些函数都是无穷小量同样，函数 是当 时的无穷0x 21小，函数 是当 时的无穷小1可 见 ， 除 了 数 列 只 有 一
36、种 类 型 ， 对 于 定 义 在 区 间 上 的 函 数 而 言 ， 单 说 此 函n数 是 无 穷 小 是 不 够 的 ， 还 必 须 指 明 自 变 量 的 趋 向 ， 它 包 括 、 、xx、 ， 及 六 种 类 型 下 面 仍 以 的 极 限 类 型 来 讨 论x0x00x )(lim0f有 关 无 穷 小 的 性 质 和 定 理 ， 其 它 类 型 (包 括 数 列 情 形 )可 以 作 类 似 讨 论 ， 相 应 的 结 论 也 是成 立 的 定理 2.3.1（无穷小量的性质） 在自变量的一定趋向下，(1) 有限个无穷小的代数和仍然是一个无穷小；(2) 有限个无穷小的乘积仍然是一
37、个无穷小；(3) 无穷小与有界量(函数)的乘积是无穷小证 定理中的(1)和(2) 只需考虑两个无穷小的情形设 ，由极限的四则运算法则有0)(lim)(li00 xgfx，0)(lim)(li 000 xgffxx，)(li 000 x所以 ， 和 都是当 时的无穷小)(xgfxgf)(f(3) 设 是当 时的无穷小， 在 的某去心邻域 内有界，即0xh0 ),(0xU存在正数 M ，使对一切 都有),(0xUMxh )(随之有 )( )( xff任给 ，由于 ，应存在 ： ，使得 时，00)(lim0x0 0x有Mf)(从而推出 )( )( xfxhf所以0)(lim0fx即 是当 时的无穷小
38、)(xhf0例 1. 求下列极限：(1) ； (2) xx1sinlm0 1lim0x解 (1) 因为当 时， 是无穷小，且对一切 总有 ，即 是0x1 sinxxsin有界函数，所以 是当 时的无穷小，即x1sin01sinlm0xx(2) ，其中 是 的小数部分，)()1(x 1)(xx，即 是有界量从而有 所以1)(0x 0li0x1)(m1li0xx定理 2.3.2 (有极限的量与无穷小量的关系)的充要条件是 ，其中 是当 时的无穷小Axflim0 )()(xAf)(x0x证：设 ，令 ，则fx)(li0 x，0)(lim)(li)(lim000 AxfAxfx所以 是当 时的无穷小)
39、(x反之，设 ，其中 是当 时的无穷小，则有)()(xf)(x0xAAxxx )(lilili 0002. 无穷小量的比较我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍然是无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的情况例如 都是当 时的无穷小，而且 ，即2 ,x002x仍是当 时的无穷小但 ，这说明 不再是当 时的无穷小产x201x2生这种情况的原因在于各个无穷小趋于零的快慢不一样， 要比 趋于零来得快，2x而 和 趋 于 零 的 快 慢 大 致 差 不 多 为 了 对 这 种 情 况 加 以 区 别 ， 我 们 引 入 无 穷 小 量 的x阶 的 概 念 定义 2.3.1 设 ， 0)(lim0x0)
40、(li0x(1) 如果 ，则称 时 是比 的高阶无穷小，记作)(li0x)(xo)(x)0(2) 如果 ，则称 时 与 是同阶无穷小；0)(lim0cxx0(x)(3) 如果 ，则称 时 与 是等价无穷小，记作1)(li0x 0x)( )(0例如， 由于xsin(，1)cosin(lmtali00 xx，)i(llicos1li 202sin0202xxxx所以当 时有 ， 0xxtanxcos12又如，函数 ，当 时 ，并且 于是有urcsi0uuxsin1sinlmil0xx所以 arcsin)0( 类似得出 xrt)( 在求某些函数乘积或商的极限时，往往可以用等价的无穷小来代替以简化计算
41、定理 2.3.3 (等价无穷小的性质) 设 )(xf)( 0xg(1) 若 ，则 ；Agxf)(lim0 Ahxlim0(2) 若 ，则 xfhx)(li0 xg)(li0证： (1) 由于)(lim)(li)(lim)()(lim)(li 00000 xhgxhgxfhxfhf xx 所以Agx)(li0类似可证(2) 的情形例 2 求 30sintalimx解：当 时 ， ，所以xtxcos1221lim)s(tanlimstanli 303030 xxxxx3. 无穷大量在没有极限的一类函数(包括数列)中，有一种特殊情形，即在自变量的一定趋向下，函数的绝对值无限地增大例如 ，当 时 无限
42、增大这时我们xf1)(0 1x就称 是当 时的无穷大量 x10定义 2.3.2 ( 定义) 设函数 在 的某去心邻域内有定义如果对任给的M)(xf0正数 ，相应地存在正数 ，使得当 时，总有 ，xf )(则称 当 时为无穷大量，简称无穷大，记作)(xf0)(lim0xf类似地可以给出 的其他不同趋向时为无穷大量(正无穷大量，负无穷大量)以及x当 时，数列 为无穷大量(也称为无穷大数列)的定义例如我们简述一个nna定义如下：XM当且仅当任给 ，存在 ，当 时，总)(limxfx 0X0MXx有 例 4 证明 2lix证：任给 ，可取 ，则当 时，就有0MXXx Mxf2)(所以2limx例 5 证明 x1li0证： 任给 ，可取 ，则当 时，就有M10xMx所以x1lim0由定义 2.3.1 立刻推出无穷大量有如下性质定理 2
