1、激发学生的兴趣， 树立学生的希望云南经济管理职业学院YUNNAN COLLEGE OF BUSINESS MANAGEMENT教 案 本2010-2011 学年秋季学期系(部) 基础部 年 级 2010 级 专 业 建筑工程管理 课 程 高等数学 班 级 4 班、 5 班 任课教师 周见文 第一章 函数 极限 连续第一节 函数教案编号：1教学时间：教学班级授课类型：教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。教学
2、重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；教学难点：1、 分段函数的建立与性质；一. 函数的概念定义 设数集 DR, 则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数, 通常简记为yf(x), xD, 其中 x 称为自变量 , y 称为因变量 , D 称为定义域, 记作 D f, 即 D fD. 应注意的问题: 记号 f 和 f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应法则, 而后者表示与自变量 x 对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), xD”或“y=f (x), xD”来表示定义在 D 上的函数, 这时应理解为
3、由它所确定的函数 f . 函数符号: 函数 yf(x)中表示对应关系的记号 f 也可改用其它字母, 例如“F”, “”等. 此时函数就记作 y (x), yF(x). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在 R 内, 因此构成函数的要素是定义域 D f 及对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同 , 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数 , 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数 的定义域. 412xy要使函数有意义, 必须 x0, 且 x2 4
4、0. 解不等式得| x | 2. 所以函数的定义域为 Dx | | x |2, 或 D(, 22, ). 二. 函数的表示表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法 (公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集P(x, y)|yf(x), xD称为函数 yf(x), xD 的图形. 图中的 R f 表示函数 yf(x)的值域. 函数的例子: 例. 函数 . 0 |x称为绝对值函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f 0, ). 例. 函数 . 01 sgnxy称为符号函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f
5、1, 0, 1. 例 设 x 为任上实数 . 不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作 x . 函数 y x 称为取整函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f Z ., , 3, 11, 3. 54. 07512三. 分段函数在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例。 函数 . 10 2xy这是一个分段函数, 其定义域为 D0, 1(0, ) 0, ). 当 0x1 时, ; 当 x1 时, y1x. y2例如 ; ; f(3)134. )(f 2 )(f四. 函数的基本性态(1)函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 XD.
6、如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界 , 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方. 如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线yK2 的上方. 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数 yf(
7、x)的图形在直线 y M 和 y M 的之间. 函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f(x) | M. 例如(1)f(x)sin x 在(, )上是有界的: |sin x |1. 函数 在(1, 2)内是有界的 . 1(2)函数的单调性设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及x2, 当 x1 f(x2), 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的 . 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数 y x2 在区间( , 0上是单调增加的, 在区间0, )上是单调减少的, 在（, ）上不是单
8、调的. (3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称(即若 xD, 则x D). 如果对于任一xD, 有 f(x) f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有f(x) f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx2, ycos x 都是偶函数. yx3, ysin x 都是奇函数 , ysin xcos x 是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有(xl )D, 且 f(xl) f(x)则称 f(x)为周期函
9、数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 五反函数与复合函数反函数: 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数. 按此定义, 对每个 yf(D), 有唯一的 xD, 使得 f(x)y, 于是有f 1(y)x. 这就是说, 反函数 f 1 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的 . 一般地, y f(x), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D). 若 f 是定义在 D 上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射,
10、于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数. 相对于反函数 yf 1(x)来说, 原来的函数 yf(x)称为直接函数. 把函数 yf(x)和它的反函数yf 1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线 yx 是对称的. 这是因为如果 P(a, b)是 yf(x)图形上的点, 则有 bf(a). 按反函数的定义, 有 af 1(b), 故 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点; 反之, 若 Q(b, a)是 yf 1(x)图形上的点, 则 P(a, b)是 yf(x)图形上的点. 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 yx
11、对称的. 复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数 yf(u)的定义域为 D 1, 函数 ug(x)在 D 上有定义且 g(D) D 1, 则由下式确定的函数 yfg(x), xD称为由函数 ug(x)和函数 yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为 D, 变量 u 称为中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 , 即 ( )fg(x). gf与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数 的条件是 : 是函数 g 在 D 上的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 D f 内, 即 g(D)D f. 否则, 不能构成复合
12、函数. 例如, yf(u)arcsin u, 的定义域为1, 1, 在21)(xu上有定义, 且 g(D)1, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数123 ,1, xD; 2arcsiny但函数 yarcsin u 和函数 u2x2 不能构成复合函数, 这是因为对任 xR, u2x2均不在 yarcsin u 的定义域1, 1内. 多个函数的复合: 六. 初等函数基本初等函数: 幂函数: yx (R 是常数); 指数函数: ya x(a0 且 a1); 对数函数: ylog a x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x);三角函数: ysin x , ycos x, yta
13、n x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如, ysin2x, 21xycot等都是初等函数. 第二节 极限的概念教案编号：2教学时间：教学班级授课类型：教学目的：1、理解极限的概念。教学重点：1、极限的概念及极限的性质。教学难点：2、极限的定义。一、数列的极限如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆 首先作内接正四边形 它的面积记为 A1；再作内接正
14、八边形 它的面积记为 A2；再作内接正十六边形 它的面积记为 A3；如此下去 每次边数加倍 一般把内接正 82n1 边形的面积记为 An 这样就得到一系列内接正多边形的面积A1 A2 A3 An 设想 n 无限增大（记为 n 读作 n 趋于穷大） 即内接正多边形的边数无限增加 在这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于某一确定的数值 这个确定的数值就理解为圆的面积 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1 A2 A3 An 当 n 时的极限 数列的概念如果按照某一法则 使得对任何一个正整数 n 有一个确定的数xn 则得到一列有次序的数x1 x2 x3 xn
15、这一列有次序的数就叫做数列 记为x n 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 1n23412n 2 4 8 2n (1)n1 1 1 1 (1)n1 2 )(34)它们的一般项依次为 2n (1)n1 1n1(数列的几何意义数列x n可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点 x1 x2 x3 xn 数列与函数数列x n可以看作自变量为正整数 n 的函数xnf (n) 它的定义域是全体正整数 数列极限的定义定义 如果数列x n与常 a 有下列关系对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数 N 使得对于 n N 时的一切 xn 不等式|xna |都成立 则称常数 a 是数列x
16、 n的极限 或者称数列 xn收敛于 a 记为或 xna (n)nlim如果数列没有极限 就说数列是发散的 0, N N 当 nN 时 有| xna| .axnli二、函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势 x 无限接近 x0 xx0 x 从 x0 的左侧(即小于 x0)无限接近 x0 xx0 x 从 x0 的右侧(即大于 x0)无限接近 x0 xx0 x 的绝对值 |x|无限增大 x x 小于零且绝对值 |x|无限增大 x x 大于零且绝对值 |x|无限增大 x 1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义 如果当 x 无限接近于 x0 函数 f(x)的值无限接近于常数 A 则
17、称当 x 趋于 x0 时 f(x) 以 A 为极限 记作f(x)A 或 f(x)A(当 x )0lim0定义 1 设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 (不论它多么小) 总存在正数 使得当 x 满足不等式 0|xx0|时 对应的函数值 f(x)都满足不等式 |f(x)A| 那么常数 A 就叫做函数 f(x)当 x x0 时的极限 记为或 f(x)A(当 xx0) fx)(lim0定义的简单表述 0 0 当 0|xx0| 时 |f(x)A| fx)(li0函数极限的几何意义:例 1 证明 cx0lim证明 这里|f(x)A|cc|0 因为 0
18、可任取 0 当 0|xx0|时 有|f(x)A|cc|0所以 0li例 2 证明 0limx分析 |f(x)A|x x0| 因此 0 要使|f(x) A|只要x x0|证明 因为 0 当 0|xx0|时 有| f(x)A|xx0| 所以0limx例 3 证明 1)2(lix分析 |f(x)A|(2x 1)1|2|x1| 0 要使|f(x )A|只要 2|证明 因为 0 /2 当 0|x1|时 有|f (x)A|(2x1)1|2|x1|所以 1)2(lim1例 4 证明 2li1x分析 注意函数在 x1 是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无关系当 x1 时 |f( x)A| |x1| 0
19、 要使|f (x)A| 只要|x 1| 2证明 因为 0 当 0|x1|时 有 | f(x)A| |x1|21所以 21limx第三节 极限运算教案编号：3教学时间：教学班级授课类型：教学目的：1、掌握极限的性质及四则运算法则。2、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。3、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型。教学重点：1、极限的概念极限的性质及四则运算法则。2、两个重要极限。教学难点：一、极限运算法则定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 例如 当 x0 时 x 与 sin x 都是无穷小 x sin x 也是无穷小简要证明
20、 设 及 是当 xx0 时的两个无穷小 则 0 10 及 20 使当 0|xx0|1时 有| | 当 0|xx0|2时 有| | 定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 简要证明 设函数 u 在 x0 的某一去心邻域 x|0|xx0|1内有界 即M0 使当 0|xx0|1 时 有|u|M 又设 是当 xx0 时的无穷小 即 0 存在 2 0 使当 0|xx0|时 有 | 取 min1 2 则当 0|xx0|时有 |u| M 这说明 u也是无穷小例如 当 x时 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以 arctan x 也是无穷1小推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 2 有限个无穷
21、小的乘积也是无穷小 定理 3 如果 lim f (x)A lim g (x)B 那么(1) lim f (x)g(x) lim f (x) lim g (x) A B (2) lim f (x)g(x) lim f (x) lim g (x) AB (3) (B0) flimli证明(1) 因为 lim f (x)A lim g (x)B 根据极限与无穷小的关系 有f (x)A g (x)B 其中 及 为无穷小 于是f (x) g (x)(A ) (B ) (A B) ( ) 即 f (x) g (x)可表示为常数(A B)与无穷小( )之和 因此lim f (x) g (x) lim f (
22、x) lim g (x) A B 推论 1 如果 lim f (x)存在 而 c 为常数 则lim c f (x)c lim f (x) 推论 2 如果 lim f (x)存在 而 n 是正整数 则lim f (x)n lim f (x)n 例 1 求 1lim x解 12limli2li)(li 1 1 1 xx讨论 若 则 nnaaP0 ?)(li0xP提示 nxnxxxx a00000 limli )(li)(li)lim11 nnnaa0000 11a0x0na1x0n1 anP(x0) )li()li(00xxa若 则 nnaP )1 (lim0Px例 2 求 35li2 xx解 )(li11lim223 xx 3li5li223xx 35)lim(2x37102例 3 求 9li 3解 31li)(3lilim 2 3 xxx 61)(li 3x例 4 求 45li2 1x解 03li 讨论 有理函数的极限 ?)(lim0xQP提示 当 时 )(0xQ)(li00x当 且 时 )(Pli0xP当 Q(x0)P(x0)0 时 先将分子分母的公因式 (xx0)约去
