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类型人大版线性代数课后习题答案.doc

  • 上传人:精品资料
  • 文档编号:8887974
  • 上传时间:2019-07-15
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    人大版线性代数课后习题答案.doc
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    1、第 1 章 矩 阵习 题 一(B)1、证明:矩阵 A 与所有 n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是 A 为 n 阶对角矩阵.证明:先证明必要性。若矩阵 A 为 n 阶对角矩阵. 即令 n 阶对角矩阵为:A= ,naa 021任何对角矩阵 B 设为 ,则 AB= ,nbb 021 nbaba 021而 BA= ,所以矩阵 A 与所有 n 阶对角矩阵可交换。nabab 021再证充分性,设 A= ,nnnbb 212112与 B 可交换,则由 AB=BA, 得:= ,nnnbaba 21221121 nnnba 2122112比较对应元素,得, 。0)(iji )(ji又 , ,所以jiaj, ,

    2、ijb)(ji即 A 为对角矩阵。2、证明:对任意 矩阵 A, 和 均为对称矩阵.nmT证明:( )T=(AT)TAT=AAT ,所以, 为对称矩阵。( )T=AT (AT)T=ATA,所以, 为对称矩阵。3、证明:如果 A 是实数域上的一个对称矩阵,且满足 ,则 A=O.2证明:设A= ,nnnaa 212112其中, 均为实数,而且 。ijajiij由于 ,故OA2A2=AAT= =0。nnnaa 212112 nnna 212121取 A2 的主对角线上的元素有, (i=1,2, n)021inii因为, 均为实数,故所有 =0,因此 A=O。ijaija4、证明:如果 A 是奇数阶的反

    3、对称矩阵,则 detA=0.证明:设A= nnnaa 212112为奇数阶反对称矩阵,即 n 为奇数,且=- ,i,j=1,2 ,n,ijji从| A|中每行提出-1,得|A|= = = =-|A|00)1(222112 nnna0)(212121 nna|)(Tn(因为 n 为奇数,且| AT|=|A|) ,故得| A|=0。5、设 A、 B、 C 均为 n 阶矩阵,且满足 ABC=E,则下列各式中哪些必定成立,理由是什么?(1)BCA=E ; (2)BAC=E ; (3)ACB=E ;(4)CBA=E ; (5)CAB=E 。答:第(1),(5)必定成立。因为 ABC=E,说明 是 的逆矩

    4、阵,AB 是 的逆矩阵,则(1),(5)必定成立。但是由于可能有 , ,所以其他的不一定成立。BAC6、设 A、 B 均为 n 阶可逆矩阵,则下列各式中有哪些一定成立?为什么?(1) ; (2) ;1T1)()(T11T)()(A(3) (k 为正整数) ; (4) (k 为正整k k数) ;(5) ; (6) ;11)(dettA 11)(B(7) ; (8) 。T1T()(BB OABO1答:一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。7、已知 ,令 ,求 (n 为正整数).321,321TA解:因为 =nA)()(TT= , 个1n其中 = =3,T32所以 = = 。nAT13

    5、1231n8、计算行列式11xx解:用 表示所给的行列式,把 分成两个行列式相加: 11x 10xx将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列,用乘第一列后加到第三列;将第二个行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加, 01x1x10x 。49、设 A 为 m 阶方阵,B 为 n 阶方阵,且 , 。如果aAdetbBet,OBC求 detC.解:把 C 通过 mn 次的相邻换行之后,即可把 C 化为 C1,且A1故 = = 。detBmndet)1(abmn)(10、证明:n 阶行列式(1) ;naaa)1(2100202 (2) .bababa n1100010 证明:(1)令所给的矩

    6、阵为 Dn,并按第一列展开得,212n所以 = =12naD33nna4324nnDa= = 。12)()(n)((2)令所给的行列式为 Dn,并按第一列分成两个行列式相加,然后对第一个行列式从第一列开始,每列乘-b 后往下一列加,即得Dn= +baba10010 babab10010 = +bDn-1= =aa101 1nbD21nnDba= = 。nnn bba12 an111、证明:n 阶行列式(1) ;sin)1(co2100s0cos210cos2 (2) .ncos2100cos0cos210cos 证明:(1)令 , ,则有sincoxiny,xy=1。2而且由于 ,故 ,从而由

    7、第十题的结果直接得0sinyxDn= = 。n1si)((2)令所给的矩阵为 Dn,按第一列展开,并应用( 1)的结果,得Dn= cos2100 0cos210cos = cos2100cos21 sinsi)1(= = 。sincocos12、设 A 是 n 阶矩阵 ,求证: 。)2(1*)(dettnA证明:由 的定义可知 , ,两边取行列式,得* EA)(e*。nt)dt(et下面进行讨论。1)若 detA 0,则由上式立即就有 。1*)(dettnA2)若 detA 0,且 A = O,则 0,因而 det = 0 ,结论成立。*3)若 detA 0,且 A O,此时必有 det =

    8、0。因为若 det 0,则 可逆,*A*于是在 O 两边左乘 ,得 A = O,与 A O 矛盾。即此时结E)(det*1)(论也成立。 证毕。13、设 A、 B、 C、 D 均为 n 阶矩阵,且 ,AC=CA .求证:0detACBD证明:因为 ,所以矩阵 A 可逆。0det根据矩阵的乘法,有=ECAO1BBC1又 AC=CA,因此,=D1= ABC1= 。14、设 3 阶矩阵 A、 B 满足关系式,BA61其中 71043求 B.解:因为 BA61ABE6)(111)(所以, B= 。102315、设 4 阶矩阵,10234,101CB且矩阵 A 满足关系式 ,其中 E 是 4 阶单位矩阵

    9、。试将上式化简并ET1)(求出矩阵 A .解: CBT1)(CABT1TT)(E。1T)(而 = ,再利用矩阵初等变换即可求出 。TBC02341 1T)(BC所以 A= 。1201第 1 章 矩 阵1、设,2130A512B求 .2,BA解: ;32152130; 702BA。 192831536426032、设矩阵 满足 ,其中XXBA2, ,102求 .解:设 ,4321xX则 , 。24321xA 43212xXB利用矩阵相等的定义可得:。3、某石油公司所属的三个炼油厂 在 1997 年和 1998 年生产的 4 种油品321,A的产量如下表(单位:万吨)421,B1997 年 199

    10、8 年产 油量 品炼油厂 1B234B 12B341A2358 27 15 4 72 30 18 5 65 25 14 3 63 25 13 590 30 20 780 28 18 5(1)作矩阵 和 分别表示三个炼油厂 1997 年和 1998 年各种油品的产量;43AB(2)计算 与 ,并说明其经济意义;(3)计算 ,并说明其经济意义。)(解:(1) ,314256807A;8039B(2) ,32514169A其经济意义表示三个炼油厂 1997 年和 1998 年两年各种油品产量的和。,2431508B其经济意义表示三个炼油厂在 1997 年和 1998 年两年之间各种油品产量的变化量。

    11、(3) ,4165.2.79086)(2A其经济意义表示三个炼油厂在 1997 年和 1998 年两年各种油品的平均产量。4、计算下列矩阵的乘积(1) ; (2) ;134253 3021(3) ; (4) ;0213(5) ; (6) ;321 3174025732160(7) 。210312解:(1) 。 176432513(2) 。00(3) 。 1(4) 。9634232(5) 。11(6) 。234518701742573321604(7) 。15235210321 5、如图,考虑边长为 2 的正方形 :设其顶点和各边中点的坐标分别为431V.,0, 8321 VV(1) 用矩阵 分

    12、别左乘给定的1A正方形各顶点和各边中点坐标,设得到的点依次为试作出由这些点构成的平面图形;,8321W(2)考虑矩阵cosiniAO V11 V21V61V31V71V41V81 V51 xy分别在当 和 时,用 左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标,若设所得到32A的点的坐标 和 分别作出由这两组点构成的平面图形。81,U 821,解:(1) 以 的坐标为列构造 28 矩阵 V,令2V 1120340AW则矩阵 W 的每一列依次为 的坐标。如图所示。83,W(2) 令 .2131231301 12020231 AVU则矩阵 U 的每一列依次为 的坐标,如下图所示。81,UW1O W6W2 xW

    13、7W4W8W5 W3OyyU2U6U3U7令 .0120201AVU则矩阵 的每一列依次为点 的坐标。如图所示。 81,U6、设某港口在某月份出口到 3 个地区的两种货物 的数量以及它们一单位的价21,A格、重量和体积如下表:出 地口 区量货物北美 欧洲 非洲 单位价格(万元)单位重量)(t单位体积 )(3m1A22000 1000 800 1200 1300 5000.20.350.0110.050.120.5试利用矩阵乘法计算:(1) 经该港口出口到 3 个地区的货物价值、重量、体积分别各为多少?(2) 经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少?解:(1) =5.012 501834

    14、6708.25其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲;yU 8U 7U 3U 6U 4U 5xU 1OU 2O xU1U5U4U8第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。(2) =3467088.51968.0其中第一、二、三行分别表示总价值、总重量、总体积。7、设 A,B 均为 阶对称矩阵,试判定下列结论是否正确,并说明理由。n(1) 为对称矩阵;BA(2) 为对称矩阵( 为任意常数) ;kk(3) 为对称矩阵。证明:令 n 阶对称矩阵 A= ,其中 , i=1,2,n , j=1,2,n;nija)(jijan 阶对称矩阵 A= ,其中 , i=1,2,n , j=1,2,n;ijbj

    15、ijb(1)正确。显然 A+B = ,又 , ,其中 i=1,2,n , j=1,2,n;nijija)(jiijajiij所以 = ,ijijbnjijib)(即 A+B 为对称矩阵。(2)正确。显然 kA= ,又 ,其中 i=1,2,n , j=1,2,n;nijka)(jiija所以 = ,ij njik)(即 kA 为对称矩阵。(3)错误。设对称矩阵 A 和 B 分别为:, ;12312所以 ,显然 AB 不为对称矩阵。5748、求所有与 可交换的矩阵A(1) ; (2) 。1010A解:(1)显然与 A 可交换的矩阵必为二阶方阵,设为 X,并令 ,dcba又 ,dbcaAX,由可交换

    16、条件 AX=XA,可得 b=0, (其中 为任意常数) ,dac,即 。acX0(2)显然与 A 可交换的矩阵必为三阶方阵,设为 X,并令 ,ihgfedcba又 ,ihgfedcbaX,ifecA由可交换条件 XA=AX,可得 d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,(其中 a,e,i,b,f 均为任意常数) ,即 。abX09、设矩阵 与矩阵 均可交换,求证: 与 也可交换,且A21,BA211,B。)(121B证明:因为矩阵 A 与矩阵 可交换,即 , ,21, 1A2所以 = + = + = ,)(21BAB)(21即矩阵 与 可交换。又 ,A2112即矩阵 与 也可交换。

    17、A1B所以 由 有: = = 。AB1)(11BA)(11)(B21A10、计算(其中 n 为正整数)(1) ; (2) ;3n03(3) ; (4) ;ncba0 n01(5) ; (6) ;310 n11解:(1) = 。30(2) = 。下面用数学归纳法证明。n01当 n=1 时,当然成立。假定 n=k 时成立,即。03kk再证 n=k+1 时也成立。 10)(3103kkkk(3) = ,可用数学归纳法证明之。ncbancba0(4)n01当 n=1 时,值为原矩阵;当 n=2 时, ;0101n当 n=3 时, ;001n当 时, 。4n 001n(5) = ;3101036(6)

    18、,n11由直接计算可知 A2=4E。由此进一步得知: 为 奇 数 。当( 为 偶 数 ;当 nAEnnn ,2)4()112111、设 为 阶矩阵。试分别求 , 与 的第 行第 列。(ijaATkl解: 的第 行第 列为 ,2klnjjlka1的第 行第 列为 ,TAlnjljk1的第 行第 列为 。Tklniilka112、设 ,对于 阶矩阵 ,定义02)(xaxfAEaAaf 012)(其中 为 阶单位矩阵。En(1)如果 , ,求 ;35)(2xf 312A)(Af解:依定义得:。01331)(2Af(2)如果 , ,求 .)(2xf 2A)(Af解:依定义得:= + = 。)(Af20

    19、13012310238713、写出下列图 的邻接矩阵,并分别计算各邻接矩阵的平方。G解:(1)设邻接矩阵为 A,则A= ,A 2= 。0104231(2)设邻接矩阵为 A,则A= ,A 2= 。01001021014、设 为同阶矩阵,且满足 。求证: 的充分必要条件是B, )(EBA2.E2证明:先证明必要性:由于 ,故)(21A(422(1)如果 A2=A,即)2(1)(EBEB由此得 B2=E再证充分性:若 B2=E,则由(1)式可知,。 AEEA)()(42所以, 的充分必要条件是 。215、设 为 阶矩阵,称 的主对角线上所有元的和为 的迹,记作 ,)(ijan Atr即 。iinaA

    20、121tr求证:当 均为 阶矩阵时,有)(),(ijijbBa(1) ;trtrA(2) ;t)(k(3) rtT(4) 。 )(t)(BA证明:(1)因为 A, B 为 阶矩阵,所以 A+B 也为 n 阶矩阵,并设 A+B=n nijc)(根据矩阵加法的定义,可知: ,所以 因此,ijijijbaciiibac= + ,即 。nic1iianib1 BAtr)(tr(2)因为 A 为 阶矩阵,所以 kA 也为 n 阶矩阵,并设 kA = 。nijc)(根据矩阵加法的定义,可知: , 所以 。ijijkaciikac因此, = = ,即 。nic1iikanii1Atr)(tr(3)令 AT=

    21、 nij)(根据矩阵转置的定义可知, ,iiac又 ,nii121tr所以 = ,niccA121Ttr iia即: 。AtrT(4)令 AB=C= ,AB=D= ,nijc)(nijd)(其中 ,jinjijiij babac21。jijijiijd显然,当 时, ,ijijdc于是 ,即 。niini11 )(tr)(trBA16、计算下列行列式(1) ; (2) ;cossini 013(3) ; (4) ;29083514 92365(5) ; (6) ;51 3214(7) ; (8) 。332241 40解:(1) = =1。cossini22sin(2) = = =12。0133

    22、511205(3)第一列乘-1 加到第二列,并从第二列提取 1000,得 = = =6123000。2984584180934(4)从第二行提取 2 之后,跟第一行互换,得 = = =8。19203651920365370261(5)把第二、三、四行均加到第一行,并在第一行中提取 8,得= = = =512。5151851401(6)把第二、三、四行均加到第一行,并在第一行中提取 10,得= = = =160。321432140032144012(7)这是一个第二行元素为 1、2、3、4 的范得蒙行列式,因此 = =12。332241 )34(2)3(1)((8)最后一列乘以-1 后,加到第一

    23、列,并按最后一行展开,得 = = = =192。403240323023026417、解方程(1) ; (2) 。162x012x解:(1) = = =1。x50x42即解方程 ,因此 x=3 或 -1 。32(2) =(x+2) (x-1)=0 。x10所以方程的解为:x=1 或2。18、设 3 阶行列式 ,计算下列行列式:1ija(1) ; (2) 。3132124aa3132124aa解:(1) = +313212332143131224aa= + =8+0=8。32311831322a(2) = +3132124aa31224a313224a= = 03132831322 323118

    24、= =8。32311a19、计算下列行列式(1) ;yxy(2) ;22222222 )3()()1()()()(ddccbbaa(3) ; (4) ;4432110abba abba00(5) 。bab0解:(1) =yxyyxx)(2)()(2= yx1)(2= xyxy0)(= 。)(23(2)将第二、三、四列展开得:原式= 96412222222 dddcccbbbaaa= 964122 ddccbbaa= + =0。9642ddccbbaa 964122dcba(3) = +4432110abba4320a0)(321ab= 。)(321b(4)按第一列展开= + = 。abba00

    25、ab0b05a(5)按最后一列展开 = + = 。bab00a0ab5b20、证明:(1) ;221122211 cbacba(2) 。xzyyxzz证明:(1) = +222111acba21cb21a= -2211c21= +2211cba21cba=2 。211cba(2) = +zyxzyyxzzx= yxzyxz= 。xzy221、计算下列 n 阶行列式:(1) ;baabnn 212(2) ;nnn baba 2121(3) ;)1(00)2(013n (4) ;011 (5) 。110021 naa解:(1)各列都加到第一列后,再从第一列中提取 ;然后,第一行乘以-1bani1后

    26、加到其余各行,得=( )baabnn 2121 ani1 bann 22=( )ni1 b 0= 。)()(1abnin(2) = ,nnnnbaba 2121211 02 0112 nbb显然,当 n=1 时,原行列式的值为 。1当 n=2 时,= = 。nnnnbaba 21221211 212ba)(2121ba当 时,将第 2 行到第 n 行的元素减去第一行相应的元素,得到= 。nnn baba 2122111 111222111 aabnnn 然后,将各行的公因子提出得= =0(因为有两行的元素是11312aan 11121 nbab相等的) 。所以,综合有:当 n=1 时, 原式=

    27、 ,1ba当 n =2 时, 原式= ,)(22当 n 3 时, 原式=0。(3)设所给的行列式为 D,从最后一列依次往前一列加,得D= = 。)1(000)2(20010 1)1(2)()( nnn 2)!1()n(4)设所给的行列式为 D,把各行都加到第一行,并在第一行中提取 n1,得D= = = 。0111)( n 101)( n )(1n(5) 设所给的行列式为 D,把第一列加到第二列,依次把第 j-1 列加到到第 j 列(j =1,2,n ) ,得D= = 。naa13210021 121)(nna22、解方程(1) ;0132xnx (2) 。01132121 nnaaxaxa 解

    28、:(1)将所给的行列式的第一行乘以1,加到其他行,得 =132132xnx )1(0023nxn = =0。)(1x所以 x=1,2,n-1。(2)将所给的行列式的最后一列分别乘以 加到第 n,n-1,11,aan列,得=1132121nnaaxaxa 1000101321 nnaxaxax= =0。)()(21nax所以 。nax,2123、证明(1) (其中 ))1)(1132ni niinaaa niai ,21,;(2) (其中 ))1(0111212 ninaaa niai ,21,0;(3) ( ) 。011121001 axxaxaxnnn 2n证明:(1)将行列式的第一行的-1

    29、 倍分别加到其余各行,然后提出各列的公因子, 再把各列加到第一列,得ia原式= 1011132naaa = ,1011)(321 nniia再将第 2 列到第 n 列的各元素依次加到第 1 列上去即得原式= 。 )(11ni iiaa(2)用 乘第 i 列( )分别加到第一列,得in,2原式 = 。nni aa 0112 )1(21nia(3)从第 n 行起,各行的 x 倍依次加到上面一行,所得到的行列式再按第一行展开得D= 122331122010100nnnaxxaxa = )()10112xann= 。xn24、利用分块矩阵的乘法,计算 AB(1) ,2121,BEAOE其中 ; 12,35,3,0, 121221 BA(2) ,321321,B其中 ,21,321 AAA。,1,231BB解:(1)AB= =2121EAO21221 BAEAB其中 E 2B11=B11,E 2B12=B12,A 22E2=A22 ,A21B11= = ,303546

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