1、1第一章 行列式 .1第二章 矩阵及其运算 .17第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 .36第四章 向量组的线性相关性 .57第五章 相似矩阵及二次型 .86第一章 行列式1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 38402解 2(4)30(1)(1)11810132(1)81(4)(1)2481644 (2) bac解 acbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3(3) 21cba解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)2(4) yx2解 yxx(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x33xy(xy)y33x2 yx3y3x32(x3y3)
2、2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为 0(2)4 1 3 2 解 逆序数为 4 41 43 42 32(3)3 4 2 1 解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3 解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解 逆序数为 (3 2 (1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解 逆序数为 n(n1) 3 2(1 个
3、)5 2 5 4 (2 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1 个)3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项 解 含因子 a11a23的项的一般形式为 (1)ta11a23a3ra4s其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 3所以含因子 a11a23的项分别是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a
4、42a11a23a34a424 计算下列各行列式 (1) 71025解 4014232c 34)1(320 143079231c(2) 265解 031426053142c04132r 4r(3) efcbfda解 ffecb adfadbce414(4) dcba10解 dcbaar1021)(2 023cabcdabcdad1 cdab35 证明:(1) (ab)3;12a证明22 01223abc(ab)3 aba)1(223 1)(2) ;yxzzyxbzyx3证明bzayxazybzayxx5bzayxzybaxz22z33 yxz33 yxzba)(3(3) ;0)3(2)1(22
5、 222ddcca证明 (c4c3 c3c2 c2c1得)2222)()1ddccbbaa(c4c3 c3c2得)532 012dcba(4) 4422cba(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明 644221dcba)()()(01222ad)(222cbadcb)(011)()( abda()bcdcacb=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) (5) xna1xn1 an1xan 21 0 xn证明 用数学归纳法证明 当 n2 时 命题成立 2112xaxD假设对于(n1)阶行列式命题成立 即Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则
6、 Dn按第一列展开 有00)(11 xnnxD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于 n 阶行列式命题成立 7 设 n 阶行列式 Ddet(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转 依次得7 naD11 112 na13 aDn证明 D3D )(21证明 因为 Ddet(aij) 所以 nnn a2111 ( )(312121nnna Dn2)1()(2 1)(同理可证 nnaD )(1122 nTn2)1(2)1( nnn)1(2)1(2)(2)(38 计算下列各行列式(D k为 k 阶行列式 ) (1) , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都是a
7、n10 解(按第 n 行展开) aDn0 10 18)1(10 0 )( nna)1(2 nnaanan2an2(a21) nn)2(1 )(2) ;xaDn 解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得 axxan 0 再将各列都加到第一列上 得x(n1)a(xa)n1xDn 00 )1(3) ;1 1 )( )(111naannn解 根据第 6 题结果 有nnnn aaD)( )1( )( 1211 此行列式为范德蒙德行列式 9 12)(1 )1()jinn jaD)(ji12 )12)1( )(jinnn 1jin(4) ;nnndcbaD 12解 (按第 1 行展开)nndcbaD 12
8、nndcba00 01111110 0 0)1( 111112cdbabnnnnn再按最后一行展开得递推公式D2nandnD2n2bncnD2n2 即 D2n(andnbncn)D2n2 于是 iii)(而 112c所以 niiibda)(5) Ddet(aij) 其中 aij|ij|;解 aij|ij| 0 4321 3102 )det( nnijn0 4321 1 213 nnr1 52431 0 23 nnc(1)n1(n1)2n2 11(6) , 其中 a1a2 an0 nnaD1 1 2解 nna1 21nnac 10 0 321231132210 0 1 nn aanin aa11
9、3221 0 0 1 )1)(21niaa8 用克莱姆法则解下列方程组 (1) 01235431xx12解 因为 1423521D 01 28410352D 461352D所以 1x3Dx14(2) 150654321x解 因为 6510D 76114506152D 035103D3951413 2105615D所以 6517x64273x6594214x9 问 取何值时 齐次线性方程组 有非零0321解？解 系数行列式为 21D令 D0 得 0 或 1 于是 当 0 或 1 时该齐次线性方程组有非零解 10 问 取何值时 齐次线性方程组 有非0)1(3423xx零解？解 系数行列式为 102
10、41324D(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23 令 D0 得 0 2 或 3 于是 当 0 2 或 3 时 该齐次线性方程组有非零解 第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换 14 321325yx求从变量 x1 x2 x3到变量 y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 2325yx故 3121xy 3214769y 321347692 已知两个线性变换 32135yx321z求从 z1 z2 z3到 x1 x2 x3的线性变换 解 由已知2132540yx 321054z 316091z所以有 321324x3 设 求 3AB2A 及 ATB A15042B15解 1250
11、41332AB 90709658 26581431BAT4 计算下列乘积 (1) 27053解 17102753)(44965(2) 23)(解 (132231)(10) 1(3) )(32解 123)(164(4) 043216解 20413126587(5) 3231321)(xax解 321231321)(xx(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 21 15 设 问 31A20B(1)ABBA 吗?解 ABBA 因为 所以 ABBA 6481(2)(AB)2A22ABB2吗?解 (AB)2A22ABB2 因为 5 )(2914
12、8但 30263BA27156所以(A B)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗?解 (AB)(AB)A2B2 17因为 52BA102 96)(而 784382故(A B)(AB)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 解 取 则 A20 但 A0 1(2)若 A2A 则 A0 或 AE 解 取 则 A2A 但 A0 且 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY 解 取 11则 AXAY 且 A0 但 XY 7 设 求 A2 A3 Ak 解 1012 33 10kA8 设 求 Ak 解 首先观察18 012A21 32323 443406A 5
13、35451 kAkk02)(11用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时， 0102)(11 kkkA 110)(2)(kkk由数学归纳法原理知 19 kkkA02)1(9 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 证明 因为 ATA 所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 10 设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA 证明 充分性 因为 ATA BTB 且 ABBA 所以(AB)T(BA)TATBTAB 即 AB 是对称矩阵 必要性 因为
14、ATA BTB 且(AB) TAB 所以AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 521解 |A|1 故 A1存在 因为 25*12故 |(2) cosin解 |A|10 故 A1存在 因为iA cosin*2120所以 *|1Acosin(3) 4523解 |A|20 故 A1存在 因为1A 436*231所以 |A1760(4) (a1a2 an 0) na021解 由对角矩阵的性质知naA 021 na102112 解下列矩阵方程 (1) 264315X解 1126453802321(2) 2341102X解 0321413 258(3) 101X解 12342 10
15、364(4) 0213X解 10 01234124313 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 35321x22解 方程组可表示为 3215321x故 01321从而有 0321x(2) 5321解 方程组可表示为 0132x故 5321故有 05321x14 设 AkO (k 为正整数 ) 证明(E A)1EAA2 Ak1 证明 因为 AkO 所以 EAkE 又因为EAk(EA)(EAA2 Ak1) 所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理 2 推论知(E A)可逆 且(EA)1EAA2 Ak1证明 一方面 有 E(EA)1(EA) 另一方面 由 AkO 有E(EA)(AA2)A2 Ak1
16、(Ak1Ak)23(EAA2 A k1)(EA) 故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA)两端同时右乘(E A)1 就有(EA)1(EA)EAA2 Ak1 15 设方阵 A 满足 A2A2EO 证明 A 及 A2E 都可逆 并求A1及 (A2E)1 证明 由 A2A2EO 得A2A2E 即 A(AE)2E 或 )(由定理 2 推论知 A 可逆 且 )(1由 A2A2EO 得A2A6E4E 即(A2E)( A3E)4E 或 )31)(由定理 2 推论知(A 2E)可逆 且 )(1)(证明 由 A2A2EO 得 A2A2E 两端同时取行列式得|A2A|2 即 |A|AE|2 故 |A|0
17、 所以 A 可逆 而 A2EA2 |A2E|A2|A|20 故 A2E 也可逆由 A2A2EO A(AE)2EA1A(AE)2A1E )(又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E (A2E)(A3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 2416 设 A 为 3 阶矩阵 求|(2 A)15A*| 2|解 因为 所以*|1|5)2(| 1|21|2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设矩阵 A 可逆 证明其伴随阵 A*也可逆 且(A*) 1(A1)* 证明 由 得 A*|A|A1 所以当 A 可逆时 有|1|A*|A|n|A1|A|n10 从而 A*也
18、可逆 因为 A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A 又 所以*)()|(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)* 18 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* 证明 (1)若| A|0 则|A*| 0 (2)|A*|A|n1 证明(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有 A*(A*)1E 由此得AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 所以 A*O 这与|A *|0 矛盾，故当|A|0 时 有|A*| 0 (2)由于 则 AA*|A|E 取行列式得到|A|A*|A|n 若|A |0 则| A*|A|n1 若|A |0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立 因此|A*| |A|
19、n119 设 ABA2B 求 B 325解 由 ABA2E 可得(A 2E)BA 故 3103)(1B1220 设 且 ABEA2B 求 B 02解 由 ABEA2B 得 (AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE) 因为 所以(A E)可逆 从而10| 2321 设 Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求 B 解 由 A*BA2BA8E 得(A*2E)BA8E B8(A*2E)1A1 8A(A*2E)18(AA*2A)1 8(|A|E2A)18(2E2A)1 4(EA)14diag(2 1 2)1,(diag42diag(1 2 1) 22 已知矩阵 A 的伴随阵 8031*且
20、 ABA1BA13E 求 B 解 由|A*| |A|38 得|A|2 由 ABA1BA13E 得ABB3A B3(AE)1A3A(EA1)1A2611*)2(6*)(3AE 1030623 设 P1AP 其中 求 A11 420解 由 P1AP 得 APP1 所以 A11 A=P11P1.|P|3 *3而 11120故 34411A684273124 设 APP 其中 205求 (A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62)diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125)diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1*| 12
21、30120425 设矩阵 A、B 及 AB 都可逆 证明 A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为 A1(AB)B1B1A1A1B1 27而 A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以 A1(AB)B1可逆 即A1B1可逆 (A1B1)1A1(AB)B11B(AB)1A 26 计算 302302解 设 121302则 2BOEA21A而 4530301 92所以 211BOEA21A90342即 3030527 取 验证 1DCBA| DCBA解 410202而 1| C故 | DBA2828 设 求|A 8|及 A4 2034OA解 令 1则 2A故 818O821 620| 46424125
22、A29 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆 求(1) 1OB解 设 则 4321C AsnEOBA2143由此得 snEBCO2143124所以 A(2) 1解 设 则4321DBCO29 snEOBDCADBCOA42314321由此得 snE42311432O所以 1BCAB30 求下列矩阵的逆阵 (1) 250381解 设 则A2538B 11 853211于是 0250381BA(2) 41解 设 则20A413B21C 111BAO30 412581036第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1) 3402解 (下一步 r 2(2)r1 r3(3)r1 )1 (下一步 r2(1) r3(2) ) 023 (下一步 r3r2 )1 (下一步 r33 )0 (下一步 r23r3 )12 (下一步 r1(2)r2 r1r3 )0
